期中考试卷01（范围：第1～3章）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版新教材八年级下册 1—3章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 3．添加下列条件，其中可以判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（   ） A． B． C． D．且 5．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，的角平分线相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．25 8．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（    ） A．3 B． C． D．5 9．若不等式组的解集是，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．如图，是等腰直角三角形，，点是直线上一动点，连接，取的中点，作点关于直线的对称点，连接，若，当取得最大值时的长为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，直线，在中，，点在直线上，若，，则___________°． 12．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为E．若．则________________ ． 13．若点与点关于点中心对称．则___________． 14．若不等式组有三个整数解，则实数的取值范围是______． 15．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是__________． 16．如图，，，平分，，交延长线于，且垂足为，则下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤．其中正确的结论有_____（填写正确的序号）． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 18．如图，已知：，，，求的度数．完成证明过程： 证明：∵（   ）， ∴_________（   ）． ∵（已知）， ∴_________．（垂直定义） ∴_________，（直角三角形的两个锐角互余） ∴_________． 19．下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知，求，两种品牌足球的单价各多少元？ 【情境引入】 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌足球的单价为元，则列出一元一次方程：”． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）； ①种品牌足球的单价比种品牌足球的单价低元； ②种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元； (2)小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求，两种品牌足球的单价； (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，种品牌的足球单价打折，种品牌的足球单价优惠元．若此次学校购买，两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 20．如图，，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，是的平分线，求的度数． 21．如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上．按下列要求作图并解答． (1)将向左平移5个单位得到，点、的对应点分别为、，画出； (2)作关于点成中心对称的，点，的对应点分别为、． (3)与也成中心对称，写出对称中心的坐标：　　　　　　． (4)求的面积． 22．如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 23．将两个等腰三角形顶点重合叠放，，． (1)【探究发现】如图1，如图叠放，连接和，试证明：． (2)【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在上，连接和，． ①证明：． ②若延长交于点P，求的长度． (3)【联想拓展】如图3，在中放置等腰三角形，，，若，，那么请直接写出的长．（不需要证明） 24．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 25．等边中，点E、F分别在BC、AC上，且，与交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，交的延长线于，若为中点，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版新教材八年级下册 1—3章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中心对称图形绕着某个点旋转后能与原来的图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形； 选项B、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形； 选项C、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形； 选项D、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形． 2．已知，则下列不等式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵ A：不等式两边同乘，根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，可得，因此A错误； B：不等式两边同乘，根据不等式性质，不等号方向改变，可得，因此B错误； C：不等式两边同乘，得，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得 ，因此C正确； D：不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，因此D错误． 3．添加下列条件，其中可以判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形内角和定理、三角形三边关系相关知识逐一判断各选项． 【详解】解：A、，仅能说明是等腰三角形，无法得出存在内角为，故A错误． B、，三角形内角和为，，是直角三角形，故B正确． C、，，解得，是等边三角形，故C错误． D、设三边长分别为，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故D错误． 4．用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据反证法的步骤，第一步需假设命题结论不成立，找到结论的反面即可求解． 【详解】解：用反证法证明命题时，需假设原结论不成立， ∵原命题结论为，它的反面是， ∴第一步应该假设，即选项A符合题意． 5．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据边形的内角和为，进行求解即可. 【详解】解：. 6．如图，中，，的角平分线相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，可证明得到，则可判断①；由角平分线的定义和三角形内角和定理可推出，则由三角形外角的性质可得，进而可求出，由周角的定义可得，据此可判断②；证明，得到，据此可判断④；根据现有条件无法证明，故③错误． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵的角平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故③错误； ∴正确的有3个， 故选：C． 7．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】C 【分析】先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线， ， ∵，， 的周长为． 8．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，过点作于，利用角平分线的性质可得，再利用勾股定理求出的长，最后通过面积法建立方程求解的长，进而求出． 【详解】解：由作图步骤可知，平分 ，过点作于 ，平分， 在中，， ， 即 ∴ ∴ ∴ 9．若不等式组的解集是，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况求参数，掌握“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”是解本题的关键． 先求出不等式的解集，再根据两个不等式解集的公共部分为，即可确定n的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组的解集是， ， 故选D． 10．如图，是等腰直角三角形，，点是直线上一动点，连接，取的中点，作点关于直线的对称点，连接，若，当取得最大值时的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，，，根据轴对称的性质得出，，根据三角形三边关系得出，可得当、、三点在同一条直线上时，取最大值为，根据等腰三角形的性质得出，即可得出，进而可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形，，点是中点， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∵， ∴当、、三点在同一条直线上时，取最大值，最大值为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，直线，在中，，点在直线上，若，，则___________°． 【答案】56 【分析】由平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵在中，， ∴． 12．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为E．若．则________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰直角三角形的性质。熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，以及等腰直角三角形的两个锐角为是解题的关键．先根据角平分线的性质，得出；再根据等腰直角三角形的性质，推出为等腰直角三角形，进而求出的长度． 【详解】解：是的角平分线，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又，， ， 在中，，， 是等腰直角三角形，， ， 在直角中，根据勾股定理： ． 故答案为：． 13．若点与点关于点中心对称．则___________． 【答案】 【分析】本题考查了成中心对称的点的坐标特征，掌握中心对称的性质是解题的关键．根据成中心对称的两个点之间的坐标关系即可解决问题． 【详解】解：点与点关于点中心对称， ，， 解得，， ． 故答案为：． 14．若不等式组有三个整数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解出不等式组的解集，再根据不等式组有三个整数解，即可得到，然后求出的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组有三个整数解， ∴三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴实数的取值范围是． 15．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据题意得出点坐标的变化规律，进而得出点的坐标，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 依此规律， ∴每4次循环一周，， …， 总结规律得：横纵坐标的绝对值是， ∵, ∴与在同一象限，即第三象限， ∴点． 16．如图，，，平分，，交延长线于，且垂足为，则下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤．其中正确的结论有_____（填写正确的序号）． 【答案】①③④⑤ 【分析】证明可判断①与②；进而得，证明，得，即可判断③；由及可判断④；由及可判断⑤． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴，故①正确； ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两解集的公共部分，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 故原不等式组的解集是， 其解集在数轴上表示如下所示： 【点睛】解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 18．如图，已知：，，，求的度数．完成证明过程： 证明：∵（   ）， ∴_________（   ）． ∵（已知）， ∴_________．（垂直定义） ∴_________，（直角三角形的两个锐角互余） ∴_________． 【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；；； 【分析】根据平行线的性质与垂直的定义，直角三角形两锐角互余逐一完善推理过程与依据即可. 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴．（垂直定义） ∴，（直角三角形的两个锐角互余） ∴． 19．下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知，求，两种品牌足球的单价各多少元？ 【情境引入】 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌足球的单价为元，则列出一元一次方程：”． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）； ①种品牌足球的单价比种品牌足球的单价低元； ②种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元； (2)小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求，两种品牌足球的单价； (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，种品牌的足球单价打折，种品牌的足球单价优惠元．若此次学校购买，两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 【答案】(1)② (2)种品牌足球的单价为元．种品牌足球的单价为元 (3)应选择方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个 【分析】（1）根据小明所列的一元一次方程，分析与的含义，结合选项判断被覆盖的条件． （2）设、两种品牌足球的单价分别为元、元，根据“品牌单价比品牌高元”和“购买个、个共花费元”列二元一次方程组，求解方程组得到单价． （3）设购买品牌足球个，则购买品牌足球个，根据“总费用不超过元”和“品牌数量不少于个”列一元一次不等式组，求解得到的取值范围，结合为正整数确定所有购买方案，再分别计算各方案费用，选出费用最低的方案． 【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元， 方程中，表示种品牌足球的单价， 种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元， 故被覆盖的条件为②． （2）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：种品牌足球的单价为元．种品牌足球的单价为元； （3）解：设购买种品牌的足球个，则购买种品牌的足球个， 依题意，得， 解得， 又∵为正整数， ∴可以为，，， ∴共有种购买方案， 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； ∵， ∴为了节约资金，学校应选择方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个． 20．如图，，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，是的平分线，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的判定和性质进行求解； （2）根据角平分线得出相等的角，然后根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的平分线， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 【点睛】重点掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质． 21．如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上．按下列要求作图并解答． (1)将向左平移5个单位得到，点、的对应点分别为、，画出； (2)作关于点成中心对称的，点，的对应点分别为、． (3)与也成中心对称，写出对称中心的坐标：　　　　　　． (4)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）先确定点的位置，然后连线画出图形即可； （2）先确定点的位置，然后连线画出图形即可； （3）连接，结合成中心对称的图形特点，以及中点坐标公式求解，即可解题； （4）利用割补法求出三角形面积即可． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示： （3）解：连接， 由图知，， 对称中心的坐标为，即； （4）解：的面积为：． 22．如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）作高线，根据等边三角形的性质和勾股定理求和的长，写出点的坐标，注意象限的符号问题； （2）根据等边三角形性质和平移的性质，由可证． 【详解】（1）解：如图1，过作于，    ∵是等边三角形，且， ， ∴， ∴ （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵将沿着x轴向右平移到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 23．将两个等腰三角形顶点重合叠放，，． (1)【探究发现】如图1，如图叠放，连接和，试证明：． (2)【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在上，连接和，． ①证明：． ②若延长交于点P，求的长度． (3)【联想拓展】如图3，在中放置等腰三角形，，，若，，那么请直接写出的长．（不需要证明） 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）先证明，再利用即可证明； （2）①由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，即；②由勾股定理求出的长，可证明，则，可得，求出的长即可得到答案； （3）作，且使得，连接，可证明；证明，得到；过点A作于点G，则，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可求出的长，进而得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ②∵， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，作，且使得，连接， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于点G，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 25．等边中，点E、F分别在BC、AC上，且，与交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，交的延长线于，若为中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）首先由等边三角形得到，，然后证明出即可； （2）由得到，然后等量代换得到，求出，即可得到； （3）连接，证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形 ∴，， ∵， ∴， （2）证明：由（1）得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（2）得 ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $