精品解析：陕西咸阳市武功县普集高级中学2025-2026学年高三核心模拟卷（中）数学（三）试题

2025~2026学年高三核心模拟卷（中） 数学（三） 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，若复数是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 3. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 若，，则（ ） A B. C. D. 5. 设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 2 6. 已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的侧面积为，其母线与底面所成的角是60°，要在圆锥内挖去一个体积最大的圆柱，要求圆柱的一个底面在圆锥的底面上，则挖去的圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有大于0的极大值，其中，都是实数，则（ ） A. B. C. 在内有2个零点 D. 在内有1个零点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某种水果成熟后重量为200g左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出10个水果，称得重量如下：206，200，198，205，200，200，202，190，192，210（单位：g），重量在内的水果为优质水果，则（ ） A. 这10个数据的极差小于10 B. 这10个数据的中位数与众数相等 C. 从这10个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变小 D. 估计这块水果园中优质水果占60% 10. 已知函数，为的一个零点，的图象关于点对称，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 11. 张教授与李教授要在个课题中，各自选择3个课题开展研究，张教授与李教授对课题的选择互不影响，则（ ） A. 张教授选择A课题的概率为 B. 张教授与李教授都选择了A课题的概率为 C. 已知张教授选择了A课题，他再选择B课题的概率为 D. 记张、李两教授选择A课题的人数为，则的数学期望为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等比数列的前项和为，若，，则______． 13. 在的展开式中，含项的系数是，若，则等于______． 14. 已知抛物线的准线方程为，，是上不同于原点的两点，，，垂足为．若的轨迹为曲线，曲线上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则实数的取值集合为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对边分别为，，，． （1）求角； （2）若点在上，，，求． 16. 已知数列，满足，且． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点． （1）求证：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的长． 18 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若在上有两个零点，求实数的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，证明：． 19. 已知椭圆的离心率为，，是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设点在直线上，且在轴上方，直线交于另一点，直线，交轴于点． （i）若直线与直线交于点，直线与直线的交点为，问点是否在上？并说明理由； （ii）若在上存在点，使得，求坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年高三核心模拟卷（中） 数学（三） 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，若复数是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 由题意，，所以． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， ， 所以，．故C选项正确. 3. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 由得， 所以． 5. 设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设中点为，由，可得，则，从而得到，根据双曲线的定义及关系得解. 【详解】设中点为，因为，所以为到直线的距离，即，则，，由双曲线定义，所以，则，联立得到，同除以得到，或（舍）. 故选：B. 6. 已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 可知函数为上的偶函数，． 因为在上单调递增，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 不等式可化为， 所以，解得或． 7. 已知圆锥的侧面积为，其母线与底面所成的角是60°，要在圆锥内挖去一个体积最大的圆柱，要求圆柱的一个底面在圆锥的底面上，则挖去的圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知可求得圆锥的底面半径和高，设挖去的圆柱底面半径为，高为，列出函数关系借助导数求得最值. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由母线与底面所成角是60°，知，， 所以侧面积为． 设挖去的圆柱底面半径为，高为，要圆柱体积最大， 首先有，所以， 圆柱的体积，， 则得， 所以上单调递增，在上单调递减， 所以时，取得最大值，最大值为． 8. 已知函数有大于0的极大值，其中，都是实数，则（ ） A. B. C. 在内有2个零点 D. 在内有1个零点 【答案】D 【解析】 【分析】由函数有大于0的极大值可得及，进而可判断AB选项；再由函数的零点得，通过构造函数，判断与在，交点可判断CD选项. 【详解】因为的定义域为，当时，显然在上没有极值， 当时，显然在上也没有极值， 所以，得，由有极大值知， 且时，时，所以，A错误； 所以函数极大值，，, ，，，，即； 若，则，所以B错误： 再由得，设，则，， 当时，；当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为，如图： 又因为．因为，. 所以当时，与在有1个交点，在也只有1个交点； 当时，与在有1个交点，在有2个交点； 所以当时，函数在内有1个零点，在内有1个零点； 当时，函数在内有1个零点，在内有2个零点； 所以C错误，D正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某种水果成熟后重量为200g左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出10个水果，称得重量如下：206，200，198，205，200，200，202，190，192，210（单位：g），重量在内的水果为优质水果，则（ ） A. 这10个数据的极差小于10 B. 这10个数据的中位数与众数相等 C. 从这10个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变小 D. 估计这块水果园中优质水果占60% 【答案】BCD 【解析】 【详解】把这组数据从小到大排列为190，192，198，200，200，200，202，205，206，210，则这组数据的极差为20，A选项错误； 众数与中位数都是200，B选项正确； 去掉最重的与最轻的，数据在区间内，差距小了，方差变小了，C选项正确； 10个水果中有6个重量在内，优质率为60%，D选项正确. 10. 已知函数，为的一个零点，的图象关于点对称，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】先由函数的性质可得，，进而可得，从而判断各个选项可得. 【详解】因为一个零点为，的图象关于点对称，且在上单调递增， 所以，所以，A正确； 由及，得，B错误； 所以，C正确； 因为时，不存在，因为， 所以函数在上单调递增，故D错误． 11. 张教授与李教授要在个课题中，各自选择3个课题开展研究，张教授与李教授对课题的选择互不影响，则（ ） A. 张教授选择A课题的概率为 B. 张教授与李教授都选择了A课题的概率为 C. 已知张教授选择了A课题，他再选择B课题的概率为 D. 记张、李两教授选择A课题的人数为，则的数学期望为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据古典概型概率计算公式计算可判断A；根据独立事件乘法公式计算可判断B；根据条件概率计算可判断C；列举出所有可能取值，求出对应概率，根据数学期望计算公式计算可判断D. 【详解】从中选择3个的选法：，共10种， 其中选择A的有6种，所以选择A的概率为，A错误； 张教授与李教授都选择了A课题的概率为，B正确； 由于张教授选择了A课题的方法有6种， 他再选择B课题，由于6种方法中包含B课题的有3种， 那么张教授选择B课题的概率为，C错误； 张教授与李教授选择A的概率都是，不选择A的概率都是， 的取值为， ， ，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等比数列的前项和为，若，，则______． 【答案】255 【解析】 【详解】设的公比为，由，得，解得, 所以． 13. 在的展开式中，含项的系数是，若，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出的值，再利用赋值法求出. 【详解】的展开式前三项为， 的展开式前三项为， 所以的系数为，. 即， 令，得． 14. 已知抛物线的准线方程为，，是上不同于原点的两点，，，垂足为．若的轨迹为曲线，曲线上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则实数的取值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，韦达定理，利用向量垂直的坐标运算求得直线恒过点，然后利用求得点的轨迹是以为直径的圆（不含点），最后利用圆心到直线的距离列式求解即可. 【详解】的方程为，设直线的方程为， 的方程与的方程联立，消去得，设， 则时，， 由得，又，所以，直线的方程为， 所以直线恒过点． 因为，所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点）， 方程为， 因为上到直线的距离为1的点有且仅有3个， 所以到直线的距离为1，所以，解得或； 又直线过圆心时，此时，， 点到直线的距离为， 此时圆上有含的四点到直线距离为1，由曲线不过点可知，符合题意． 故的取值集合为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）求角； （2）若点在上，，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得角大小； (2)先中求得，再利用三角恒等变换求得，最后利用正弦定理求得. 【小问1详解】 由正弦定理得得， 所以，所以由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 在中，，所以，， 又， 在中，由正弦定理得． 16. 已知数列，满足，且． （1）求，的通项公式； （2）求数列前项和； （3）在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系得出是等差数列，结合通项公式可得答案，通过构造等比数列可求的通项公式； （2）利用分组求和的方法及错位相减法可求答案； （3）利用古典概率的求法可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以，所以， 是首项为0，公差为2的等差数列，所以， 由，得，所以，所以， 故，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 ，， 令， 则， 上两式相减，得， 所以，又， 所以． 【小问3详解】 因为，的前20项分别为， 由得， 又是偶数，所以在的前20项中有4项是中的项， 所以所求概率． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点． （1）求证：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量表示平面与平面夹角的余弦，从而求的长. 【小问1详解】 取中点，连接，， 因为是中点，所以，， 又在直三棱柱中，，，是中点， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 取中点，连接，， 由是中点，所以在直棱柱中，平面， 因为，所以， 所以． 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则， 所以． 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则. 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以， 解得，所以． 18. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若在上有两个零点，求实数的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，证明：． 【答案】（1）时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导数，分类讨论的取值情况来判断单调性； （2）分离参数，求解新函数的极值可求答案； （3）设，把目标式用表示，利用导数判断单调性可证. 【小问1详解】 的定义域为，． 当时，在上单调递增；当时，由得， 由得，由得， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上，时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 因为在上有两个零点，所以， 由得，令，则， 所以，时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 有极大值，也就是最大值为， 又无限趋近时，无限趋近于0， 所以在上有两个零点时，， 所以，即的取值范围是． 【小问3详解】 因为有两个极值点， 所以，有两个实数根， 所以可得， 设，将代入，得， 所以， 所以要证，只需证，即． 设，则． 令，则，可知在上为增函数． 又，所以时，在上为增函数． 所以，即成立，所以成立． 19. 已知椭圆的离心率为，，是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设点在直线上，且在轴上方，直线交于另一点，直线，交轴于点． （i）若直线与直线交于点，直线与直线的交点为，问点是否在上？并说明理由； （ii）若在上存在点，使得，求的坐标． 【答案】（1） （2）（i）点在上，理由见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴长确定，得到的方程； （2）（i）根据题意得到直线与直线的方程，再求出交点判断即可； （ii）先得到点为定点，再设，得到，建立方程求解． 【小问1详解】 解：由题设得，解得． 所以的方程为． 【小问2详解】 （i）点在上，理由：由（1）知，设， 由条件知，且，所以， 则直线的方程为与直线的交点为， 直线的方程为与直线的交点为， 所以直线的方程为，直线的方程为 由知与不平行，设直线与的交点为， 则，所以． 所以，所以点在上； （ii）由（i）知的斜率为，又， 所以直线的方程为，取得点 由（i）知，所以，即是定点， 设，由得， 又，所以两式联立解得，或， 又，所以， 解得，所以点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $