精品解析：陕西咸阳市武功县普集高级中学2025-2026学年高三下学期考前核心模拟卷数学试题

2025~2026学年高三核心模拟卷（中）数学（六） 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量的夹角为，，则（ ） A. B. C. 48 D. 75 4. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 5. 已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是关于的方程的两个不同的根，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足设，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为的一个周期 B. 在上恰有2个零点 C. 在处取得极小值 D. ，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是奇函数，则___________． 13. 已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求的值； （2）若，求的面积． 16. 已知甲盒中有2个红球，4个白球，乙盒中有3个红球，5个白球，这些球除了颜色外完全相同． （1）从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，记这3次中取出红球的次数为随机变量，求的数学期望和方差； （2）从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为随机变量，求的分布列． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点是棱上的一点（不同于端点），且． （1）求证：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求在区间上的值域； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年高三核心模拟卷（中）数学（六） 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简，根据并集定义求，再结合补集定义求结论. 【详解】依题意，全集， 又，， 所以， 所以. 故选：C. 2. 设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若满足，此时，不为纯虚数， “”不是“复数为纯虚数”的充分条件， ， 若复数为纯虚数，则， ， “”是“复数为纯虚数”的必要条件． “”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B． 3. 已知向量的夹角为，，则（ ） A. B. C. 48 D. 75 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直关系，可得的值，根据数量积公式，可得，对所求平方，整理计算，即可得答案. 【详解】因为，所以，即，则， 所以，解得， 所以. 4. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列， 又，所以， 所以． 5. 已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设该圆锥的高为，所以，解得， 设球的半径为，由题意知，解得， 所以球的表面积为． 6. 已知是关于的方程的两个不同的根，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，再结合两角和的正切公式以及二倍角正切公式即可求得答案. 【详解】因为是关于的方程的两个不同的根，且， 所以，， 所以， 又，，所以，解得． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】记的焦距为，设，则，即， 由，得，即， 则，整理得，又， 因此，解得， 所以的离心率的取值范围是． 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将，，通过构造函数看成两函数交点的横坐标，数形结合比较大小即可. 【详解】因为，且，所以， 同理，由，可得， 由，可得． 令，得，所以在上单调递减， 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示：从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】令，得，故A正确； 的展开式中，， ，， ，故B正确； 令，得，令，得， ， 又， ，故C错误，D正确． 10. 已知数列满足设，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】依题意，，故A错误； 因为，， 所以是以6为首项，2为公比的等比数列，故正确； 所以，所以， 所以，故C正确； ，故D错误． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为的一个周期 B. 在上恰有2个零点 C. 在处取得极小值 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于B：解方程求零点即可判断；对于C：求导，利用导数判断原函数单调性，进而可得极值点；对于D：根据单调性结合周期性、奇偶性分析的最值，进而可得结果． 【详解】，故A错误； 令，即，得或， 当时，解得或， 所以在上恰有2个零点，故B正确；， 所以是的一个周期， 因为的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数， 又， 当时，则，可得； 当时，则，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故C正确； 且，所以在上的最小值为， 结合奇函数对称性可知：在上的最大值为， 所以在内的最小值为，最大值为， 结合周期性可知：在上的最小值为，最大值为， 所以，都有，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是奇函数，则___________． 【答案】1 【解析】 【详解】因为是奇函数，所以， 即， 整理得，解得． 13. 已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】求出样本数据的平均数的表达式，再利用“1”的妙用结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为数据的平均数为，数据的平均数为， 所以， 所以样本数据的平均数为， 又正数满足， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故样本数据的平均数的最小值为5． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，先根据双曲线的定义得到，，利用三角形的面积公式可得，，进而得到，再由及余弦定理可得，进而求解即可. 【详解】由双曲线，得，则，， 设，则， 所以， ， 则． 在与中，， 即，整理得， 所以，解得， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到，再由正弦定理边化角即可求解； （2）由，结合（1）求得，再结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，由余弦定理得，整理得， 由正弦定理得，即， 所以，所以， 因为为三角形内角，， 等式两端同除以， 可得． 【小问2详解】 因为， 由（1）知，，解得，，为钝角， 又, 解得， 由（1）知， 所以的面积为． 16. 已知甲盒中有2个红球，4个白球，乙盒中有3个红球，5个白球，这些球除了颜色外完全相同． （1）从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，记这3次中取出红球的次数为随机变量，求的数学期望和方差； （2）从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为随机变量，求的分布列． 【答案】（1），； （2） 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）由二项分布进行求解； （2）由超几何分布进行求解． 【小问1详解】 由题意知， 所以， 【小问2详解】 由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点是棱上的一点（不同于端点），且． （1）求证：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由平面可得，结合可得平面，进而得到，再结合可得平面，可得，进而结合即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 证明：因为平面平面，所以． 因为底面是矩形，所以， 又平面平面，所以平面． 因为平面，所以， 又平面平面， 所以平面，又平面，所以． 又因为，所以为的中点，则． 【小问2详解】 不妨设，则， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，， 所以，． 设平面的一个法向量， 所以，令，得． 设平面的一个法向量， 所以，令，得. 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值是． 18. 在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）8；（ii）为定值2. 【解析】 【分析】（1）根据两点间距离公式及条件，列出方程，整理即可得答案. （2）（i）根据C的方程，可得点P的坐标，分析可得当时，点到直线的距离取得最大值，求出的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得的值，代入弦长公式，即可得答案. （ii）设出直线的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得的表达式，写出直线的方程，即可得点M的纵坐标的表达式，同理可得点N的纵坐标的表达式，结合条件可得的表达式，整理计算，即可得答案. 【小问1详解】 设点为上任意一点，因为圆过点且与直线相切， 所以与点到直线的距离相等，故，整理得， 即的方程为． 【小问2详解】 （i）因为点是上的一点，所以，解得，即， 当点到直线的距离取得最大值时，有， 又，所以直线的斜率为，则直线的方程为， 设，由，得，所以， 所以． （ii）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 由，得， 此时即即且, 又， 则直线的方程为， 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，得． 所以 ．即为定值2. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求在区间上的值域； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时， 在上单调递增，在上单调递减 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，结合函数对与0的大小进行分类，分类讨论函数的单调性即可； （2）分析得到是奇函数，故只需先利用导数分析得到在上的单调性与最值，再对称得到的情况即可求解； （3）将整理为，构造函数，则原问题转化为对任意的恒成立，即当时，；当时，恒成立；当时，，求导得 ，，则可对，及，分类讨论，利用导数判断的单调性及范围求解. 【小问1详解】 由题意知， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 因为，所以是奇函数， 又，当时，，，所以， 令，所以， 当时，，所以即在上单调递减， 又，，所以，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以当时，， 又是奇函数，所以当时，． 综上，在区间上的值域为． 【小问3详解】 若对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 记，即对任意的恒成立， ，，， 当时，当，令，则， 所以在上单调递增， 令，则，故在上单调递增， 则，所以当时，， 又，， 故存在唯一的，使得， 当时，，在上单调递减， 所以，此时，不符合题意． 当时，（i）若，令，，则， 故在上单调递增，则， 所以，则在上单调递增， 所以恒成立，即成立，符合题意； （ii）当时，若，则在上单调递增， 又，，所以存在唯一的，使得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又，，故存在唯一的，使， 故当时，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又，， 所以时，，则在上单调递增， 故，即恒成立． 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $