第四单元运用长方体和正方体的体积解决问题专项训练二-2025-2026学年五年级数学下册高频易错题思维综合练（北师大版）

第四单元运用长方体和正方体的体积解决问题专项训练二 一、解答题 1．用铁皮做一个长5dm、宽4dm、高3dm的无盖长方体水槽。至少需要多少平方分米的铁皮？这个水槽的容积是多少？ 2．有两个长方体油桶，都装着一些油。都从里面量，甲桶长5分米，宽6分米，深3分米，油面高2分米；乙桶长10分米，宽1分米，深7分米，油面高3分米。现在将乙桶的油往甲桶倒一部分，使得两桶油面的高度相等。这时油面高度是多少分米？ 3．如图，淘气家要制作一个无盖的玻璃缸，至少需要用多少平方分米玻璃？淘气用右边的水杯装满水往玻璃缸中倒，需要倒入多少杯才能正好装满？ 4．15升牛奶可以装满30个瓶子，一个长方体牛奶桶的长和宽都是20厘米，高是60厘米，里面装有桶的牛奶，这些牛奶可以装满多少个瓶子？ 5．王叔叔把一张长4.5分米、宽3分米的铁皮的四周分别剪去一个边长5厘米的正方形，焊制成一个无盖的长方体盒子。这个盒子的容积是多少立方分米？这个盒子共用了多少铁皮？ 6．一个正方体的玻璃缸，从里面量，棱长是4分米，将它装满水，再把水全部倒入一个底面积为20平方分米的长方体水槽，水槽中的水深多少分米？ 7．一个长方体的上面挖掉一个棱长为2cm的正方体，求剩下图形的体积和表面积（单位：cm）。 8．一块长方形铁皮，长40cm，宽35cm。从四个角各切掉边长为5cm的正方形，然后折成一个盒子，这个盒子的容积是多少毫升？（铁皮厚度忽略不计） 9．李叔叔打算从网上订购下面的种植箱和营养土。 若要留出高的浇水空间（厚度忽略不计）。你建议李叔叔至少要买几袋这样的营养土？写出你的思考过程。 10．如下图所示，一个透明的长方体密封水缸，里面水深8分米；如果把水缸推翻，将容器左侧面作为底面，平放在桌面上，这时水面的高度是多少分米？（单位：分米） 11．有一个棱长5分米的正方体容器，里面水深32厘米，这时往容器中放入一些碎石（完全浸没），水面离容器边沿还有10厘米，这些碎石的体积是多少立方分米？ 12．爸爸拿出一块不规则的假山石，对小雪说：“你能求出这块假山石的体积吗？”小雪说：“当然能。”于是，小雪用家中一个长50cm、宽40cm、高60cm长方体无盖玻璃鱼缸装一部分水，量得水深50cm，然后把假山石完全浸没在水中，这时又量得水面高度是51.2cm。你知道这块假山石的体积是多少吗？ 13．我国是水资源比较贫乏的国家，同学们要节约用水，如果每人每月节约0.3立方米的水，四年级260位同学一年共能节约水多少立方米？ 14．有一个长方体容器（如图所示），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下，这时水深又是多少厘米？ 15．一个底面积为200平方厘米、高为38厘米的长方体水箱，将一个石块放入水中，全部浸入，水深30厘米，取出石块后，水深28厘米，这个石块的体积是多少？ 16．如图，一个长方体高3分米，沿着水平方向横切成两个小长方体，表面积比原来增加了30.6平方分米。原来长方体的体积是多少？ 17．一个长方体集装箱，长12米，宽和高都是3米。平均每立方米可装防治新冠病毒用品0.5吨，这个集装箱共可装这种用品多少吨？ 18．一根长1米的长方体木料锯成2段后，表面积增加了6平方分米。这根木料的体积是多少立方分米？如果每立方分米木料重1.5千克，这根木料重多少千克？ 19．一堆黄土如图所示，已知A的面积是25平方米，B的面积是15平方米，A处比B处高4米，现在把A处的土推向B处，使A、B两处同样高。A处下降了多少米？ 20．把一个棱长8分米的实心正方体钢坯熔铸成一个长16分米，宽4分米的实心长方体钢坯，这个实心长方体钢坯的高是多少分米？ 21．如图是一个长方体的表面展开图，每个面都标注了字母，认真观察，完成下面的问题。 （1）将该长方体的表面展开图围成长方体后与②面对应的是（    ）面。 （2）计算这个长方体的表面积和体积。 22．一块长方体形状的大理石，体积为32立方米，底面是长4米，宽20分米的长方形。 （1）这块大理石的高是多少米？ （2）这块大理石的表面积是多少平方米？ 23．如下图，一个长方体玻璃水缸底面长15厘米，宽10厘米，水深10厘米。 （1）水缸里有多少升水？ （2）把一个西红柿沉入水缸后，水深12厘米，这个西红柿的体积多少立方厘米？ 24．“水立方”位于北京奥林匹克公园内，它与一墙之隔的“鸟巢”一起被称为2008年北京奥运会两大标志性建筑物。你知道吗？在水立方内有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽是25米，深是3米。 （1）在内壁沿池底向上2米处画一条水位线。它的全长是多少米？ （2）如果用瓷砖贴水池的四周和底面，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （3）如果池内水深2米，这个游泳池内的水有多少吨？（1立方米水重1吨） 25．下图是某品牌的牛奶盒。请你灵活思考，解决下面的问题。 （1）你认为饮料厂向牛奶盒中装多少牛奶合适？ （2）如图所示，用一张大塑料纸将4盒牛奶包起来。至少需要多大面积的塑料纸？ （3）饮料厂将12盒牛奶装在一个纸箱里，请你设计出两种不同的包装箱，并给出设计方案。（设计时不计纸板厚度但要考虑实用性） 参考答案 1．74平方分米；60升 【分析】求需要多少平方分米的铁皮就是求长方体的表面积。因为这个水槽无盖，则它的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此求出铁皮的面积。 长方体的体积＝长×宽×高，据此求出水槽的容积。 【详解】5×4＋（5×3＋4×3）×2 ＝20＋54 ＝74（平方分米） 5×4×3＝60（立方分米）＝60（升） 答：至少需要74平方分米的铁皮，这个水槽的容积是60升。 【点睛】本题考查长方体表面积和体积的应用。要注意求无盖的长方体的表面积时，长×宽的面只有1个。 2．2.25分米 【分析】设这时油面高度是h分米，由题意可得：甲桶倒入的油的体积＝乙桶减少的油的体积，据此根据长方体的体积公式：V＝abh即可列方程求解。 【详解】设：这时油面高度是h分米，依题意有。 5×6×（h－2）＝10×1×（3－h） 30h－60＝30－10h， 40h＝90 h＝2.25 答：这时油面高度是2.25分米。 【点睛】此题主要考查长方体的体积的计算方法，关键是明白：甲桶倒入的油的体积＝乙桶减少的油的体积。 3．26平方分米；24杯 【分析】玻璃的面积＝长方体除去上面其它5个面的面积，据此解答；先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出鱼缸的容积，除以水杯的容积即可。 【详解】（3×2＋2×2）×2＋3×2 ＝10×2＋6 ＝20＋6 ＝26（平方分米） 3×2×2＝12（立方分米） 12立方分米＝12000毫升 12000÷500＝24（杯） 答：至少需要用26平方分米的玻璃，需要倒入24倍才能正好装满。 【点睛】此题考查了长方体表面积、容积的综合应用，学会灵活运用其计算公式。 4．36个 【分析】牛奶的体积＝长×宽×牛奶的高度，牛奶的高度＝牛奶桶的高×；瓶子的容积＝15÷30，用牛奶的体积÷瓶子的容积即可。 【详解】20×20×（60×） ＝400×45 ＝18000（立方厘米） 18000立方厘米＝18升 18÷（15÷30） ＝18÷0.5 ＝36（个） 答：这些牛奶可以装满36个瓶子。 【点睛】此题考查了长方体体积的实际应用，找准数量关系，即求出牛奶的体积、瓶子的容积是解题关键。注意换算单位。 5．3.5立方分米；12.5平方分米 【分析】在制作的过程中，新的立体图形的长、宽、高发生了变化，形成盒子的长是4.5－0.5×2＝3.5（分米），宽是3－0.5×2＝2（分米），高是0.5分米，再根据长方体的体积公式计算出盒子的容积，盒子用的铁皮就是长方形铁皮的面积减去4个正方形的面积。 【详解】5厘米＝0.5分米， （4.5－0.5×2）×（3－0.5×2）×0.5 ＝3.5×2×0.5 ＝3.5（立方分米） 答：这个盒子的容积是3.5立方分米。 4.5×3－0.5×0.5×4 ＝13.5－1 ＝12.5（平方分米） 答：这个盒子共用了12.5平方分米铁皮。 【点睛】考查了长方体的表面积、容积，解题的关键是分析出长方体的长、宽、高，注意单位之间的换算。 6．3.2分米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体玻璃缸中水的体积，再除以长方体水槽的底面积即可。 【详解】4×4×4÷20 ＝64÷20 ＝3.2（分米） 答：水槽中的水深3.2分米。 【点睛】此题考查了长方体正方体体积的综合运用，明确水的体积始终是不变的是解题关键。 7．表面积：252平方厘米；体积：232立方厘米 【分析】一个长方体的上面挖掉一个棱长为2cm的正方体，它的表面积增加了4个边长为2cm的正方形；剩下的体积用原大正方体的体积减去小正方体的体积就得到余下部分的体积．据此解答即可。 【详解】剩下的图形的表面积： （6×8＋6×5＋8×5）×2＋2×2×4 ＝（48＋30＋40）×2＋16 ＝118×2＋16 ＝236＋16 ＝252（平方厘米） 8×5×6－2×2×2 ＝240－8 ＝232（立方厘米） 答：剩下图形的表面积是252平方厘米，体积是232立方厘米。 【点睛】此题主要考查了几何体的表面积与体积求法，解答此题的关键是根据挖出立方体后知道表面积增加了4个边长为2cm的正方形以及减少了一个边长为2cm的小正方体体积；再利用长方体和正方体的表面积和体积公式即可解答。 8．3750毫升 【分析】折成的这个长方体的高是5厘米，长是30厘米，宽是25厘米。据此利用长方体的体积公式，直接列式计算出这个盒子的容积即可。 【详解】（40－5×2）×（35－5×2）×5 ＝30×25×5 ＝3750（立方厘米） 3750立方厘米＝3750毫升 答：这个盒子的容积是3750毫升。 【点睛】本题考查了长方体的体积，长方体的体积等于长乘宽乘高。 9．2袋 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，其中营养土的高为15－3＝12厘米，长、宽分别是种植箱的长、宽，据此求出营养土的体积，除以袋子的容积即可。 【详解】40×120×（15－3） ＝4800×12 ＝57600（立方厘米） ＝57.6（升） 57.6÷30≈2（袋） 答：至少要买2袋这样的营养土。 【点睛】此题考查了长方体体积的相关应用，明确营养土的高度是解题关键，另外注意求近似值用进一法取整。 10．4分米 【分析】根据体积不变，求出以长为10分米，宽为12分米，深为8分米的水体积，再根据长方体体积公式：长×宽×高，求出以长为20分米，宽为12分米体积的高，就是水面的高度。 【详解】10×12×8÷（20×12） ＝120×8÷240 ＝960÷240 ＝4（分米） 答：这时水面的高度是4分米 【点睛】本题考查长方体的体积公式的应用，熟记公式，灵活运用。 11．20立方分米 【分析】碎石的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，放入碎石后水深＝棱长－水面距离容器边的高度，水面上升的高度＝放入碎石后的水深－放入碎石前的水深，据此解答。 【详解】32厘米＝3.2分米，10厘米＝1分米 5－1＝4（分米） 5×5×（4－3.2） ＝25×0.8 ＝20（立方分米） 答：这些碎石的体积是20立方分米。 【点睛】此题考查了不规则物体的体积计算，找出水面上升高度是解题关键。 12．2400立方厘米 【分析】“不规则物体的体积＝底面积×水面上升的高度”据此解答即可。 【详解】50×40×（51.2－50） ＝2000×1.2 ＝2400（cm3）； 答：这块假山石的体积是2400立方厘米。 【点睛】熟记不规则物体的体积的计算公式是解答本题的关键。 13．936立方米 【分析】每人每月节约0.3立方米的水，一年是12个月，用0.3立方米乘12，就是每人一年节约的用水量，再乘260，就是四年级260位同学一年共能节约水多少立方米。 【详解】1年个月 0.3×12×260 ＝3.6×260 ＝936（立方米） 答：四年级260位同学一年共能节约水936立方米。 【点睛】解决本题根据乘法的意义，列出连乘算式求解。 14．18厘米；12厘米 【分析】首先要明确无论容器怎么放，里面的水的体积不变。先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出容器中水的体积。把容器朝左竖起来时，左侧面成为长方体的底面，根据“长方体的体积＝底面积×高”，用水的体积除以左侧面面积（宽×高）即可求出这时的水深。如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下，则这个面成为底面，同样用水的体积除以这个面的面积即可求出这时水的深度。 【详解】30×20×6 ＝600×6 ＝3600（立方厘米） 3600÷（20×10） ＝3600÷200 ＝18（厘米） 3600÷（30×10） ＝3600÷300 ＝12（厘米） 答：朝左竖起来，里面的水深应该是18厘米。让长30厘米、宽10厘米的面朝下，这时水深是12厘米。 【点睛】本题考查长方体容积的应用。明确容器每次放的底面积，灵活运用长方体的体积公式是解题的关键。 15．400立方厘米 【分析】根据题意可知，当把石块从水箱中取出后，下降部分水的体积就等于石块的体积，根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【详解】 （立方厘米） 答：这个石块的体积是400立方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用。关键是熟记公式。 16．45.9平方分米 【分析】把这个长方体沿着水平方向横切成两个小长方体，表面积增加了两个长方形的面积，而这两个长方形的面积都和原来长方体的底面积相等，则用30.6除以2即可求出原来长方体的底面积。长方体的体积＝底面积×高，据此代入数据解答。 【详解】30.6÷2×3 ＝15.3×3 ＝45.9（立方分米） 答：原来长方体的体积是45.9立方分米。 【点睛】本题考查了立体图形的切拼、长方体的表面积和体积。理解“表面积增加的两个长方形的面积都等于原来长方体的底面积”，继而求出原来长方体的底面积是解题的关键。 17．54吨 【分析】根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式求出这个集装箱的容积，然后用集装箱的容积乘每立方米可以装的吨数即可。 【详解】12×3×3×0.5 ＝36×3×0.5 ＝108×0.5 ＝54（吨） 答：这个集装箱共可装这种用品54吨。 【点睛】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 18．30立方分米；45千克 【分析】长方体木料锯成2段后，增加了6平方分米是2个底面的面积，可求一个底的面积，底面积乘高（木料长）即可得长方体木料的体积；用木料的体积乘单位体积的木料重量，就是这根木料的总重量。 【详解】1米＝10分米 6÷2×10 ＝3×10 ＝30（立方分米） 1.5×30＝45（千克） 答：这根木料的体积是30立方分米，这根木料重45千克。 【点睛】此题关键是明白长方体木料锯成2段后增加的面积是两个底的面积，计算时注意单位的统一。 19．1.5米 【分析】根据题意，A处下降的体积＝B处上升的体积，利用长方体的体积公式V＝Sh，设A处下降了x米，则B处上升了（4－x）米；据此根据等量关系列方程解答。 【详解】解：设A处下降了x米，则B处上升了（4－x）米。 25x＝15×（4－x） 25x＝60－15x 25x＋15x＝60 40x＝60 x＝60÷40 x＝1.5 答：A处下降了1.5米。 【点睛】本题主要考查学生对长方体体积公式的掌握与灵活运用，明确A处下降的高度加上B处上升的高度等于4米是解题的关键。 20．8分米 【分析】把正方体钢坯铸成长方体后体积不变，首先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出钢坯的体积，再根据长方体的体积公式：V＝abh，用钢坯的体积除以长方体的底面积即可求出高。 【详解】8×8×8÷（16×4） ＝512÷64 ＝8（分米） 答：这个实心长方体钢坯的高是8分米。 【点睛】此题主要考查正方体、长方体的体积公式的灵活运用。 21．（1）④ （2）表面积：180平方分米 体积：144立方分米 【分析】（1）这是长方体表面展开图，符合“1－4－1”型，围成长方体后，①面对应的是③面；②面对应的是④面，⑤面对应的是⑥面，据此解答。 （2）如果把③面看作是底面，则长方体的长是8分米，宽是6分米，高是3分米；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，体积公式：体积＝长×宽×高；代入数据，即可解答。 【详解】（1）将长方体的表面展开图围成长方体后与②面对应的是④面。 （2）（8×6＋8×3＋6×3）×2 ＝（48＋24＋18）×2 ＝（72＋18）×2 ＝90×2 ＝180（平方分米） 8×6×3 ＝48×3 ＝144（立方分米） 答：这个长方体的表面积是180平方分米，体积是144立方分米。 【点睛】本题考查了长方体展开图以及表面积、体积的计算，掌握相对面的中间隔有一格，牢记长方体的表面积、体积公式是解题关键。 22．（1）4米； （2）64平方米 【分析】（1）由长方体的体积＝长×宽×高可得：高＝体积÷长÷宽，代入数据计算即可； （2）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【详解】（1）20分米＝2米 32÷4÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 答：这块大理石的高是4米。 （2）（4×2＋4×4＋2×4）×2 ＝（8＋16＋8）×2 ＝32×2 ＝64（平方米） 答：这块大理石的表面积是64平方米。 【点睛】本题考查长方体体积、表面积公式的简单应用，牢记公式是解题的关键。 23．（1）1.5升；（2）300立方厘米 【分析】（1）根据长方体体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，用15×10×10即可求出水的体积，再把单位换算成升； （2）根据物体的体积等于上升部分水的体积，物体的体积＝长×宽×上升部分的高度，用15×10×（12－10）即可求出西红柿的体积。据此解答。 【详解】（1）15×10×10＝1500（立方厘米） 1500立方厘米＝1.5升 答：水缸里有1.5升水。 （2）15×10×（12－10） ＝15×10×2 ＝300（立方厘米） 答：这个西红柿的体积300立方厘米。 【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，注意物体的体积等于上升部分水的体积。 24．（1）150米 （2）1700平方米 （3）2500吨 【分析】（1）水位线的全长就是长方体底面周长，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，列式解答即可； （2）贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答； （3）根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积×1立方米水的吨数＝游泳池内水的吨数，列式解答即可。 【详解】（1） （米） 答：它的全长是150米。 （2） （平方米） 答：贴瓷砖的面积是1700平方米。 （3）（吨） 答：这个游泳池内的水有2500吨。 25．（1）240立方厘米 （2）592平方厘米 （3）一行放6盒，放2行；一行放4盒，放3行（答案不唯一） 【分析】（1）求牛奶盒中装多少牛奶，就是求这个长方体牛奶盒的容积。长方体的容积＝长×宽×高，据此代入数据计算即可。 （2）图中4个牛奶组成一个大长方体，大长方体的长是6×2＝12（厘米），宽是4×2＝8（厘米），高是10厘米。至少需要多大面积的塑料纸，就是求大长方体的表面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此解答。 （3）一共有12盒牛奶，可以一行放6盒，放2行，6×2＝12（盒）；也可以一行放4盒，放3行，4×3＝12（盒）。 【详解】（1）6×4×10＝240（立方厘米） 答：饮料厂向牛奶盒中装240立方厘米牛奶合适。 （2）6×2＝12（厘米） 4×2＝8（厘米） （12×8＋12×10＋8×10）×2 ＝（96＋120＋80）×2 ＝296×2 ＝592（平方厘米） 答：至少需要592平方厘米的塑料纸。 （3）通过分析可得：可以一行放6盒，放2行；也可以一行放4盒，放3行。 学科网（北京）股份有限公司 $