专题01相交线与平行线(19大题型+题型突破+压轴专练+复习讲义)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题01相交线与平行线期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.秒辨对顶角 / 邻补角、三线八角，掌握垂线 / 垂线段核心性质 2.熟记平行线判定 & 性质（角定线 / 线定角，不混淆） 3.掌握平移 2 要素 + 坐标平移规律（右加左减、上加下减） 4.打通 “相交线→平行线→平移” 知识逻辑链 1.复杂图形中快速分离基础模型，规范作垂线 / 平行线 / 平移图形 2.角度计算 + 简单几何推理，步步有据写过程 3.平移法巧解实际面积 / 周长问题，实现几何建模 4.精准避坑：三类角混淆、判定性质混用等高频易错点 1.基础题（选择 / 填空）：对顶角计算、角的识别等，确保零失分 2.中档题：角度综合计算、网格作图、补全推理，稳稳拿分 3.压轴题：平行线 + 折叠 / 旋转、平移实际应用，理清思路规范书写 4.掌握题型技巧，把控解题节奏，期中考场高效作答 题型01.相交线与对顶角 题型02.垂线的定义与画法 题型03.垂线段与点到直线的距离 题型04.同位角.内错角.同旁内角 题型05.平行线的画法与位置关系 题型06.平行公理的应用 题型07.平行线的判定 题型08.同垂于一直线的两直线平行 题型09.平行线的性质 题型10.由平行线的性质探究角的关系 题型11.由平行线的性质求角的度数 题型12.平行线性质的应用 题型13.由平行线判定与性质求角度 题型14.由平行线判定与性质证明 题型15.平移现象的识别与判断 题型16.利用平移性质求解 题型17.利用平移解决实际问题 题型18.平移作图与综合题 题型19.平行线折叠问题 解答题8题 知识点01.相交线 1. 对顶角（两直线相交的基本角关系） 定义：有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角 性质：对顶角相等（期中必考性质） 考法：直接利用性质求角度、判断角的关系 2.邻补角 定义：有公共顶点和公共边，另一边互为反向延长线的两个角 .性质：邻补角互补（和为 180∘） 考法：找邻补角、利用互补关系求角度（基础计算必考题.） 关键：两直线相交，对顶角成对出现，邻补角也成对出现，且一个角的对顶角只有 1 个，邻补角有 2 个。 3. 垂线（特殊的相交：夹角为 90°） 垂线 定义：两条直线相交成 90∘，则互相垂直，其中一条是另一条的垂线 性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 考法：垂线定义辨析、用直尺 / 三角板画垂线 垂线段与距离 核心性质：垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段） 考法：利用垂线段最短解决最短路径问题、辨析点到直线的距离概念 知识点02.同位角、内错角、同旁内角 由两条被截直线和一条截线组成（三线），形成八个角（八角） 角的名称 位置特征 图形形象 数量（三线八角中） 同位角 截线同侧，被截线同方 形如 “F” 4 对 内错角 截线两侧，被截线之间 形如 “Z” 2 对 同旁内角 截线同侧，被截线之间 形如 “U” 2 对 知识点03.平行线 1. 平行线的定义与基本事实 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（符号：∥，如 a∥b）； 注意：① 前提同一平面内（空间中存在不相交也不平行的直线）；② 平行线是直线，无限延伸，不能用 “线段平行” 直接表述（需说明线段所在直线平行）。 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（唯一性 + 存在性）。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（几何语言：∵a∥c，b∥c，∴a∥b）。 内容：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 符号语言：若 a∥b，b∥c，则 a∥c 作用：用于间接证明两直线平行 2. 平行线的判定（由角的关系推线的平行，核心：证角相等 / 互补→证线平行） 3. 平行线的性质（由线的平行推角的关系，核心：证线平行→证角相等 / 互补） 知识点04.平移的定义与性质 1.平移定义 把一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移。 2. 平移的性质（必背） (1)平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置。 (2)对应线段平行且相等。 (3)对应点所连线段平行且相等。 (4)对应角相等。 知识点05.平移的作图步骤 作图步骤 几何语言 图示 (1)找关键点 (2)按方向和距离平移点 (3)顺次连接对应点 (4)写出结论 1.取 △ABC 的顶点 A,B,C 为关键点； 2.分别将 A,B,C 沿指定方向平移相同距离，得到对应点 A′,B′,C′； 3.顺次连接 A′B′,B′C′,C′A′； 4.结论：△A′B′C′ 就是 △ABC 平移后得到的图形。 题型01.相交线与对顶角 【典例】下列说法中：①因为对顶角相等，所以相等的两个角是对顶角；②在平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．正确的是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质、平行线的定义以及垂线的性质，正确理解定义、定理是解题的关键． 对顶角相等，反过来不成立，即可判断①；根据平行线的定义即可判断②；③在同一平面内，命题才成立． 【详解】解：①不正确；相等的角不一定是对顶角； ②正确；这是平行线的定义； ③不正确；必须是在同一平面内； 故选：B． 【跟踪专练1】下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：与是对顶角的是． 【跟踪专练2】如图，直线与直线相交于点O，平分，，，求的度数_______． 【答案】108° 【分析】本题考查了垂线、角平分线的定义以及对顶角、邻补角．正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键．由垂直定义得，根据，可得，得，由角平分线定义，得．即得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 故答案为：． 题型02.垂线的定义与画法 【典例】如图，直线交于点O，若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由平角的定义求出，可判断．由对顶角相等得，可得，无法判断． 【详解】解：∵， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴ ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵ ∴，故选项B正确，不符合题意； 无法判断，故选项D不正确，符合题意． 【跟踪专练1】下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，直线、相交于O，于O，，平分．则的度数为___． 【答案】 【分析】根据垂线定义得出，根据角平分线定义得出，根据余角性质得出，设，则，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型03.垂线段与点到直线的距离 【典例】如图所示，，，则下列结论中错误的是（   ） A．线段的长表示点到直线的距离 B．线段，，中，最短 C．线段的长表示点到直线的距离 D．线段表示点到直线的距离 【答案】D 【详解】解：．∵，∴线段的长表示点到直线的距离，故该选项不符合题意； ．∵，∴线段，，中，最短 ，故该选项不符合题意； ．∵，∴线段的长表示点到直线的距离，故该选项不符合题意； ．∵，∴线段的长表示点到直线的距离，并不是线段本身，故该选项符合题意； 【跟踪专练1】如图，，于，，，，则点到的距离是______，点到的距离是______，的依据是______． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是，点到的距离是， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， 故答案为：，，垂线段最短． 【跟踪专练2】如图，点，在直线上，点在直线外，连接，，若，，则点到直线的距离可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：因为垂线段最短， ∴点P到直线l的距离小于3， 观察四个选项，只有选项A符合题意． 题型04.同位角.内错角.同旁内角 【典例】如图所示，直线，被直线所截： ①和是同位角； ②和是对顶角； ③与是内错角； ④和是同旁内角．则结论正确的是_______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；依此逐一判断即可． 【详解】解：和是同位角，故①正确， 和是对顶角，故②正确， 与不都在两直线之间，不是内错角，故③错误， 和是同旁内角，故④正确， ∴结论正确的是①②④． 【跟踪专练1】如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是____________.    【答案】① 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义意义判断即可，同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角；内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角；如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角． 【详解】解：与构成同旁内角的是，有2个，故①正确； 与构成同位角的角的是，有1个，故②错误； 与构成同旁内角的角的是，有5个，故③错误； 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关概念． 【跟踪专练2】如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【详解】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 题型05.平行线的画法与位置关系 【典例】已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（    ） A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条 【答案】C 【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行可得答案．过直线上的一点，不能做直线与已知直线平行（互相重合）． 【详解】解：如果点P在直线上，过点P画直线与AB的平行线可画0条，如果点P在直线外，过点P画直线与AB的平行线可画1条， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线公理，注意点P的位置分两种情况表现． 【跟踪专练1】同一平面内有a,b,c三条直线，如果，，那么b与c的位置关系是（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．重合 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】根据已知条件结合平行线性质推导b与c的位置关系即可． 【详解】解：∵同一平面内，，， ∴根据平行线的性质，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则它也垂直于另一条， ∴，即b与c互相垂直． 因此答案选B． 【跟踪专练2】在平面上，有不共线的4条直线，交点个数最多是个，最少是个，则的值(    ) A．6 B． C． D．5 【答案】C 【分析】先分别求出4条直线交点最多的个数m和最少的个数n，再计算即可得到结果． 【详解】如下图所示，要使得交点最多，则两两相交且无公共交点，此时有6个交点，即， 如下图所示，要使得交点最少，则两两平行，此时没有交点，即， ． 题型06.平行公理的应用 【典例】如图，在括号内填理由． （1）如图①，因为，，所以（___________________）； （2）如图②，因为，过点F画（________________），所以（_____________________________）． 【答案】 平行于同一条直线的两条直线平行 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】（1）根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行； （2）根据平行公理：过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行求解即可． 【详解】解：（1）因为，，所以（平行于同一条直线的两条直线平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行； （2）如图②，因为，过点F画（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行），所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 【跟踪专练1】有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与这条直线平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线的平行线有无数条； ④与同一条直线相交的两条直线一定也相交． 其中正确的有______．（只填序号） 【答案】②③ 【分析】根据平行线，平行公理的推论，两条直线的位置关系，逐一判断各说法，即可得到结果． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误，不符合题意； ②平行于同一条直线的两条直线平行，是平行公理的推论，故原说法正确，符合题意； ③一条直线的平行线有无数条，此说法正确，符合题意； ④与同一条直线相交的两条直线可能相交或平行，故原说法错误，不符合题意， 综上，正确说法为②③ 【跟踪专练2】如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 题型07.平行线的判定 【典例】如图，下列条件能判定直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各选项进行分析判断即可 【详解】解：A、 与 分别在两条不同的截线 上，无法判定 ，故A不符合题意； B、 与 是直线 被直线 所截形成的同旁内角， ， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故B符合题意； C、 与 分别在两条不同的截线 上，无法判定 ，故C不符合题意； D、 与 分别在两条不同的截线 上，无法判定 ，故D不符合题意 【跟踪专练1】如图，在中，点分别在上，连接，下列条件：；；；；．其中能判定的条件有______（填序号即可）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一排除即可，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 由不能判定； ， ∴； ， ∴； 不能判定； 综上可知：能判定， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补，则两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、、是同位角，根据同位角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； B、、是内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； C、、是同位角，两个同位角的和为，无法判断两直线的关系，故本选项符合题意； D、、是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型08.同垂于一直线的两直线平行 【典例】已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定及平行公理，在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行；在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；据此逐个判断得结论． 【详解】解：A：若，，则，故该说法错误，不符合题意； B：若，，则，故该说法错误，不符合题意； C：若，，则，故该说法错误，不符合题意； D：若，，则，故该说法正确，符合题意， 故选：D． 【跟踪专练1】在同一平面内有条线，，…，，如果，，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】先根据垂直与平行的性质推导直线与后续直线的位置关系，总结位置关系的循环规律，再根据规律计算得到与的位置关系． 【详解】解：根据平行线和垂直的性质，推导与前若干条直线的位置关系如下： 由，，可得， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 以此类推，可知与各直线的位置关系按照“垂直，垂直，平行，平行”为一个周期循环，周期为， 从开始，直线是第条直线，计算得， 余数为，对应周期中第三个位置关系，即平行． 【跟踪专练2】下列各图中，能画出的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可得①能画出； 根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，可得②能画出； 根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，可得能画出； 根据内错角相等，两直线平行，可得④能画出； 综上所述，能画出的是①②③④． 题型09.平行线的性质 【典例】如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用平行线性质求角度，熟记平行线的性质是解决问题的关键． 由平行线的性质：同位角相等、同旁内角互补得到，，代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示：    由平行线的性质，可得，， ， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，，，，则的度数为__________°. 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 作，由平行线的性质可得和的度数，相加即可得的度数． 【详解】解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据平行线的判定和性质一一判定即可． 【详解】解：．当时，又，则，不一定能判定，故该选项不符合题意； ．当时，，又，即，则不一定能得出，故该选项不符合题意； ．当时，又，则，可判定，故该选项符合题意； ．当时，又，则，不能判定，故该选项不符合题意； . 【跟踪专练3】如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行的性质，作出相应的辅助线是解题的关键．过点作，过点作，可得，从而推出，，即可得到答案． 【详解】解：过点作，过点作， 故选：D． 题型10.由平行线的性质探究角的关系 【典例】如图，已知直线，则、、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，结合两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角相等即可得解． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ， 即，选项符合题意． 【跟踪专练1】如图，若，则，，三者之间的数量关系是________． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可． 【详解】解：如图， ， ，，（两直线平行，同旁内角互补）， 得，即． 【跟踪专练2】如图，，，，被所截，平分，则下列结论正确的有（    ） 结论I：若平分，则； 结论Ⅱ：若，则平分； 结论Ⅲ：若，，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】根据平行线和角平分线的性质，依次证明各结论即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 若平分， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 若， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴平分，故结论②正确； ∵， ∴， 若， ∴， 又∵， ∴，不一定满足，故结论③错误； 综上，正确的结论为①②，共个． 题型11.由平行线的性质求角的度数 【典例】与在同一平面内，且与的两边分别平行，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用平行线的性质求解，当两个角的两边分别平行时，两个角相等或互补，分情况讨论即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当与开口方向相同时，如图， ∵的两边分别与的两边平行， ∴，， ∴； 当与开口方向相反时，如图， ∵的两边分别与的两边平行， ∴，， 又， ∴， ∴ 综上，的度数为或． 【跟踪专练1】一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点D后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为__________．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握过拐点作平行线，利用内错角相等、同旁内角互补转化角度是解题的关键． 过点作辅助线平行于，利用平行线性质分别求出和，再由同旁内角互补求出． 【详解】解：如图，过点作，    则 ∴ 故答案为：． 【跟踪专练2】.如图，已知，点在、之间，连接、．直线、相交于点，且满足，，下列结论： ①若，，则； ②当时，若，则； ③． 其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】过点B作，则，由平行线的性质可得，判断①；同①可知，由平行线的性质可推出再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可判断②③． 【详解】解：如图所示，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴；故①正确； 同①可知：； ∵，， ∴当时，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 过点D作，则， ∴， ∴ ；故②正确； 过点B作，过点D作，则，   同理可得，， ∵，， ∴，， ∴ ． ∴．故③正确； 综上：正确的有①②③，共3个． 题型12.平行线性质的应用 【典例】如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是_______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质．由两直线平行，内错角相等，即可得到． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为__________度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 【答案】20 【分析】由折射光线的反向延长线经过虚焦点得到，根据平行线的性质，即可求解， 本题考查了，平行线的性质，解题的关键是：得到． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：20． 【跟踪专练2】为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　） A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒 【答案】C 【分析】设灯旋转的时间为秒，求出的取值范围为，再分①，②和③三种情况，先分别求出和的度数，再根据平行线的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设灯旋转的时间为秒， 灯光束第一次到达所需时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒， 灯先转动2秒，灯才开始转动， ，即， 由题意，分以下三种情况： ①如图，当时，， ， ， ， ，即， 解得，符合题设； ②如图，当时，， ， ， ， ，即， 解得符合题设； ③如图，当时，， ， 同理可得：，即， 解得，不符题设，舍去； 综上，灯旋转的时间为1秒或秒， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键． 题型13.由平行线判定与性质求角度 【典例】如图所示，已知，，则的度数是__________． 【答案】 【分析】由对顶角相等得出，则可判定，由平行线的性质得出，再由对顶角相等得出，最后可得出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图所示，，于点D，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，根据平行线的判定和性质得到，，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ，， ∴． 【跟踪专练2】如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，，接着如图2，三角板绕着点点C不动按逆时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒；三角板绕着点点C不动按顺时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒，且a、b满足，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，旋转______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】10或15或25 【分析】易得，，分别判断出，，时的度数，根据的度数，列出方程求得t的值即可．画出相关图形，得到三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行时的情形是解决本题的易错点． 【详解】解：， ，， 设旋转t秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行， ①，如图2： 由题意得：， ， ， ， 解得：； ②，如图3： 由题意得：， ， ， ， 解得：； ③，如图4， 作， ， ， ， ， ， ， 解得：； ④若继续旋转，，如图5，此时超过，这种情况不存在． 综上：t的值为10或15或 故答案为：10或15或 题型14.由平行线判定与性质证明 【典例】如图，，c与a相交，b与d相交，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题关键．根据平行线的性质和判定逐一进行分析判断即可． 【详解】解：A．若，则， ∵， ∴， ∴，故该选项正确，不符合题意； B．∵， ∴， 若， 则， ∴，故该选项正确，不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故该说法正确，不符合题意； D．由C得，只有时，，故该说法错误，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，，点在上，，平分，且平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】①根据角平分线的定义得出，，再根据，即可得出，于是推出；②由角平分线的定义结合已知推出，再根据内错角相等，两直线平行即可得出；③由两直线平行，内错角相等得出，结合角平分线的定义得出，结合①的结论即可得出；④先证，再根据平行线的性质即可得证． 【详解】解：平分， ， 平分， ， ， ， ， 即，故①正确； 平分， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ， ， ， 由①知， ，故③正确； 平分， ， ， ， ， ， ，故④正确； 其中正确的有：①②③④． 【跟踪专练2】如图，已知，，则下列各式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理、平行线的性质定理以及角的和差关系．根据同位角相等两直线平行可得，以及两直线平行，内错角相等得，再结合两直线平行，同旁内角互补得，即可解题． 【详解】解：， ， ， 又， ， ．故选． 题型15.平移现象的识别与判断 【典例】如图是2026马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的大小不变，形状不变，方向不变等性质解答即可． 【详解】 解：通过平移吉祥物“骐骐”，可以得到的图形是． 【跟踪专练1】如图，线段AB按一定的方向平移到线段CD，点A平移到点C，若AB=6cm，四边形ABDC的周长为28cm，则BD=_____cm． 【答案】8 【分析】图形平移后，AB平移到线段CD，点A平移到点C，则A和C是对应点，B和D是对应点，可得AB+BD=14，最后得出结果． 【详解】解：∵图形平移后，对应点连成的线段平行且相等， ∴AB平移到线段CD，点A平移到点C，则A和C是对应点，B和D是对应点， ∴AC=BD，AB=CD， ∵AC+BD+AB+CD=2AB+2BD=28， ∴AB+BD=14， ∵AB=6cm， ∴BD=14-6=8cm， 故答案为：8． 【点睛】本题考查平移性质，关键是根据平移的性质，图形平移后，对应点连成的线段平行且相等，求出结果． 【跟踪专练2】如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是_____． 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了平移及性质，根据平移的性质即可求解，正确理解平移的性质是解题的关键． 【详解】解：根据平移的性质知，“丰”字每一笔的面积与长为厘米，宽为厘米的小长方形的面积相等，可将横着的三笔都平移到上方，竖着的一笔平移到左侧， 则剩余部分(空白区域)的面积为平方厘米， 故答案为：平方厘米． 【跟踪专练3】如图，将沿射线平移得到，下列线段的长度能表示平移距离的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的概念判断即可． 【详解】解：∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点，点与点是对应点， ∴线段、可表示平移距离， 故选：． 【点睛】本题考查了平移，掌握平移的概念是解题的关键． 题型16.利用平移性质求解 【典例】某中学校园内有一块长，宽的草坪，中间有两条宽的小路，把草坪分成了4块，如图所示，则草坪的面积___________． 【答案】 【分析】直接利用平移的性质得出草坪的面积为，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得草坪的面积为． 【跟踪专练1】如图，将直角三角形沿方向平移4个单位长度得到直角三角形，连接，若四边形的面积为16，则四边形的面积为___________． 【答案】16 【分析】由平移的性质得到，则可推出，进而可得． 【详解】解：如图所示，设交于点H， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿向右平移，得到三角形，设平移时间为秒，若在三个点中，一个点到另外两个点的距离存在倍的关系，则下列三人的说法：甲：“有两种情况，的值为或．”乙：“有三种情况，的值为或或．”丙：“有四种情况，的值为或或或．”其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移，一元一次方程的应用，先根据平移的性质得到，分，，三种情况解答即可求解，掌握平移的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵三角形以每秒的速度沿线段所在直线向右平移，所得图形对应为三角形， ∴， 当，即，解得； 当，即，解得； 当，即，解得； 综上所述，的值为或或， 故选：． 题型17.利用平移解决实际问题 【典例】如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为，宽为， 所以，空白部分的面积是：． 故选：C． 【跟踪专练1】把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，以及平移的性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）结合图形先推出正方形的边长，进而推出正方形的边长，即可解题； （2）结合图1中的长方形周长为，推出，利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长，再分别求出正方形的周长，阴影部分的周长，即可解题． 【详解】解：（1）正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 故答案为：； （2）图1中的长方形周长为， ， 整理得， 利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长， 图2的长方形周长为， 正方形的周长为，阴影部分的周长为， 图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 【答案】C 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解题的关键．根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，计算即可． 【详解】解：根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析， 横向距离等于，纵向距离等于， 长米，宽米， 故从出口A到出口B所走的路线长为：（米）， 故选C． 题型18.平移作图与综合题 【典例】如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，已知三角形ABC中，∠ABC=90°，边BC=12，把三角形ABC沿射线AB方向平移至三角形DEF后，平移距离为6，GC＝4，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】60 【分析】由题可知，BE=6，BG=8，EF=12，阴影部分面积为直角梯形的面积，利用面积公式求解即可． 【详解】解：根据平移可知 BE=6，EF=BC=12， ∵CG=4， ∴BG=8， ∴阴影部分面积为：×（8+12）×6=60． 故答案为：60． 【点睛】本题考查平移的实际应用，根据题意找到平移对应的线段长，找到阴影部分面积的计算是解决问题的关键． 【跟踪专练2】原来是重叠的两个直角三角形，将其中的一个三角形沿着BC方向平移4个单位长度，就得到如图所示的图形，下列结论：①AC∥DF ②HE＝5 ③CF＝4 ④阴影部分面积为，正确的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等，阴影部分和三角形面积之间的关系，结合图形与所给的结论即可得出答案． 【详解】解：①对应线段平行可得AC∥DF，正确； ②对应线段相等可得AB=DE=8，则HE=DE-DH=8-3=5，正确； ③平移的距离CF=BE=4，正确； ④S四边形HDFC=S梯形ABEH错误 故选：C 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点． 题型19.平行线折叠问题 【典例】如图，把长方形沿折叠后使两部分重合，若，则_____ 【答案】 【分析】根据折痕是角平分线，结合平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵把长方形沿折叠后使两部分重合， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，四边形为一长条形纸带，，将四边形沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知，则，由折叠可知，根据已知条件，则可知，再根据，则题目可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿折叠，A、D两点分别与、对应， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】.如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 由折叠可得，，，可得，根据可得，过点作，则，可得，则可得． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【解答题】 1．如图，直线与相交于点，射线在内部，且，，求的度数． 【答案】 【分析】由对顶角相等得，又，所以，最后通过角度和差即可求解． 【详解】解：因为直线与相交于点，， 所以， 因为， 所以， 所以． 2．三角形在网格中的位置如图所示． (1)用三角尺过点A画出的垂线，垂足为D；过点C画出的垂线，垂足为E； (2)在（1）的条件下． ①点C到的距离是线段________的长；线段的长是点________到直线________的距离； ②比较大小： ________（填“”“”或“”）；依据是：________． 【答案】(1)图见解析 (2)①；②，垂线段最短 【分析】（1）根据要求，作图即可； （2）①根据点到直线的距离的定义进行作答即可；②根据垂线段最短，作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：①点C到的距离是线段的长；线段的长是点到直线的距离； ②，依据：垂线段最短． 3．已知直线，嘉嘉和琪琪用两个完全一样的含30度的三角板想画出的平行线，他们的方法如下： (1)判断谁的方法正确； (2)就正确的方法，请说明理由． 【答案】(1)两人的方法均正确 (2)理由见解析 【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此分析作答即可． 【详解】（1）解：两人的方法均正确． （2）解：嘉嘉的做法是通过同位角相等，两直线平行，得出； 琪琪的做法是通过内错角相等，两直线平行，得出； 4．如图1，对于两条直线被第三条直线所截的同旁内角满足，则称是的关联角． (1)当是的关联角且时，试判断直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，求出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；②或 【分析】（1）由题意可得，，据此求出和的度数，即可确定直线，的位置关系； （2）①由与，与的互补关系，求出与之间的大小关系，进而命题得以证明； 根据直线过点的形式可分种情况，每种情况均有个角与互为同旁内角，因此共有种情况，分别解出的度数即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是的关联角， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①是的关联角， ∴； ∵， ∴， ， ∴， ∴， 是的关联角； ②如图当点Q在右侧时， ∵是的关联角，， ∴， 若是的关联角，则； 若是的关联角，则， ∵，， ， ∴， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点Q在左侧时， ∵是的关联角，， ∴，， ∴； 若是的关联角，则， ∴， ∴， ∴此种情况不成立； 若是的关联角，同理可得； 综上所述，的度数为或． 5．阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线上有两点G、K，直线上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线和直线之间，连接和，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴　　　　　　　　　　　　　　， ∴　　　　　　　（　　　　　　　）， ∵（已知）， ∴　　　　　　　， ∴（　　　　　　　）． 【答案】；；；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行； 【分析】根据平行线的性质和判定定理解题即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 6．已知，如图，，，求证：． 证明：（已知）， 又（    ）， （    ）， （    ）， （    ）， （已知） _____（    ）， （    ）， （    ）． 【答案】对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】先证明得到，则，再等量代换得到，从而证明，由此可证明． 【详解】证明：∵（已知） 又（对顶角相等） ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等）． 7．【问题情境】如图①，，，，求的度数． 小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数． (1)按小明的思路，求的度数． (2)【问题迁移】如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． (3)【问题应用】在（2）的条件下，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1)110° (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由平行线的性质求出，，进而求解即可； （2）过点作，由平行线的性质求出，，进而求解即可； （3）分两种情况讨论，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴， ； （2）解：如图②，当在线段上时，，理由如下： 过点作， ∴， ， ， ， ； （3）解：当在射线上时，交于，如图③，理由如下： 过点作， ∴ ， ， ∴ ； 当在射线上时，交于，如图④，，理由如下： 过点作， ∴ ， ， ∴ ； 综上所述，当点不在线段上（不与、重合）时，或． 8．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长． 【详解】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合， 则平移后可得到草地是长为米，宽为米的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米； 将路线的纵向部分平移，总长度为(米)； ∴所走路线的长度为(米)．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相交线与平行线期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.秒辨对顶角 / 邻补角、三线八角，掌握垂线 / 垂线段核心性质 2.熟记平行线判定 & 性质（角定线 / 线定角，不混淆） 3.掌握平移 2 要素 + 坐标平移规律（右加左减、上加下减） 4.打通 “相交线→平行线→平移” 知识逻辑链 1.复杂图形中快速分离基础模型，规范作垂线 / 平行线 / 平移图形 2.角度计算 + 简单几何推理，步步有据写过程 3.平移法巧解实际面积 / 周长问题，实现几何建模 4.精准避坑：三类角混淆、判定性质混用等高频易错点 1.基础题（选择 / 填空）：对顶角计算、角的识别等，确保零失分 2.中档题：角度综合计算、网格作图、补全推理，稳稳拿分 3.压轴题：平行线 + 折叠 / 旋转、平移实际应用，理清思路规范书写 4.掌握题型技巧，把控解题节奏，期中考场高效作答 题型01.相交线与对顶角 题型02.垂线的定义与画法 题型03.垂线段与点到直线的距离 题型04.同位角.内错角.同旁内角 题型05.平行线的画法与位置关系 题型06.平行公理的应用 题型07.平行线的判定 题型08.同垂于一直线的两直线平行 题型09.平行线的性质 题型10.由平行线的性质探究角的关系 题型11.由平行线的性质求角的度数 题型12.平行线性质的应用 题型13.由平行线判定与性质求角度 题型14.由平行线判定与性质证明 题型15.平移现象的识别与判断 题型16.利用平移性质求解 题型17.利用平移解决实际问题 题型18.平移作图与综合题 题型19.平行线折叠问题 解答题8题 知识点01.相交线 1. 对顶角（两直线相交的基本角关系） 定义：有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角 性质：对顶角相等（期中必考性质） 考法：直接利用性质求角度、判断角的关系 2.邻补角 定义：有公共顶点和公共边，另一边互为反向延长线的两个角 .性质：邻补角互补（和为 180∘） 考法：找邻补角、利用互补关系求角度（基础计算必考题.） 关键：两直线相交，对顶角成对出现，邻补角也成对出现，且一个角的对顶角只有 1 个，邻补角有 2 个。 3. 垂线（特殊的相交：夹角为 90°） 垂线 定义：两条直线相交成 90∘，则互相垂直，其中一条是另一条的垂线 性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 考法：垂线定义辨析、用直尺 / 三角板画垂线 垂线段与距离 核心性质：垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段） 考法：利用垂线段最短解决最短路径问题、辨析点到直线的距离概念 知识点02.同位角、内错角、同旁内角 由两条被截直线和一条截线组成（三线），形成八个角（八角） 角的名称 位置特征 图形形象 数量（三线八角中） 同位角 截线同侧，被截线同方 形如 “F” 4 对 内错角 截线两侧，被截线之间 形如 “Z” 2 对 同旁内角 截线同侧，被截线之间 形如 “U” 2 对 知识点03.平行线 1. 平行线的定义与基本事实 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（符号：∥，如 a∥b）； 注意：① 前提同一平面内（空间中存在不相交也不平行的直线）；② 平行线是直线，无限延伸，不能用 “线段平行” 直接表述（需说明线段所在直线平行）。 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（唯一性 + 存在性）。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（几何语言：∵a∥c，b∥c，∴a∥b）。 内容：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 符号语言：若 a∥b，b∥c，则 a∥c 作用：用于间接证明两直线平行 2. 平行线的判定（由角的关系推线的平行，核心：证角相等 / 互补→证线平行） 3. 平行线的性质（由线的平行推角的关系，核心：证线平行→证角相等 / 互补） 知识点04.平移的定义与性质 1.平移定义 把一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移。 2. 平移的性质（必背） (1)平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置。 (2)对应线段平行且相等。 (3)对应点所连线段平行且相等。 (4)对应角相等。 知识点05.平移的作图步骤 作图步骤 几何语言 图示 (1)找关键点 (2)按方向和距离平移点 (3)顺次连接对应点 (4)写出结论 1.取 △ABC 的顶点 A,B,C 为关键点； 2.分别将 A,B,C 沿指定方向平移相同距离，得到对应点 A′,B′,C′； 3.顺次连接 A′B′,B′C′,C′A′； 4.结论：△A′B′C′ 就是 △ABC 平移后得到的图形。 题型01.相交线与对顶角 【典例】下列说法中：①因为对顶角相等，所以相等的两个角是对顶角；②在平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．正确的是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练1】下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线与直线相交于点O，平分，，，求的度数_______． 题型02.垂线的定义与画法 【典例】如图，直线交于点O，若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线、相交于O，于O，，平分．则的度数为___． 题型03.垂线段与点到直线的距离 【典例】如图所示，，，则下列结论中错误的是（   ） A．线段的长表示点到直线的距离 B．线段，，中，最短 C．线段的长表示点到直线的距离 D．线段表示点到直线的距离 【跟踪专练1】如图，，于，，，，则点到的距离是______，点到的距离是______，的依据是______． 【跟踪专练2】如图，点，在直线上，点在直线外，连接，，若，，则点到直线的距离可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型04.同位角.内错角.同旁内角 【典例】如图所示，直线，被直线所截： ①和是同位角； ②和是对顶角； ③与是内错角； ④和是同旁内角．则结论正确的是_______（填序号）． 【跟踪专练1】如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是____________.    【跟踪专练2】如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 题型05.平行线的画法与位置关系 【典例】已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（    ） A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条 【跟踪专练1】同一平面内有a,b,c三条直线，如果，，那么b与c的位置关系是（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．重合 D．以上都有可能 【跟踪专练2】在平面上，有不共线的4条直线，交点个数最多是个，最少是个，则的值(    ) A．6 B． C． D．5 题型06.平行公理的应用 【典例】如图，在括号内填理由． （1）如图①，因为，，所以（___________________）； （2）如图②，因为，过点F画（________________），所以（_____________________________）． 【跟踪专练1】有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与这条直线平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线的平行线有无数条； ④与同一条直线相交的两条直线一定也相交． 其中正确的有______．（只填序号） 【跟踪专练2】如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 题型07.平行线的判定 【典例】如图，下列条件能判定直线的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，点分别在上，连接，下列条件：；；；；．其中能判定的条件有______（填序号即可）． 【跟踪专练2】如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 题型08.同垂于一直线的两直线平行 【典例】已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【跟踪专练1】在同一平面内有条线，，…，，如果，，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【跟踪专练2】下列各图中，能画出的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 题型09.平行线的性质 【典例】如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，，，则的度数为__________°. 【跟踪专练2】如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【跟踪专练3】如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型10.由平行线的性质探究角的关系 【典例】如图，已知直线，则、、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，若，则，，三者之间的数量关系是________． 【跟踪专练2】如图，，，，被所截，平分，则下列结论正确的有（    ） 结论I：若平分，则； 结论Ⅱ：若，则平分； 结论Ⅲ：若，，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 题型11.由平行线的性质求角的度数 【典例】与在同一平面内，且与的两边分别平行，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练1】一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点D后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为__________．    【跟踪专练2】.如图，已知，点在、之间，连接、．直线、相交于点，且满足，，下列结论： ①若，，则； ②当时，若，则； ③． 其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型12.平行线性质的应用 【典例】如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是_______． 【跟踪专练1】如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为__________度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 【跟踪专练2】为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　） A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒 题型13.由平行线判定与性质求角度 【典例】如图所示，已知，，则的度数是__________． 【跟踪专练1】如图所示，，于点D，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，，接着如图2，三角板绕着点点C不动按逆时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒；三角板绕着点点C不动按顺时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒，且a、b满足，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，旋转______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 题型14.由平行线判定与性质证明 【典例】如图，，c与a相交，b与d相交，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【跟踪专练1】如图，，点在上，，平分，且平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_______．（填序号） 【跟踪专练2】如图，已知，，则下列各式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型15.平移现象的识别与判断 【典例】如图是2026马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，线段AB按一定的方向平移到线段CD，点A平移到点C，若AB=6cm，四边形ABDC的周长为28cm，则BD=_____cm． 【跟踪专练2】如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是_____． 【跟踪专练3】如图，将沿射线平移得到，下列线段的长度能表示平移距离的是（    ）    A． B． C． D． 题型16.利用平移性质求解 【典例】某中学校园内有一块长，宽的草坪，中间有两条宽的小路，把草坪分成了4块，如图所示，则草坪的面积___________． 【跟踪专练1】如图，将直角三角形沿方向平移4个单位长度得到直角三角形，连接，若四边形的面积为16，则四边形的面积为___________． 【跟踪专练2】如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿向右平移，得到三角形，设平移时间为秒，若在三个点中，一个点到另外两个点的距离存在倍的关系，则下列三人的说法：甲：“有两种情况，的值为或．”乙：“有三种情况，的值为或或．”丙：“有四种情况，的值为或或或．”其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 题型17.利用平移解决实际问题 【典例】如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 【跟踪专练1】把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 【跟踪专练2】如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 题型18.平移作图与综合题 【典例】如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【跟踪专练1】如图，已知三角形ABC中，∠ABC=90°，边BC=12，把三角形ABC沿射线AB方向平移至三角形DEF后，平移距离为6，GC＝4，则图中阴影部分的面积为_____________． 【跟踪专练2】原来是重叠的两个直角三角形，将其中的一个三角形沿着BC方向平移4个单位长度，就得到如图所示的图形，下列结论：①AC∥DF ②HE＝5 ③CF＝4 ④阴影部分面积为，正确的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型19.平行线折叠问题 【典例】如图，把长方形沿折叠后使两部分重合，若，则_____ 【跟踪专练1】如图，四边形为一长条形纸带，，将四边形沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】.如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．如图，直线与相交于点，射线在内部，且，，求的度数． 2．三角形在网格中的位置如图所示． (1)用三角尺过点A画出的垂线，垂足为D；过点C画出的垂线，垂足为E； (2)在（1）的条件下． ①点C到的距离是线段________的长；线段的长是点________到直线________的距离； ②比较大小： ________（填“”“”或“”）；依据是：________． 3．已知直线，嘉嘉和琪琪用两个完全一样的含30度的三角板想画出的平行线，他们的方法如下： (1)判断谁的方法正确； (2)就正确的方法，请说明理由． 4．如图1，对于两条直线被第三条直线所截的同旁内角满足，则称是的关联角． (1)当是的关联角且时，试判断直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，求出所有符合条件的的度数． 5．阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线上有两点G、K，直线上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线和直线之间，连接和，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴　　　　　　　　　　　　　　， ∴　　　　　　　（　　　　　　　）， ∵（已知）， ∴　　　　　　　， ∴（　　　　　　　）． 6．已知，如图，，，求证：． 证明：（已知）， 又（    ）， （    ）， （    ）， （    ）， （已知） _____（    ）， （    ）， （    ）． 7．【问题情境】如图①，，，，求的度数． 小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数． (1)按小明的思路，求的度数． (2)【问题迁移】如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． (3)【问题应用】在（2）的条件下，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 8．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $