解答题专项突破之一元二次方程（六大板块）2025-2026学年浙教版数学八年级下册

解答题专项突破之一元二次方程2025-2026学年 浙教版八年级下册（六大板块） 板块一：解一元二次方程 1.用开平方法解下列方程： (1)；(2)． 2.用配方法解方程：x2+5x+7＝3x+11． 3.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)． 4．用指定的方法解下列方程： （1）x2+6x﹣16＝0（配方法）； （2）x2+10x+9＝0（公式法）． 5.用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 题型二：判别式和根与系数的关系综合问题 1.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值． 2.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 3.已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． （1）求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝2x1•x2，求m的值． 5.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值． 题型三：根与系数的关系与几何问题 1.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣3＝0的两个根为a，b． (1)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值； (2)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为4，求m的值． 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 3.已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根． （1）若AB的长为6，求m的值； （2）m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长． 板块四：一元二次方程应用题之变化率问题 1.受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由40000元/平方米，下降到32400元/平方米． （1）求房价年平均下降率； （2）按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？ 2．台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 3.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 4．随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人． （1）求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率； （2）预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多少万人？ 5．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 板块五：一元二次方程应用题之变面积问题 1．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度； ​ 2．某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）． （1）若花园的面积为400平方米，求AB的长； （2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出AB的值；若不能，请说明理由． 3.小庆家为发展乡土特产“杏花鸡”，计划在农场中用篱笆围一个养鸡场．如图，利用一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形养鸡场，设的长为，的长为． (1)求关于的函数关系式（包括自变量的取值范围）； (2)如果篱笆的总长为，求出的长． 4.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）． （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ 5.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿A边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从C点开始沿CB边向点B以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）． （1）如果P、Q分别从A、C两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ （3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由． 板块六：一元二次方程应用题之销售问题 1.某商店进了一批服装，进价为每件50元，按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件，若商店计划获利12000元，且尽可能减少进货量，问销售单价应定为多少元？ 2．某商店经销一种销售成本为每千克30元的水产品．据某乐同学在市场分析，若按每千克40元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克． （1）当销售单价是定为每千克45元时，求月销售利润； （2）某商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 3．昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，设售价在40元/个的基础上涨价x元． （1）用含有x的代数式表示月销售量y； （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 4．“杭州亚运•三人制篮球”赛将于9月25﹣10月1日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件． （1）若降价5元，求平均每天的销售数量； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？ 5.安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】 解答题专项突破之一元二次方程2025-2026学年 浙教版八年级下册（六大板块） 板块一：解一元二次方程 1.用开平方法解下列方程： (1)；(2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或， ，； （2）解： 或 ，． 2.用配方法解方程：x2+5x+7＝3x+11． 【答案】解：原方程可化为， ， ， ， ， 3.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， 解得． 4．用指定的方法解下列方程： （1）x2+6x﹣16＝0（配方法）； （2）x2+10x+9＝0（公式法）． 【答案】解：（1）方程变形得：x2+6x＝16， 配方得：x2+6x+9＝16+9，即（x+3）2＝25， 开方得：x+3＝±5， 解得：x1＝2，x2＝﹣8； （2）x2+10x+9＝0， 这里a＝1，b＝10，c＝9， ∵Δ＝100﹣36＝64＞0， ∴x＝＝﹣5±4， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣9． 5.用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ， ，． （2）解： ， ， ， ， 或， ，． 题型二：判别式和根与系数的关系综合问题 1.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×2m ＝m2+8m+16﹣8m ＝m2+16＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m， ∵x1+x2+x1x2＝m2﹣4m， ∴﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m， 解得m＝1或4， 即m的值为1或4． 2.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根， ∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0， 解得k≤， 即k的取值范围是k≤； （2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2， ∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1， ∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1， 解得k＝3， 即k的值是3． 3.已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m2﹣9）＝4m2﹣4m2+36＝36＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根． （2）解：x2﹣2mx+m2﹣9＝0，即（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）＝0， 解得：x1＝m+3，x2＝m﹣3． ∵x1+x2＝6， ∴2m＝6， 解得：m＝3． 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． （1）求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝2x1•x2，求m的值． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（m+1）＝16﹣4m﹣4＞0， 解得：m＜3． （2）∵该方程的两个实数根为x1、x2， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝m+1． ∵x1+x2＝2x1•x2， ∴2（m+1）＝4， 解得：m＝1． 5.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值． 【答案】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0， 解得：k＞﹣， 即k的取值范围是k＞﹣； （2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝k2﹣2， ∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11， [﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11， 解得：k＝﹣3或1， ∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根， 必须k＞﹣， ∴k＝﹣3舍去， 所以k＝1． 题型三：根与系数的关系与几何问题 1.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣3＝0的两个根为a，b． (1)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值； (2)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为4，求m的值． 【答案】（1）∵a，b分别为矩形的两条对角线的长 ∴a＝b ∴Δ＝(﹣6)2－4(m-3)＝0 m＝12 （2）根据根与系数关系 得：a·b＝m-3 ∵S菱形＝a·b＝4 ∴(m-3)＝4 ∴m＝11 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 【答案】解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4（3m+6）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0， ∴不论实数m取何值，即方程总有实数根； （2）设方程的两个根为a，b， 则：a+b＝m+5，ab＝3m+6， 由题意可得：a2+b2＝25， ∴（a+b）2﹣2ab＝25， ∴（m+5）2﹣2（3m+6）＝25， 解得：m＝2或m＝﹣6， 当m＝﹣6时，a+b＝﹣6+5＝﹣1＜0，不合题意，舍去． ∴m＝2． 3.已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根． （1）若AB的长为6，求m的值； （2）m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】解：（1）∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，AB的长为6， ∴把x＝6代入x2﹣8x+m＝0， 得：62﹣8×6+m＝0， 解得：m＝12； （2）由条件可知方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4m＝0， ∴m＝16， 此时方程为x2﹣8x+16＝0， ∴x1＝x2＝4， ∴AB＝AD＝4，即菱形的边长为4； 答：m＝16，平行四边形ABCD是菱形，菱形的边长是4． 板块四：一元二次方程应用题之变化率问题 1.受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由40000元/平方米，下降到32400元/平方米． （1）求房价年平均下降率； （2）按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？ 【答案】解：（1）设房价年平均下降率为x， 依题意得：40000（1﹣x）2＝32400， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）． 答：房价年平均下降率为10%． （2）32400×（1﹣10%）＝32400×90%＝29160（元）． 答：下一年该市的平均房价约为每平方米29160元． 2．台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【答案】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得， 3000×（1+x）2＝4320， 解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：捐款增长率为20%． （2）4320×（1+20%）＝5184元． 答：第四天该单位能收到5184元捐款． 3.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 【答案】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%， 依题意得：400×（1﹣x%）2=324， 解得：x=10，或x=190（舍去）． 答：该种商品每次降价的百分率为10%． （2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件， 第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）； 第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）． 依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210， 解得：m≥22.5． ∴m≥23． 答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件． 4．随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人． （1）求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率； （2）预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】解：（1）设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为x， 根据题意得：8（1+x）2＝12.5， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为25%； （2）设6月份后20天日均接待游客人数是y万人， 根据题意得：6.625+20y≤12.5×（1+25%）， 解得：y≤0.45， ∴y的最大值为0.45． 答：6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人． 5．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x， 依题意得：10（1+x）2＝12.1， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%． （2）12.1×（1+10%）＝13.31（万件）， ∵0.6×16＝9.6（万件），9.6＜13.31， ∴该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务． 设需要增加y名快递投递员， 依题意得：0.6（20+y）≥13.31， 解得：y≥， 又∵y为正整数， ∴y的最小值为3． 答：该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加3业务员． 板块五：一元二次方程应用题之变面积问题 1．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度； ​ 【答案】解：设丝绸条带的宽度为xcm， 由题意得：2x×40+（60﹣2x）x＝650， 整理得：x2﹣70x+325＝0， 解得：x1＝5，x2＝65 （不合题意，舍去）， 答：丝绸条带的宽度为5cm． 2．某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）． （1）若花园的面积为400平方米，求AB的长； （2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出AB的值；若不能，请说明理由． 【答案】解：（1）设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米， 由题意得：x（50﹣x）＝400， 解得：x1＝10，x2＝40， 即AB的长为10米或40米； （2）花园的面积不能为625米2， 理由如下： 设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米， 由题意得： x（50﹣x）＝625， 解得：x1＝x2＝25， 当x＝25时，BC＝50﹣x＝50﹣25＝25， 即当AB＝25米，BC＝25米＜30米， ∴花园的面积不能为625米2． 3.小庆家为发展乡土特产“杏花鸡”，计划在农场中用篱笆围一个养鸡场．如图，利用一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形养鸡场，设的长为，的长为． (1)求关于的函数关系式（包括自变量的取值范围）； (2)如果篱笆的总长为，求出的长． 【答案】(1) (2)的长为 【详解】（1）解：由题意知，， ∴． ∵，， ∴， 解得，， 关于的函数关系式为． （2）解：当篱笆的总长为时， ∴， 依题意得，，整理得， 解得，，． 当时，（不符合题意，舍去）； 当时，（符合题意）． ∴的长为． 4.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）． （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ 【答案】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得： ×2t（6﹣t）=××6×8， 解得：t=2或4． 答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一． （2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得： （6﹣x）2+（2x）2=36， 解得：x=0（舍去）或x=． 答：秒时，P、Q相距6厘米． 5.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿A边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从C点开始沿CB边向点B以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）． （1）如果P、Q分别从A、C两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ （3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由． 【答案】解：（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一， 由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t， ×2t×（6﹣t）=××6×8， 解得：t=2或4， ∵0≤t≤4， ∴t=2或4符合题意， 答：经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一； （2）在Rt△PQB中，PQ2=BQ2+PB2， ∴62=（2t）2+（6﹣t）2， 解得：t1=0（舍），t2=， 答：秒钟后，P、Q相距6厘米； （3）由题意得：PB=6﹣t，BQ=8﹣2t， 分两种情况： ①当PQ平分△ABC面积时， S△PBQ=S△ABC， （6﹣t）（8﹣2t）=××8×6， 解得：t1=5+，t2=5﹣， ∵Q从C到B，一共需要8÷2=4秒，5+＞4， ∴t1=5+不符合题意，舍去， 当t2=5﹣时，AP=5﹣，BP=6﹣（5﹣）=1+，BQ=8﹣2（5﹣）=2﹣2，CQ=2（5﹣）=10﹣2， PQ将△ABC的周长分为两部分： 一部分为：AC+AP+CQ=10+5﹣+10﹣2=25﹣3， 另一部分：PB+BQ=1++2﹣2=3﹣1， 25﹣3≠3﹣1， ②当PQ平分△ABC周长时， AP+AC+CQ=PB+BQ， 10+2t+t=6﹣t+8﹣2t， t=， 当t=时，PB=6﹣=， BQ=8﹣2×=， ∴S△PBQ=××=≠12， 综上所述，不存在这样一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积． 板块六：一元二次方程应用题之销售问题 1.某商店进了一批服装，进价为每件50元，按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件，若商店计划获利12000元，且尽可能减少进货量，问销售单价应定为多少元？ 【答案】解：设销售单价为x元，则： ， ∴，． ∵为了减少进货量， ∴（舍），． 答：销售单价为80元． 2．某商店经销一种销售成本为每千克30元的水产品．据某乐同学在市场分析，若按每千克40元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克． （1）当销售单价是定为每千克45元时，求月销售利润； （2）某商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 【答案】解：（1）根据题意得：（45﹣30）×[500﹣10×（45﹣40）] ＝15×[500﹣10×5] ＝15×[500﹣50] ＝15×450 ＝6750（元）． 答：月销售利润为6750元； （2）设销售单价定为x元/千克，则每千克的销售利润为（x﹣30）元，月销售量为500﹣10（x﹣40）＝（900﹣10x）千克， 根据题意得：（x﹣30）（900﹣10x）＝8000， 整理得：x2﹣120x+3500＝0， 解得：x1＝50，x2＝70， 当x＝50时，30（900﹣10x）＝30×（900﹣10×50）＝12000＞9000，不符合题意，舍去； 当x＝70时，30（900﹣10x）＝30×（900﹣10×70）＝6000＜9000，符合题意． 答：销售单价应定为70元/千克． 3．昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，设售价在40元/个的基础上涨价x元． （1）用含有x的代数式表示月销售量y； （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】解：（1）根据题意得：y＝600﹣10x； （2）根据题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000， 整理得：x2﹣50x+400＝0， 解得：x1＝10，x2＝40， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴x＝10， ∴40+x＝40+10＝50． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 4．“杭州亚运•三人制篮球”赛将于9月25﹣10月1日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件． （1）若降价5元，求平均每天的销售数量； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？ 【答案】解：（1）平均每天的销售数量为：100+10×5＝150（件）， 答：平均每天的销售数量150件； （2）设每件商品降价x元， 根据题意，得：（100+10x）（40﹣x）＝6000， 解得：x1＝10，x2＝20， 答：当每件商品降价10元或20元时，该商店每天销售利润为6000元． 5.安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】解：（1）设一次函数解析式为：，根据图象可知：当，；当，； ∴，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）由题意得：， 整理得：，解得：．， ∵让顾客得到更大的实惠，∴. 答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元． 学科网（北京）股份有限公司 $