第四单元最大公因数和最小公倍数解决问题（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册高频易错题思维综合练（人教版）

第四单元最大公因数和最小公倍数解决问题专项训练一 一、解答题 1．把48本练习本和64支铅笔分别平均分给若干名同学，如果练习本和铅笔都没有剩余，那么最多有多少名同学？此时每名同学分到几本练习本和几支铅笔？ 2．把48个苹果和36个橘子分给小朋友，每人分到的苹果和橘子数量相同且无剩余，最多可分给几人？ 3．有两根铁丝，一根长10分米，另一根长16分米，现在把它们截成相等的小段，如果正好截完且无剩余，每小段最长是多少分米？一共能截成多少段？ 4．花店用60朵黄玫瑰，45朵红玫瑰配成同样的花束，要求朵数最多，且没有剩余花朵，最多能扎成多少束？每束花有几朵红玫瑰，几朵黄玫瑰? 5．某校组织五年级三个班的同学进行太空舱失重体验，一班36人，二班28人，三班32人。把每个班的同学都分成若干小组，且每个小组的人数相等。每个小组最多是多少人？最少需要分成多少个小组？ 6．动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 7．学校教导处现有36支钢笔和40本软皮本，准备平均分发给参加数学竞赛优胜获奖的班级，结果钢笔多1支，软皮本缺2本。有几个班级优胜获奖？ 8．学校运动会筹备组采购了60瓶矿泉水和48块巧克力，准备分装成若干份“能量包”分给志愿者。每个“能量包”里的矿泉水瓶数和巧克力块数分别相同，并且没有剩余。这些物资最多可以装成多少份“能量包”？每份“能量包”里各有多少瓶矿泉水和多少块巧克力？ 9．有两根长28厘米和35厘米的铁丝，现在要把它们截成长度相同的小段，并且两根都不能有剩余，问每小段最长是几厘米？两根铁丝一共可以截几段？ 10．学校门厅有一个长20分米，宽12分米的长方形宣传栏。如果把同学们用完全相同的正方形纸完成的书画作品，既不重叠、也无缝隙地正好贴满宣传栏，正方形纸的边长最大是几分米？这个宣传栏能贴满多少幅这样的正方形书画作品？ 11．健成艺术培训中心体操队有54人，舞蹈队有48人。现在要分别平均分组，刚好分完，体操队每组人数与舞蹈队每组人数要一样多。两队一共至少可以分成多少组？ 12．端午节前，欣欣和乐乐一共做了18个香囊和30个粽子，准备送给敬老院的爷爷、奶奶。如果每人分得的香囊同样多，每人分得的粽子也同样多，且都没有剩余，最多可以分给多少人？ 13．学校图书馆新进一批图书，若每12本一捆或每18本一捆都正好分完，这批图书至少有多少本？ 14．张阿姨家的电话号码是个8位数，从前到后依次排列为：8的最大因数、5的最小倍数、最小的奇数、最小的合数、最小的质数、3的最小因数、最大的一位数、既不是质数也不是合数的非0自然数。张阿姨家的电话号码是多少？ 15．每年的4月22日是世界地球日，是一个专门为世界环境保护而设立的节日。第五十六个世界地球日的主题是“珍爱地球，人与自然和谐共处”。为保护环境，实验小学五（3）班学生参加“保护环境，人人有责”的宣传活动，参与活动的学生人数在50人以内，每4人一组或5人一组都正好分完，五（3）班参与活动的学生可能有多少人？ 16．奇思坐11路和25路公交车都可以到学校，11路公交车每10分钟一趟，25路公交车每15分钟一趟。两路公交车早上6：00第一次同时出发，第二次同时发车是什么时间？ 17．大课间时同学们玩“抱团”游戏，人数在20和30之间。同学们发现当抱团口令为3，4或6时，每个人都可以抱团成功。有多少人在玩游戏？ 18．小区便利店的饮料柜和零食柜定期补货，饮料柜每6天补一次货，零食柜每9天补一次货，如果今天（周三）两种货物同时完成补货，至少再过多少天会再次同时补货？ 19．文具店购进了一些气球，气球数量在30个至50个之间。每2个扎成一束、每4个扎成一束或每5个扎成一束，都没有剩余。这些气球一共有多少个？ 20．A大道有一排路灯，原来每相邻两盏路灯之间的距离是40m，现在改为50m。如果起点的一盏路灯不移动，那么至少隔多远又有一盏路灯不需要移动？ 21．生活中经常见到装在蛋托里的鸡蛋。便利店批发了70多个鸡蛋。如果把这些鸡蛋装进6个一排的蛋托中，正好装完；如果把这些鸡蛋装进8个一排的蛋托中，也正好装完。便利店批发了多少个鸡蛋？ 22．合唱队有30多人，如果站7行，每行人数刚好同样多；如果站5行，每行人数也刚好同样多。合唱队有多少人？ 23．老李和老张二人绕圆形广场散步，老李走一圈要12分钟，老张走一圈要10分钟。 （1）如果二人同时从同一起点同向出发，多少分钟后会在起点再次相遇？ （2）相遇时老李走了几圈？ 24．百货商场有一批不同样式的书包，其价格既是2的倍数，又都是3和5的倍数。 （1）这批书包中的最低价格是多少元？ （2）如果书包的价格不超过100元，有哪几种价格？ 25．学校美术室有一些长48厘米、宽32厘米的长方形彩色卡纸。 （1）李老师拿出一张彩色卡纸，把它裁成一些正方形制作手工，如果使所裁的正方形纸最大且原卡纸没有剩余，所裁的这些正方形纸的边长是多少厘米？ （2）张老师准备用这些长方形彩色卡纸拼一个正方形（中间无缝隙），至少需要几张这样的彩色卡纸？ 参考答案 1．16名；3本；4支 【分析】把48本练习本和64支铅笔分别平均分给若干名同学，且没有剩余，学生数量是48和64的公因数，题目要求学生最多，求48和64的最大公因数，再分别用练习本总数和铅笔总数除以学生数量即可。 【详解】48＝2×2×2×2×3 64＝2×2×2×2×2×2 48和64的最大公因数： 2×2×2×2＝16 48÷16＝3（本） 64÷16＝4（支） 答：最多有16名学生，此时每名学生分到3本练习本和4支铅笔。 2． 12人 【分析】用短除法求出48和36的最大公因数，就是最多可分给的人。短除法：把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】 2×2×3 ＝4×3 ＝12（人） 答：最多可分给12人。 3．2分米；13段 【分析】把长10分米和16分米的两根铁丝截成相等的小段，没有剩余，那么每小段最长的长度就是10和16的最大公因数，用分解质因数的方法求出它们的最大公因数； 再分别用两根铁丝长度除以最大公因数，求出各自能截的段数，最后相加就是一共能截成的段数。 【详解】10＝2×5 16＝2×2×2×2 10和16的最大公因数是2； 即每小段最长是2分米。 10÷2＝5（段） 16÷2＝8（段） 一共：5＋8＝13（段） 答：每小段最长是2分米，一共能截成13段。 4．15束；3朵红玫瑰，4朵黄玫瑰 【分析】要使配成的花束同样且没有剩余，花束的数量必须既是60的因数，又是45的因数，即60和45的公因数，要求最多能扎成多少束，即求60和45的最大公因数。确定花束数量后，利用除法计算每束花中黄玫瑰和红玫瑰的朵数。 【详解】60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60 45的因数有：1，3，5，9，15，45 则60和45的公因数有：1，3，5，15，最大公因数是15。 所以最多能扎成15束。 60÷15＝4（朵） 45÷15＝3（朵） 答：最多能扎成15束，每束花有4朵黄玫瑰，3朵红玫瑰。 5．4人；24个 【分析】要让每个班的每组人数相等，且小组总数最少，需要先求出三个班人数的最大公因数，即为每组最多的人数；再分别用每个班的人数除以小组的人数得到每个班分成的小组数，最后求和。 【详解】36＝2×2×3×3 28＝2×2×7 32＝2×2×2×2×2 36、28、32的最大公因数是2×2＝4。 36÷4＝9（个）         28÷4＝7（个）         32÷4＝8（个） 9＋7＋8 ＝16＋8 ＝24（个） 答：每个小组最多是4人，最少需要分成24个小组。 6． 24只 【分析】已知猫粮有69袋，分完缺3袋，所以实际需要的猫粮袋数用加法为72袋； 鱼干有50条，分完剩2条，所以实际可分的鱼干条数＝总鱼干数－剩余条数，即48条； 对72和48分解质因数，72 和48最大公因数为24，所以最多有24只小猫。 【详解】（袋） （条） 答：动物救助站最多有24只小猫. 【点睛】先根据已知条件求出实际可平均分的猫粮袋数和鱼干条数，再通过求这两个数的最大公因数确定小猫的最多数量。 7． 7个 【分析】钢笔多1支，说明实际分发的钢笔数为36－1＝35支，且35能被班级数整除；软皮本缺2本，说明实际需要的软皮本数为40＋2＝42本，且42能被班级数整除。因此，班级数必须是35和42的公因数。35和42的公因数有1和7，但若班级数为1，则钢笔分发应无剩余（实际多1支矛盾），软皮本应无缺少（实际缺2本矛盾），故班级数不能为1。验证班级数为7时符合条件，因此获奖班级数为7个。 【详解】36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35的因数有：1，5，7，35。 42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42。 公因数有1和7。 若班级数为1，则钢笔分发应无剩余（实际多1支矛盾），因此，获奖班级数为7个。 答：有7个班级优胜获奖。 8．12份；5瓶；4块 【分析】求出矿泉水和巧克力数量的最大公因数（将60和48分解为质因数相乘的形式，取所有公有质因数的乘积，即为最大公因数），就是可以装成的“能量包”数量；分别用矿泉水和巧克力数量除以“能量包”数量就是每份“能量包”相应物品的数量。据此解答。 【详解】60＝2×2×3×5 48＝2×2×2×2×3 公有质因数相乘：2×2×3＝12 所以60和48的最大公因数是12，即最多能装成12份。 矿泉水：60÷12＝5（瓶） 巧克力：48÷12＝4（块） 答：这些物资最多可以装成12份“能量包”。每份“能量包”里有5瓶矿泉水，4块巧克力。 9．7厘米；9段 【分析】因每小段最长长度是28和35的最大公因数，先分解质因数得28＝2×2×7、35＝5×7，二者共同质因数为7，故每小段最长7厘米；再分别计算28÷7＝4段、35÷7＝5段，总段数为4＋5＝9段，因此每小段最长是7厘米，两根铁丝一共可以截9段。 【详解】28＝2×2×7，35＝5×7，最大公因数是7。 28厘米铁丝：28÷7＝4（段） 35厘米铁丝：35÷7＝5（段） 总段数：4＋5＝9（段） 答：每小段最长是7厘米，两根铁丝一共可以截9段。 10．4分米；15幅 【分析】根据题意，正方形纸的最大边长是20分米和12分米的最大公因数；将20和12先分别分解质因数，两个数公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数；再分别用长、宽除以这个最大公因数，再把所得的商相乘即可解答。 【详解】20＝2×2×5 12＝2×2×3 所以20和12的最大公因数是2×2＝4，正方形纸的边长最大是4分米； 20÷4×（12÷4） ＝5×3 ＝15（幅） 答：正方形纸的边长最大是4分米，这个宣传栏能贴满15幅这样的正方形书画作品。 11．17组 【分析】要分别平均分组，刚好分完，体操队每组人数与舞蹈队每组人数要一样多，求两队一共至少可以分成多少组，则每组的人数就是54与48的最大公因数，求出54和48的最大公因数，再分别用体操队和舞蹈队的人数除以每组的人数，再相加即可解答。 【详解】54与48的最大公因数是6，所以，每组6人。 54÷6＋48÷6 ＝9＋8 ＝17（组） 答：两队一共至少可以分成17组。 12．6人 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。求出香囊和粽子个数的最大公因数，就是最多分给的人数。 【详解】18＝2×3×3，30＝2×3×5 2×3＝6（人） 答：最多可以分给6人。 13．36本 【分析】根据题意，图书总数既能被12整除，也能被18整除，因此图书总数是12和18的公倍数；求至少有多少本，就是求12和18的最小公倍数。先通过分解质因数的方法，找出两个数公有的质因数和各自独有的质因数，再将公有的质因数与各自独有的质因数相乘，即可得到两个数的最小公倍数。 【详解】分解质因数：12＝2×2×3；18＝2×3×3 计算最小公倍数：12和18公有的质因数是2和3，12独有的质因数是2，18独有的质因数是3 最小公倍数＝2×3×2×3＝36（本） 答：这批图书至少有36本。 14．85142191 【分析】一个数的最大公因数和最小公倍数都是它本身整数中，一个数的最小因数是1； 是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数； 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数, 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数； 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数, 即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数； 最大的一位数是9； 0、1既不是质数也不是合数； 依次根据因数、倍数、奇数、合数、质数的定义，分别求出8位电话号码每一位对应的数字，再按从前到后的顺序组合成完整的8位数。 【详解】8的最大因数是8，5的最小倍数是5，最小的奇数是1，最小的合数是4，最小的质数是2，3的最小因数是1，最大的一位数是9，既不是质数也不是合数的非0自然数是1，则这个8位数是85142191。 答：张阿姨家的电话号码是85142191。 15．20人或40人 【分析】每4人一组或5人一组都正好分完，所以参与活动的人数是4和5的公倍数。因为参与人数在50人以内，所以需要先求出4和5的最小公倍数，再找出50以内4和5的最小公倍数的倍数，即为五（3）班参与活动的学生人数。 【详解】4×5＝20 4和5的最小公倍数是20。 50以内4和5的公倍数有：20×1＝20，20×2＝40。 答：五（3）班参与活动的学生可能有20人或40人。 16．6时30分（或6：30） 【分析】两车下次同时发车的间隔时间是两车发车间隔时间的最小公倍数，通过求出最小公倍数，再加上首次同时发车时间，即可得到下次同时发车的时间。 最小公倍数等于两个数公有的质因数与各自独有的质因数的乘积。 【详解】10＝2×5 15＝3×5 10和15公有的质因数是5，10独有的质因数是2，15独有的质因数是3，所以10和15的最小公倍数为5×2×3＝30，即两车同时发车的间隔时间30分钟。 6时＋30分＝6时30分 答：它们下次同时发车会是6时30分（或6：30）。 17．24人 【分析】根据题意，口令为3、4或6时，每个人都可以抱团成功，所以人数应该是3、4和6的公倍数，同时该公倍数应该在20和30之间，先求出3、4和6的最小公倍数，再求出在20和30之间，进而解答。 【详解】3＝1×3 4＝2×2 6＝2×3 3、4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 3、4和6的公倍数有12，24，36，48，……；有24人在玩游戏。 答：有24人在玩游戏。 18．18天 【分析】由题意可知，饮料柜补货经过的天数是6的倍数，零食柜补货经过的天数是9的倍数，则两种货物同时补货经过的天数是6和9的公倍数，求至少再过多少天两种货物会再次同时补货就是求这两个数的最小公倍数，据此解答。 【详解】 6和9的最小公倍数是：3×2×3＝18 所以，至少再过18天会再次同时补货。 答：至少再过18天会再次同时补货。 19．40个 【分析】因为每2个，4个，5个扎成一束都没有剩余，所以气球数量是2、4、5的最小公倍数。先通过列举法找出这三个数的最小公倍数，即2的倍数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、······；4的倍数有：4、8、12、16、20、24、······；5的倍数有：5、10、15、20、25、······；所以2、4、5的最小公倍数是20。又已知气球数量在30个至50个之间，且是20的倍数，所以需要计算20的倍数，看哪个结果在30到50之间，即（个），20小于30，不符合；（个），40在30与50之间，符合要求；（个），60大于50，不符合要求；据此解答。 【详解】由分析可知，因为2，4，5的最小公倍数是20，所以2，4，5的公倍数都是20的倍数。30至50之间的数只有40符合条件。 答：这些气球一共有40个。 20．200m 【分析】求出40和50的最小公倍数，即把40和50进行分解质因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，即可求出再隔多远又有一盏路灯不需要移动。据此解答。 【详解】 40和50的最小公倍数： 答：至少隔200m又有一盏路灯不需要移动。 21．72个 【分析】求便利店批发了多少个鸡蛋，就是求6和8的公倍数，且大于70小于80，先求出6和8的最小公倍数，再求6和8的公倍数、且公倍数大于70小于80。据此解答。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24 24×3＝72（个） 答：便利店批发了72个鸡蛋。 22．35人 【分析】根据合唱队的人数＝行数×每行的人数，如果站7行，每行人数刚好同样多，说明合唱队的人数是7的倍数；如果站5行，每行人数也刚好同样多，说明合唱队的人数是5的倍数，则说明合唱队的人数既是7的倍数又是5的倍数，并且合唱队有30多人，可得合唱队的人数有35人。据此解答。 【详解】7的倍数：7、14、21、28、35、42… 5的倍数：5、10、15、20、25、30、35、40… 符合即是7的倍数又是5的倍数，并且合唱队有30多人的数字是35，则合唱队有35人。 答：合唱队有35人。 23． （1）60分钟 （2）5圈 【分析】（1）两人同时从同一起点同向出发，在起点再次相遇的时间就是12和10的最小公倍数。先对12和10分解质因数：12＝2×2×3，10＝2×5，最小公倍数是把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘，所以12和10的最小公倍数为2×2×3×5＝60，即60分钟后会在起点再次相遇。 （2）已知老李走一圈要12分钟，相遇时间是60分钟，那么老李走的圈数为60÷12＝5圈。 【详解】（1）12＝2×2×3 10＝2×5 所以12和10的最小公倍数是2×2×3×5＝60 答：60分钟后会在起点再次相遇。 （2）60÷12＝5（圈） 答：相遇时老李走了5圈。 24．（1）30元 （2）30元、60元、90元 【分析】（1）书包价格同时是2、3、5的倍数，最低价格为这三个数的最小公倍数。由于2、3、5互质，最小公倍数为三者的乘积。 （2）不超过100元的价格需列举30的所有倍数，直到超过100为止。 【详解】（1）2×3×5＝30（元） 答：这批书包中的最低价格是30元。 （2）1×30＝30 2×30＝60 3×30＝90 4×30＝120 …… 不超过100元的书包价格有30元，60元，90元。 答：有30元，60元，90元的价格。 25． （1）16厘米 （2）6张 【分析】（1）由题意可知，这些正方形纸的边长就是48和32的最大公因数，可用短除法计算。 （2）由题意可知，拼成正方形的最小边长为48和32的最小公倍数，再用边长分别除以长和宽，得到长与宽的张数，再相乘计算所需卡纸数量。 【详解】（1） （厘米） 答：所裁的这些正方形纸的边长是16厘米。 （2）（厘米） （张） 答：至少需要6张这样的彩色卡纸。 学科网（北京）股份有限公司 $