第四单元运用长方体和正方体的体积解决问题（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册高频易错题思维综合练（北师大版）

第四单元运用长方体和正方体的体积解决问题专项训练一 一、解答题 1．一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长8米，宽2.5米，深0.5米，每立方米沙子重1400千克。这个沙坑里共装沙子多少吨？ 2．手工课上，华华将一块体积为280立方厘米的橡皮泥做成了一个底面积是40平方厘米的实心长方体模型，做成的长方体模型的高是多少厘米？ 3．苹苹买了一个永不翻船的轮船摆件作为生日礼物送给壮壮，这份礼物无论怎样翻转晃动，轮船都漂在蓝色水面上，象征他们的友谊将一起乘风破浪，勇往直前（如图）。如果以长14.5cm，宽5cm的面为底面，轮船的底面距离水箱底面2.6cm；如果以长5.2cm，宽5cm的面为底面，此时轮船底面距离水箱底面多少厘米？ 4．把一个棱长0.9米的正方体块锻造成一个长方体，这个长方体的底面长是4分米，宽是3分米，这个长方体的高是多少？ 5．一段方钢长10dm，宽5dm，高1dm，这段方钢的体积是多少立方分米？如果把这段方钢熔铸成棱长为0.5dm的正方体钢块，可以熔铸成多少块？（不计损耗） 6．如图，将下边铁块放入左边水槽中，水槽中水面上升的高度最多是多少厘米？ 7．淘气家有一个纸巾盒（如下图，单位：厘米）。一包纸巾长22厘米、宽10厘米，体积为2200立方厘米。这包纸巾能装进这个纸巾盒吗？请说明理由。 8．在一个长30厘米，宽15厘米，高10厘米的长方体容器中装满水，然后把水倒入一个棱长为20厘米的正方体容器中，这时水深是多少厘米？ 9．向阳村新建了一个长80米，宽60米，深2.5米的蓄水池，这个蓄水池最多可蓄水多少立方米？如果要在蓄水池的四周和底面涂上防水涂料，涂防水涂料的面积是多少平方米？ 10．用如图所示的五块长方形的亚克力板可以制作一个无盖的长方体。将这个长 方体装满水，再倒一部分到一个棱长为2分米的正方体容器中，使得两个容器中的水面同样高，这时两个容器中的水面高度是多少分米？（容器壁厚度忽略不计） 11．公园的凉亭里有一张石桌，如下图所示，这张石桌的体积是多少立方分米？ 12．一个棱长为12分米的正方体水槽中装有水，水深为7分米。现将一块长为8分米、宽为6分米的长方体实心钢锭浸没在水中（水未溢出），水面上升了2分米，这个长方体实心钢锭的高是多少分米？（水槽厚度忽略不计） 13．一个零件的形状如图，它是由某种金属铸造而成，铸造一个零件需要这种金属多少立方厘米？ 14．笑笑家有一块长方体木块，爸爸准备用这个木块给妹妹做小积木。长方体木块和小积木的形状大小如下图所示。这个长方体木块最多可以分割成多少块这样的小积木？（单位：米） 你同意笑笑的想法吗？结合生活实际想一想。 如果同意，请说明理由：如果不同意，请算出这个长方体木块最多可以分割成多少块小积木，（可以写一写，画一画，算一算） 15．将如图中的铁皮折弯后焊接成一个无盖的长方体铁桶，这个铁桶最多可以装多少升水？（铁皮厚度不计） 16．有一块长方形铁皮，长28厘米，在四角上剪去边长为3厘米的小正方形，再做成无盖的盒子，盒子的体积是528立方厘米，原来长方形铁皮的面积是多少？ 17．乐乐在手工课上要做气体船的模型。做这个气体船要用一个高为12厘米的长方体，并且四个面完全相同，且每个面的面积是48平方厘米。这个长方体的气体船模型的体积是多少立方厘米？ 18．小明用一些体积为1立方厘米的小正方体拼了一个大正方体。大正方体的体积在长方体①和②的体积之间（如下图），那么这个大正方体的体积是多少立方厘米？ ①                       ② 19．一个长方体的表面积是69.68立方分米，底面积是19分米，底面周长是176厘米，这个长方体的体积是多少立方分米？    20．老年活动中心要新盖两个活动室，为了打好地基，需要在活动室的周围挖宽10分米，深8分米的沟（地基形状如图，阴影部分为沟），需要挖出多少立方米的土？    21．一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成盒子。 （1）这个盒子的容积是多少毫升？ （2）如果要在这个盒子里面涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方分米？ 22．某健身中心新建了一个游泳池，长25米，宽20米，深1.6米。 （1）在游泳池四壁及底部贴瓷砖，需要贴多少平方米瓷砖？ （2）如果用边长5分米的正方形瓷砖来贴，需要多少块？ （3）游泳池中存水高度是池深的，用4根排水速度是1.5立方米/分的水管排水，排完池中的水需多少分？ 23．下图是一个长方体盒子的展开图。（单位：厘米） （1）这个长方体的体积是多少立方厘米？ （2）长方体盒子的表面积是多少平方厘米？ （3）这个盒子放在地上，占地面积最小是多少平方厘米？ 24．用玻璃做一个无盖的长方体水槽，这个水槽长5分米、宽3分米，高2分米。 （1）做这个水槽至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）在这个水槽里放进一块体积为6立方分米的石头后（石头能完全放进水槽），再放在一个水龙头下，打开水龙头开关，水均匀地流出来。如果水龙头每分钟流出800毫升的水，那么多长时间能将这个水槽灌满水？ 25．如图，现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B（单位：厘米）。 （1）如果将容器B中的水全部倒入容器A，容器A中的水深会是多少厘米？ （2）如果将容器B中的水倒一部分给容器A，使两容器中水的高度相同。这时水深是多少厘米？ 参考答案 1．14吨 【分析】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出沙坑的容积；再用容积乘每立方米沙子的质量，求出沙子的总质量；最后，根据“1吨＝1000千克”，将千克换算成吨，得出最终结果。 【详解】8×2.5×0.5×1400 ＝20×0.5×1400 ＝10×1400 ＝14000（千克） 14000千克＝14吨 答：这个沙坑里共装沙子14吨。 2．7厘米 【分析】橡皮泥形状改变但体积不变，再根据长方体体积公式“”可知，用280除以40就能算出高。 【详解】280÷40＝7（厘米） 答：做成的长方体模型的高是7厘米。 3．7.25厘米 【分析】先用长乘宽乘高算出原先的容积，再除以现在的底面积，求出现在的高。 【详解】 （厘米） 答：此时轮船底面距离水箱底面厘米。 4．60.75分米 【分析】正方体锻造成长方体，形状改变但体积不变。先统一长度单位，根据正方体体积公式算出正方体的体积，也就是长方体的体积；再计算长方体的底面积，根据长方体体积公式推导出高＝体积÷底面积，代入数据计算即可。 【详解】单位换算：0.9米＝9分米 计算正方体体积（即长方体体积）：9×9×9＝729（立方分米） 计算长方体底面积：4×3＝12（平方分米） 计算长方体的高：729÷12＝60.75（分米） 答：这个长方体的高是60.75分米。 5．50立方分米；400块 【分析】方钢为长方体形状，长方体体积公式为：长方体体积＝长×宽×高。已知方钢的长为10分米，宽为5分米，高为1分米，将数值代入公式即可求出体积；再根据正方体体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算出棱长为0.5分米的小正方体钢块的体积。然后用方钢的总体积除以一个小正方体钢块的体积，得到可熔铸的块数。 【详解】（立方分米） （块） 答：这段方钢的体积是50立方分米；如果把这段方钢熔铸成棱长为0.5分米的正方体钢块，可以熔铸成400块。 【点睛】先根据长方体体积公式计算方钢的体积，再根据正方体体积公式计算小正方体钢块的体积，最后用方钢体积除以小正方体体积得到可熔铸的块数。 6．0.3厘米 【分析】水面上升的体积就是铁块的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，求出铁块的体积，即水面上升的体积，水面上升的体积÷水槽底面积＝水面上升的高度。 【详解】6×2×1÷（8×5） ＝12÷40 ＝0.3（厘米） 答：水槽中水面上升的高度最多是0.3厘米。 7．不能，纸巾盒高度9厘米＜纸巾高度10厘米 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，则长方体的高＝长方体的体积÷长÷宽，根据公式代入数据计算出纸巾的高，并和纸巾盒的高9厘米作比较。如果纸巾盒高度＞纸巾高度，则这包纸巾能装进这个纸巾盒，反之则装不进去。据此列式解答即可。 【详解】2200÷22÷10 ＝100÷10 ＝10（厘米） 纸巾盒高度9厘米＜纸巾高度10厘米，这包纸巾放不进纸巾盒。 答：这包纸巾不能装进这个纸巾盒。 8．11.25厘米 【分析】长方体体积公式为：体积＝长×宽×高，已知长方体容器长30厘米、宽15厘米、高10厘米，且装满水，水的体积等于长方体容积，把数据代入公式得：30×15×10＝4500（立方厘米）。正方体底面积公式为：面积＝棱长×棱长，已知正方体容器棱长20厘米，则底面积为：20×20＝400（平方厘米）。水倒入正方体容器后，形状变为“以正方体底面积为底、水深为高的长方体”，根据“长方体的高＝体积÷底面积”，把体积4500立方厘米，底面积400立方厘米代入计算即可。 【详解】30×15×10＝4500（立方厘米） 20×20＝400（平方厘米） 4500÷400＝11.25（厘米） 答：这时水深是11.25厘米。 9．12000立方米；5500平方米 【分析】对于求蓄水池最多可蓄水多少立方米，就是求这个长方体蓄水池的容积，运用长方体体积公式：。而求涂防水涂料的面积，就是求这个长方体蓄水池去掉上面那个面后的表面积，运用长方体表面积公式：，这里去掉一个顶面的面积。 【详解】 （立方米） （平方米） 答：这个蓄水池最多可蓄水12000立方米，涂防水涂料的面积是5500立方米。 10．0.6分米 【分析】无盖的长方体没有上面，只有1个形状的长方形亚克力板是无盖长方体的底面。观察5块长方形的亚克力板可知，长方体的长3分米，宽2分米，高1分米，根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积÷长方体和正方体的底面积和＝两个容器中的水面高度。 【详解】3×2×1＝6（立方分米） 6÷（3×2＋2×2） ＝6÷（6＋4） ＝6÷10 ＝0.6（分米） 答：这时两个容器中的水面高度是0.6分米。 11．180立方分米 【分析】石桌由上下两个长方体组成，体积＝上面长方体体积＋下面长方体体积。分别计算两个长方体体积再相加。依据长方体体积公式V＝a×b×c（a，b，c为长、宽、高），据此解答。 【详解】上面长方体体积： 5×6×2 ＝30×2 ＝60（立方分米） 下面长方体体积： 5×4×6 ＝20×6 ＝120（立方分米） 总体积：60＋120＝180（立方分米） 答：这张石桌的体积是180立方分米。 12．6分米 【分析】把长方体实心钢锭浸没在水中，水未溢出，上面上升了2分米，则上升这部分水的体积也就是这块长方体钢锭的体积；根据长方体体积＝底面积×高，用正方体水槽的底面积乘上升水面的高度，计算出这块长方体钢锭的体积；再用长方体钢锭的体积除以长方体钢锭的底面积，所得结果即为这块长方体钢锭的高。 【详解】实心钢锭的体积：12×12×2 ＝144×2 ＝288（立方分米） 288÷（8×6） ＝288÷48 ＝6（分米） 答：这个长方体实心钢锭的高是6分米。 13．176立方厘米 【分析】根据题意可知，这个零件的体积相当于长为8厘米、宽为6厘米、高为5厘米的长方体的体积减去棱长为4厘米的正方体体积，根据长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可解答。 【详解】8×6×5－4×4×4 ＝240－64 ＝176（立方厘米） 答：铸造一个零件需要这种金属176立方厘米。 14．不同意；20块 【分析】根据长方体的体积公式：长×宽×高，则可知笑笑是用大长方体木块的体积除以小积木的体积。看能分割成多少块这样的小积木，先考虑长方体的长，15是7的两倍多1厘米，则长能放2块；4是2的2倍，则能放两层；15是3的5倍，则能放5行，放完之后用每行的数量×行数×层数即可求出能分割成多少个小积木；由于剩下的部分可能比小积木的体积要大，但是剩下的木块有一边是1厘米，不能够分割成小积木，所以不同意笑笑的想法，据此即可解答。 【详解】不同意笑笑的想法。 15÷7＝2（块）……1（厘米） 4÷2＝2（块） 15÷3＝5（块） 2×2×5＝20（块） 20＜21 答：不同意笑笑的想法，最多可以分割成20块小积木。 15．32升 【分析】通过观察图形可知，这个无盖长方体的底面是正方形，底面周长是80厘米，根据正方形的周长公式可以求出底面边长，底面边长加上高是100厘米，据此可以求出高，然后根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】底面边长：80÷4＝20（厘米） 高：100－20＝80（厘米） 20×20×80 ＝400×80 ＝32000（立方厘米） 32000立方厘米＝32升 答：这条铁桶最多可以装32升水。 16．392平方厘米 【分析】根据题意，在一块长方形铁皮的四角上剪去边长为3厘米的小正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖的长方体盒子，那么这个长方体的长等于长方形的长减去2个3厘米，长方体的高等于小正方形的边长； 已知盒子的体积是528立方厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的宽＝体积÷长÷高，由此求出盒子的宽，再加上2个3厘米，即是原来长方形铁皮的宽； 根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出原来长方形铁皮的面积。 【详解】长方体盒子的长：28－3－3＝22（厘米） 长方体盒子的宽： 528÷22÷3 ＝24÷3 ＝8（厘米） 长方形的宽：8＋3＋3＝14（厘米） 长方形的面积：28×14＝392（平方厘米） 答：原来长方形铁皮的面积是392平方厘米。 17．体积可能是192立方厘米或576立方厘米。 【分析】因为这个长方体有四个面完全相同，所以长方体的长、宽、高中有两个数据相等。当长方体的长和宽相等时，如下图1，可知这个长方体的长＝宽＝48÷12＝4（厘米），此时这个长方体的体积是4×4×12＝192立方厘米。当长方体的长（或宽）和高相等时，如下图2，这个长方体的宽（或长）＝48÷12＝4（厘米），此时这个长方体的体积是4×12×12＝576立方厘米。 【详解】情况一：长方体的长和宽相等，高是12厘米。 48÷12＝4（厘米） 4×4×12 ＝16×12 ＝192（立方厘米） 情况二：长方体的长或宽和高相等，高是12厘米。 48÷12＝4（厘米） 4×12×12 ＝48×12 ＝576（立方厘米） 答：这个长方体的气体船模型的体积可能是192立方厘米或576立方厘米。 18．125立方厘米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，分别计算出①和②的体积，大正方体的体积在长方体①和②的体积之间，观察两个长方体，正方体棱长取5厘米，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出大正方体体积，比较即可。 【详解】①的体积：6×5×4＝120（立方厘米） ②的体积：8×4×5＝160（立方厘米） 5×5×5＝125（立方厘米） 120＜125＜160 答：这个大正方体的体积是125立方厘米。 19．34.2立方分米 【分析】长方体的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积；根据题意，用长方体的表面积－底面积×2，求出长方体的侧面积；再根据长方体的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高；高＝侧面积÷底面周长，代入数据，求出这个长方体的高，再根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】176厘米＝17.6分米 [（69.68－19×2）÷17.6]×19 ＝[（69.68－38）÷17.6]×19 ＝[31.68÷17.6]×19 ＝1.8×19 ＝34.2（立方分米） 答：这个长方体的体积是34.2立方分米。 【点睛】解答本题的关键熟练掌握和灵活运用长方体表面积公式、侧面积公式以及体积公式，是解答本题的关键，注意单位名数的换算。 20．26.4立方米 【分析】先用活动室的总面积－两个中间长方形的面积，求出地基的面积；根据长方形面积公式，代入数据，求出地基面积，再根据长方体的体积公式：底面积×高，代入数据，即可求出需要挖出土的体积，据此解答。 【详解】10分米＝1米；8分米＝0.8米 中间长方形的长：（12－1×3）÷2 ＝（12－3）÷2 ＝9÷2 ＝4.5（米） 中间长方形的宽：5－1×2 ＝5－2 ＝3（米） （12×5－4.5×3×2）×0.8 ＝（60－13.5×2）×0.8 ＝（60－27）×0.8 ＝33×0.8 ＝26.4（立方米） 答：需要挖出26.4立方米的土。 【点睛】解答本题的关键是求出地基的面积，再利用长方体体积公式进行解答，注意单位名数的统一。 21．（1）1500毫升 （2）6.5平方分米 【分析】（1）根据题意可知：加工成的长方体铁盒的长是30－5×2＝20（厘米），宽是25－5×2＝15（厘米），高是5厘米，根据长方体的体积（容积）公式：v＝abh，把数据代入公式即可求出它的容积； （2）油漆的面积等于原来长方体的面积减去4个边长是5厘米的正方形的面积，根据长方形、正方形的面积公式解答。 【详解】（1）（30－5×2）×（25－5×2）×5 ＝（30－10）×（25－10）×5 ＝20×15×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） ＝1500毫升 答：这个盒子的容积是1500毫升。 （2） 30×25－5×5×4 ＝750－25×4 ＝750－100 ＝650（平方厘米） ＝6.5平方分米 答：涂油漆的面积是6.5平方分米。 【点睛】此题主要考查长方体的体积（容积）公式、长方形、正方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 22．（1）644平方米；（2）2576块；（3）100分 【分析】（1）已知游泳池的表面积是前面、后面、左面、右面和底面5个面的面积和，根据长方体表面积公式，用25×20＋25×1.6×2＋20×1.6×2即可求出贴瓷砖的总面积； （2）先根据正方形的面积公式，求出一块正方形瓷砖的面积，然后用贴瓷砖的总面积除以一块正方形瓷砖的面积，即可求出正方形瓷砖的块数； （3）已知游泳池中存水高度是池深的，则把池子的高度看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用1.6×即可求出存水的高度，根据长方体体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出水的体积，已知每根水管的排水速度是1.5立方米/分，则4根水管每分钟排水（1.5×4）立方米，然后用水的体积除以（1.5×4）即可求出排完池中的水需多少分。 【详解】（1）25×20＋25×1.6×2＋20×1.6×2 ＝500＋80＋64 ＝644（平方米） 答：需要贴644平方米瓷砖。 （2）5分米＝0.5米 644÷（0.5×0.5） ＝644÷0.25 ＝2576（块） 答：需要2576块。 （3）1.6×＝1.2（米） 25×20×1.2＝600（立方米） 600÷（1.5×4） ＝600÷6 ＝100（分） 答：排完池中的水需100分。 【点睛】本题主要考查了长方体表面积公式、长方体体积公式以及分数乘法的灵活应用。 23．（1）1200立方厘米； （2）760平方厘米； （3）60平方厘米 【分析】（1）由图可知：长方体的长是20厘米、宽是10厘米、高是6厘米，将数据代入长方体体积公式：V＝abh计算即可； （2）长方体的体积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可； （3）占地面积最小时是宽、高面作底面，将宽、高值代入长方形面积公式：S＝ab计算即可。 【详解】（1）20×10×6 ＝200×6 ＝1200（立方厘米） 答：这个长方体的体积是1200立方厘米。 （2）（20×10＋20×6＋10×6）×2 ＝（200＋120＋60）×2 ＝380×2 ＝760（平方厘米） 答：长方体盒子的表面积是760平方厘米。 （3）10×6＝60（平方厘米） 答：占地面积最小是60平方厘米。 【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的灵活运用，牢记公式是解题的关键。 24．（1）47平方分米 （2）30分钟 【分析】（1）已知这个长方体水槽无盖，所以需要玻璃的面积等于这个长方体的一个底面与4个侧面的总面积，灵活运用长方体的表面积公式：即求出它的5个面的总面积。 （2）根据长方体的体积（容积）公式：，求出这个长方体水槽的容积减去这块石头的体积就是剩余空间，然后要剩余的空间除以每分钟注水的体积就是需要的时间。 【详解】（1） ＝15＋20＋12 ＝35＋12 （平方分米） 答：做这个水槽至少需要47平方分米的玻璃。 （2）800毫升立方分米 ＝（30－6） ＝24 ＝30（分钟） 答：30分钟能将这个水槽灌满水。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 25．（1）12厘米 （2）8厘米 【分析】（1）根据长方体的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，用容器B中的水的体积除以容器A的底面积即可求出水深。 （2）根据题意，可设两个容器的水深同为x厘米，则容器A中水的体积是（40×30×x）立方厘米，B容器中水的体积是（30×20×x）立方厘米，根据两个容器内水的体积等于原来B容器中水的体积，可得方程：40×30×x＋30×20×x＝30×20×24，解此方程即可。 【详解】（1）30×20×24÷（40×30） ＝600×24÷1200 ＝14400÷1200 ＝12（厘米） 答：容器A中的水深会是12厘米。 （2）解：设两个容器的水深同为x厘米。 40×30×x＋30×20×x＝30×20×24 1200x＋600x＝14400 1800x＝14400 1800x÷1800＝14400÷1800 x＝8 答：这时水深是8厘米。 【点睛】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 学科网（北京）股份有限公司 $