旋转的性质与线段问题综合、旋转的性质与面积问题综合专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

旋转的性质与线段问题综合、旋转的性质与面积问题综合专项训练 旋转的性质与线段问题综合、旋转的性质与面积问题综合专项训练 考点目录 旋转的性质与线段问题综合 旋转的性质与面积问题综合 考点一 旋转的性质与线段问题综合 例1.(2526八年级下重庆开学考试)如图1，在平面直角坐标系中，直线：=-5与轴、y销分别交于点 A、点B,直线与x轴、y轴分别交于点C、点D,与直线交于点E(3,),且OD=V50B】 图1 图2 图3 (1)求直线的函数表达式： 2)如图2，点F在射线CA上，动点G、动点H分别在直线、直线上，连接EF、FG、FH、GH,当DEF 面积为6时，求△FGH周长的最小值： (3)如图3，在(2)的条件下，将△CDF沿射线FC平移至△C'D'F'处，再将△C"DF'绕点D旋转一定角度时，点 F'会与点C重合，记旋转过程中的△C'D'F'为aCD'F”,在整个旋转过程中，直线C"F”分别与直线FD'、x轴交 于点N、K,若△FNK是以NK为腰的等腰三角形，请直接写出此时NK的长 【答案】0)'= 3r+3 (2)6+25 8K的长为45或6+25或6-25 【详解】()解：直线：)=5与轴、y轴分别交于点4、点B, 旋转的性质与线段问题综合、旋转的性质与面积问题综合专项训练 当=0时，y=5,当=0时，x=5 4A5,0,B0,-V5 OA=OB=√3 又：直线与直线交于点E3,如， 将=3代入直线中，得”=a=3-5, E3,3-5, OD=30B 0D=3,即D0,3) 设直线的解析式为”=+b, 将3,3-5，D0,3到代入得， 3-V3=3k+b 3 3=b 解得b=3’ 直线的解斩式为 -x+3 3 (2)解：：直线与x轴交点C y=0时，x=35,即C33,0), 设点F(m,0m≤35， CF=33-m SADEF=6 2 旋转的性质与线段问题综合、旋转的性质与面积问题综合专项训练 .5.w-5.cw-5.c-CFlOD-ly-3-m)3-3+V3)-6. 解得m=V F-v5,0 :点G,H分别是直线，的动点， 如图，分别过点F作关于直线，的对称点F和，连接，，F5,5,G,DS,即， F F G “由轴对称的性质可知 FFCD FH =FH FFLBE FG=FG A△FHG周长为 H+GFG=FH+G+G3F5,当且仅当下、R、G、F共线时取最小值， 在Rt△DOF中，DF=VOD2+OF2=23 在RtaD0C中，CD=VOD2+OC=6 CF=3V3-m=4V3 DF2+CD2=12+36=48=4W5=CF2 :FD⊥CD F、D、E 共线， 同理，FB=OP2+OB=V6,AB=O+OB=6 旋转的性质与线段问题综合、旋转的性质与面积问题综合专项训练 FB2+AB2=6+6=12=2W5=AF2, ·FB⊥BE, 下、B、E共线， 连接DA, 在Rt△DOA中， DA=VD02+0A2=2N5 DF=DA=AF=23 “△DFA是等边三角形，即∠FDA=∠DFA=∠DAF=6O°， 又：DF=D5=-2V5 DF =DA =2V3 。 ∠FEA+∠DAF=∠FDA=60° ∠FFA=∠DAE=30° DEAF=DDAF+DDAE=90° FB=BA=√6∠FBA=90° ∠BFA=∠FAB=45°， 由对称知FA=AE, DAFB=DAF,B=45° ∠BAF,=45° ∠FAF,=90° 又∠AP=90 FC⊥EF 旋转的性质与线段问题综合、旋转的性质与面积问题综合专项训练 在Rt△EAF中，FA=VFE-FAP=6 FA=AF =2V3 △FHG周长最小值为FB=65 (3)解：由(2)知△FDA是等边三角形，即∠DFC=∠DAF=60°， ACDF沿射线FC平移至△CD'F'处， DF=D94=2√3∠D'FC'=60° 旋转后F与C重合，连接D'C, DF'=D'C=23 AD'F'C 是等边三角形，即 'F'=D'C=FC=2V3∠D'CF'=∠F'D'C=∠D'F'℃=60° FA-PC-23-FC, ·F'与A重合，如图， 此时D4=FA=2V5 DD4CD04t=30°， ∠D'CF'-60°D=25 ∠FD'C=90°FD4=√3D电=6 D D之 E F O A(F C ①当第一次FK=NK时，△FNK是以NK为腰的等腰三角形， 旋转的性质与线段问题综合、旋转的性质与面积问题综合专项训练 .DKFN=DKNF=30°， ·∠NKC'=∠KFW+∠KNF=6O°， .△CD'F'绕点Dd旋转的角度是60°， ∠F'D'F"=60°， 又：∠FD'C=60°.DC=DF"=2V5 A∠F'D'F"=∠F'D'C, ·D'F"与D'C重合，则F'、C、K重合，此时如图， C"(N) D D' 、C F OF(A)C(K) B NK =FK =FC =43 ②当第一次FN=NK时，△FWK是以NK为腰的等腰三角形， :FN NK, :DNFK=DNKF=30°， △C'D'F'绕点D旋转的角度是180°-30°=150°， ∠F'D'F"=150°， ∠F'D'W=∠F'D'C+∠CD'W=60°+90°=150°， A∠F'D'F"=∠FD'W, ∴D'F”与D'N重合，即F"、N重合，此时如图， C F"(N) A(F 6 旋转的性质与线段问题综合、旋转的性质与面积问题综合专项训练 NK =D+D =D+D-D+D=6+23 ③当第二次FK=NK时，△FWK是以NK为腰的等腰三角形，如图， VA E .DKNF=DKFN=30°， DF KC =DKNF +KFN =60 △CD'F'绕点D9旋转的角度是180°+60°=240°， :DC)心℃4=360°-240°=120°， DFD心4=180°-DD9C-DD9=180°-DD9C-DDCF=180°-30°-30°=l20°，D'C"=D'F=6, DCC-DEDC DC与DF重合，则C、K、F、N重合， “此时不存在； ④当第三次FK=NK时，△FNK是以WK为腰的等腰三角形，如图， F D D E A(F 同③，C”、K、F、N重合，此时不存在： ⑤当第二次FN=NK时，△FNK是以NK为腰的等腰三角形， DNKF=DNFK=30°， > 旋转的性质与线段问题综合、旋转的性质与面积问题综合专项训练 △C'D'F'绕点D9旋转的角度是360°-30°=330°， ∠F'D'F"=360°-330°=30°， ∠F'D'N=∠D'F'C-∠D'FC=60°-30°=30°， ·∠F'D'F"=∠F'D'N, D'F”与D'N重合，即F”、N重合，此时如图， D D' B NK =NF D'F-D'F"=6-23 综上所述，K的长为4W5或6+25或6-25 例2.(25-26八年级上·江苏连云港期中)在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边△ABC内部，且PA=3,PC=4,∠APC=150°，求PB的长. 图① 图② 图③ ()【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△AC绕点A按顺时针 方向旋转60°，得到△AP'B,连接PP,寻找PA,PB,PC三边之间的数量关系，即可求得PB的长，请写出详 细的证明过程： (2)【理解应用】如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC内一点，∠APC=135°，可判断出 AP2+2PC2=PB2,请说明理由： (3)如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO,B0,CO, 且∠A0C=∠C0B=∠B0A=120°，求0A+OB+OC的值. 旋转的性质与线段问题综合、旋转的性质与面积问题综合专项训练 【答案】(I)PB=5,证明见详解 (2)见解析 3吟 【详解】(1)解：PB=5,证明如下： 根据旋转的性质得，PA=P'A,∠PAP'=60°， ·△PAP'为等边三角形， .PP'=PA=3,∠AP'P=60°， :△ABC为等边三角形， AB=AC,∠BAC=60° ·∠BAP'=∠CAP=60°-∠BAP, △BAP'≌CAP(SAS BP'=CP=4,∠APB=∠APC=150°， ·∠BP'P=∠AP'B-∠AP'P=90°， “由勾股定理得，PB=√PP2+BP7=9+16=5 (2)解：如图所示，将PC绕点C顺时针旋转90°得到DC,连接 PC 90° AD,PD D B DC=PC,∠DCP=90°， ∠DPC=45°， PD2=CD2+PC2=2PC2 由勾股定理得， ∠ACB=90°， ·∠ACD=∠BCP=90°-∠ACP, 又AC=BC, △ACD≌BCP(SAS) 9 旋转的性质与线段问题综合、旋转的性质与面积问题综合专项训练 :.AD=PB, ∠APC=135°， ÷∠APD=∠APC-∠DPC=90°， AD2=PD2+AP2=2PC2+AP2 由勾股定理得 AP2+2PC2=PB2 (3)解：如图，将B绕点“顺时针旋转60得到DB,将1B绕点B顺时针旋转60心°得到4B,连接 O'A,00' A B 同(1)可得△OBO为等边三角形， O0'=OB,∠O'OB=∠OB0'=∠OOB=60° 同(1)可得△1BO≌AAB0(SAS OA'=OA,∠A'O'B=∠AOB=120°∠ABO=∠ABO ∠BOC+∠O'OB=180°，∠A'O'B+∠OO'B=180° C,0,0, “点 在同一条直线上， .0A+OB+OC=0'4+00'+OC=A'C, ∠OBC+ABO=30°=∠OBC+∠A'BO', ·∠OBC+∠A'BO+∠OBO'=90°， :∠C=90°，AC=1,∠ABC=30°， .A'B=AB=2AC=2, 由勾股定理得BC2=AB2-AC2=3, :AC=√AB2+BC2=V4+3=V万 o旋转的性质与线段问题综合、旋转的性质与面积问题综合专项训练 旋转的性质与线段问题综合、旋转的性质与面积问题综合专项训练 考点目录 旋转的性质与线段问题综合 旋转的性质与面积问题综合 考点一 旋转的性质与线段问题综合 例1．（25-26八年级下·重庆·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与直线交于点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点F在射线上，动点G、动点H分别在直线、直线上，连接、、、，当面积为6时，求周长的最小值； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿射线平移至处，再将绕点旋转一定角度时，点会与点C重合，记旋转过程中的为，在整个旋转过程中，直线分别与直线、x轴交于点N、K，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出此时的长． 例2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 例3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在等腰三角形和等腰三角形中，，．将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接，． (1)如图，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的关系为 ； (2)在的基础上，绕点逆时针继续旋转，中的结论是否成立？若成立，请画出图形并写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长． 变式1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 变式2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 变式3．（24-25八年级下·四川凉山·期中）在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 考点二 旋转的性质与面积问题综合 例1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 例2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知：如图1，四边形中，，，． (1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是_______． (2)若，，在（1）的基础上，求四边形的面积． (3)如图3，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_______． 例3．（24-25八年级下·广东深圳·月考）【探究发现】 （1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． 【拓展提升】 （3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值．    变式1．（24-25八年级下·辽宁阜新·月考）已知和都是等腰三角形，．    (1)如图①，当点D在外部，点E在内部时，求证：． (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，点C，D，E在同一直线上，为中边上的高．求的度数；判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，和都是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，连结．当时，在旋转过程中，与的面积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由． 变式2．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图，P是等边内的一点，且，将绕点B逆时针旋转，得到． (1)旋转角为_____度； (2)求点P与点Q之间的距离； (3)求的度数； (4)求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $