精品解析：四川省自贡市第二十八中学校2021-2022学年八年级下学期开学考试数学试题

自贡28中学校2021—2022年八（下）春季开学能力检测 数 学 试 卷 一、选择题（每题3分共24分） 1. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：， 解得：x=2， 故选C． 2. 科学家在实验中检测出某微生物细胞直径约为0.0000035，将0.0000035用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000035． 故选：A． 【点睛】本题主要考查科学记数法的知识，正确确定和的值是解题关键． 3. 下列各式中，不能因式分解的是（　　） A. 4x2﹣4x+1 B. x2﹣4y2 C. x3﹣2x2y+xy2 D. x2+y2+x2y2 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断即可． 【详解】解：A、4x2﹣4x+1＝（2x−1）2，故本选项不合题意； B、x2﹣4y2＝（x＋2y）（x-2y），故本选项不合题意； C、x3﹣2x2y+xy2=x（x-y）2，故本选项不合题意； D、x2+y2+x2y2不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了提取公因法以及公式法分解因式，正确应用公式法分解因式是解题关键． 4. 在如下图的汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对各图形分析后即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，故本选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图形折叠后可重合的是轴对称图形． 5. 已知一个多边形的内角和与外角和的和为1980°，这个多边形的边数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，多边形的外角和为360°，该多边形的内角和与外角和的总和为1980°，故内角和为1620°．根据多边形的内角和公式易求解． 【详解】解：该多边形的外角和为360°， 故内角和为1980°-360°=1620°， 故（n-2）•180°=1620°， 解得n=11． 故选：C． 【点睛】本题考查的是多边形内角与外角的相关知识，比较简单． 6. 若数 使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数的和为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解分式方程，根据解为正数且分母不为0得到a的取值范围，再解不等式组，根据已知解集确定a的另一范围，找出范围内所有整数，求和即可得到结果. 【详解】解：解分式方程 方程两边同乘得 整理得， ∵分式方程的解为正数，且分母不能为0 ∴且 解得且 解不等式组 解第一个不等式：两边同乘6得 整理得，即； 解第二个不等式得； ∵不等式组的解集为，根据“同小取小”可得 综上所述，的取值范围是且； 符合条件的整数为：， 求和得：. 7. 有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形的面积之和为 （ ） A. 13 B. 11 C. 19 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形列出a、b的关系式求解即得. 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得：，即，由图乙得：，整理得，所以. 即正方形A、B的面积之和为19. 故选C. 【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图形得出数量关系是解题的关键. 8. 如图，已知在等边中，， ，若点P在线段上运动，当有最小值时，最小值为（ ） A. B. C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、点到直线的距离垂线段最短等知识点，过作，根据等边三角形的性质得，有，那么，结合点到直线的距离垂线段最短，过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为，再次利用等边三角形的性质得到即可． 【详解】解：过作，如图，     ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点到直线的距离垂线段最短， ∴过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为的长， ∵是等边三角形，，，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 二、填空（每题3分共18分） 9. 计算的结果为______． 【答案】3 【解析】 【分析】可改写为，再根据同底数幂的乘法法则和零指数幂计算即可． 【详解】 故答案为：3． 【点睛】本题考查负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘法．掌握各运算法则是解题关键． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，，据此即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如图，的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且的周长为18，则的面积为______． 【答案】27 【解析】 【分析】作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F，将△ABC的面积分为：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是△ABC的周长，可计算△ABC的面积． 【详解】如图，作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OD=OE=OF=3， ∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB =AB•OD+AC•OE+BC•OF=OD（AB+BC+AC）=×3×18=27， 故答案为27． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键． 12. 已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为________________． 【答案】16 【解析】 【分析】先提取公因式ab，然后再用完全平方公式因式分解，最后代入计算即可． 【详解】解：a3b+2a2b2+ab3 =ab（a2+2ab+b2） =ab（a+b）2 =1×42 =16． 故答案是16． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握运用提取公因式法和完全平方公式因式分解是解答本题的关键． 13. 如图，在等腰中，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，若，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是______ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】连接，首先证明，利用等边对等角得，，则，据此即可判定结论①；因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，即可判断结论②；证明且，即可证得是等边三角形，即可判断结论③；证明，则，得，即可判断结论④． 【详解】解：如图1，连接， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，故①正确； 由①知，， ∵点是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故③正确； 如图2，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 14. 观察下列方程：①x+=3；②x+=5；③x+=7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+=2n+4(n为正整数)的解x= ________________． 【答案】n+3或n+4 【解析】 【分析】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解，根据方程的解发现规律即可求解. 【详解】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解： ①x+= x+=1+2，在等式两边同时乘以x， 移项得x2- 3x+2=0，即(x- 2)(x- 3)=0，故解得x = 1或x=2； ②x+= x+=2+3，同理解得x = 2或x =3； ③x+= x+=3+4，同理解得x =3或x =4； 以此类推，第n个方程为：x+= x+， 且解为：x =n或x =n+1； 将方程x+=2n+4两边同时减3，得（x-3）+=2n+1， 根据规律得：x-3 =n或x -3=n+1，即x =n+3或x =n+4. 故答案为：n+3或n+4. 【点睛】此题考查数字的规律，分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解发现规律是解答此题的关键. 三、解答题（每题5分共25分） 15. 先化简，再求值：，其中； 【答案】；0 【解析】 【分析】根据去括号，合并同类项，多项式除以单项式，正确化简，后转化为代数式的值计算即可． 【详解】解： 原式 ， 当时， 原式． 16. 有一道题：“先化简，再求值：÷，其中x= -6．”小张做题时把x= -6错抄成x=6，但是他的计算结果却是正确的．请你阐明原因． 【答案】x2+4，40 【解析】 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x＝−6和x＝6代入化简后的式子，观察结果即可解答本题． 【详解】解：原式=÷ =·=x2+4． ∵(-6)2=62=36, ∴原式的结果都是36+4=40． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 17. 如图，在和中，，延长分别交边、于点F、G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）运用证明即可得证； （2）利用三角形的内角和定理，等量代换计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】按照解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边乘，得 ． 解得， 检验：当时，． ∴原分式方程的解为 ． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程解题步骤是解题关键，注意：解分式方程一定要检验． 19. 如图，是平面直角坐标系中的网格线，每一小格的边长都是为1，△ABC的顶点都是格点． （1）在网格图中作出△ABC关于y轴的对称图形，并直接写出点A的对应点的坐标； （2）在x轴上有一点P，使得AP＋BP最短，找出并标记点P位置． 【答案】（1）见解析，（1，2） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质即可在网格图中作出△ABC关于y轴的对称图形，并直接写出点A的对应点的坐标； （2）先找到点B关于x轴的对称点B″，连接B″A与x轴交于点P即可． 【小问1详解】 解：（1）如图，△A'B'C即为所求； 点A的对应点A'的坐标为（1，2）； 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 四、 解下列各题（每题6分共18分） 20. 按要求完成下列各小题． （1）如图，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求的度数； （2）如图，已知在△ABC中，AD平分，交BC于点D，过点A作AE⊥BC于点E，若，，求∠B的度数． 【答案】（1）150° （2）60° 【解析】 【分析】（1）根据多边形的内角和可得∠DAB和∠DAC的度数，再根据周角是360°可得答案； （2）先求出∠ADE＝85°，再求出∠CAD＝35°，∠BAC＝70°，即可求出∠B的度数． 【小问1详解】 解：∵正方形内角和为360°， ∴其每个内角为360°÷4＝90°． ∵正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°， ∴其每个内角为720°÷6＝120°， ∴∠BAC＝360°﹣90°﹣120°＝150°； 【小问2详解】 解：∵AE⊥BC， ∴∠AED＝90°． ∵∠EAD＝5°， ∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝85°． ∵∠C＝50°， ∴∠CAD＝∠ADE﹣∠C＝35°． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠CAD＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝60°． 【点睛】本题考查多边形的内角和、直角三角形的两锐角互余以及角平分线的定义，熟练掌握相关知识并灵活应用是解题关键． 21. 2021年12月14日，安徽省确定中长跑是2022年初中学业水平体育与健康学科考试必考项目．某体育用品商店预测某款运动鞋能够畅销，就用16000元购进了一批这款运动鞋，上柜后很快销完，该商店又用40000元购进第二批这款运动鞋，所购数量是第一批的2倍，但每双鞋的进价却高了10元，求第一次购买时，这款运动鞋每双的进价． 【答案】第一次购买时，这款运动鞋每双的进价为40元． 【解析】 【分析】设第一次购买时，这款运动鞋每双的进价为x元，则第二次进价为（x+10）元，接下来，用含x的式子可表示出两次购进这款运动鞋的数量，最后依据第二批所购数量是第一批的2倍列方程求解即可． 【详解】解：设第一次购买时，这款运动鞋每双的进价为x元，则 解得x=40． 检验：当x=40时，x（x+10）≠0．所以x=40是原方程的解． 答：第一次购买时，这款运动鞋每双的进价为40元． 【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用，依据第二批所购数量是第一批的2倍列出关于x的方程是解题的关键． 22. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：FA平分∠BFE． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据SAS证明结论即可； （2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； 【小问2详解】 证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N． 由△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE， ∵， ∴AM＝AN， ∴点A在∠BFE平分线上， ∴FA平分∠BFE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明． 五、综合解答题（23题7分，24题8分） 23. 请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ∵ ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）求证：无论x取何值，代数式的值都是正数： （2）若代数式的最小值为4，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）代数式变形为，根据非负性证明即可； （2）根据题意，，根据非负性确定最小值，求解即可． 【小问1详解】 证明： ∵ = = ∵无论取何值， ∴ ∴无论取何值，代数式的值都是正数； 【小问2详解】 解：根据题意，， ∵， ∴当时，有最小值． ∵的最小值为4， ∴． ∴， 解得． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点C在第一象限，，，点A坐标为，点C的横坐标为n，且． （1）分别求出点A、B、C的坐标； （2）如图2，点D为边中点，以点D为顶点的直角两边分别交边于E，交边于F，求证：； （3）在坐标平面内有点G（不与点A重合），使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点G的坐标． 【答案】（1）点，点，点 （2）见解析 （3），， 【解析】 【分析】（1）将变形为，根据非负性，等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点D作于点P，作于点Q，得到四边形是矩形，根据等腰三角形的性质，得到，证明，证明即可； （3）根据题意，分类求解，注意等腰直角三角形的性质，中点坐标公式的应用． 【小问1详解】 解：将变形为， ， 解得， ∴点； 过点C作轴于点N，作轴于点M， 则四边形是矩形， ∴， ∵，， 轴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴四边形是正方形， ∴， ∵点C的横坐标为n， ∴． ∴， ∴，， ∴点，点． 【小问2详解】 证明：过点D作于点P，作于点Q， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，点D为边中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：延长到点，使得， ∵，， ∴， 此时是以为直角边的等腰直角三角形， 设点， ∵点，点， ∴， 解得， 故； 过点B作于点B，且满足，此时是以为直角边的等腰直角三角形， 过点作于点H，过点作于点R， 同（1）法可得： ， 故； 延长到点，使得， ∵，， ∴， 此时是以为直角边的等腰直角三角形， 设点， ∵点，点， ∴， 解得， 故； 综上所述，符合要求的点G有三个，分别是，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡28中学校2021—2022年八（下）春季开学能力检测 数 学 试 卷 一、选择题（每题3分共24分） 1. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 2. 科学家在实验中检测出某微生物细胞直径约为0.0000035，将0.0000035用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，不能因式分解的是（　　） A. 4x2﹣4x+1 B. x2﹣4y2 C. x3﹣2x2y+xy2 D. x2+y2+x2y2 4. 在如下图的汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个多边形的内角和与外角和的和为1980°，这个多边形的边数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 若数 使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数的和为 （ ） A. B. C. D. 7. 有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形的面积之和为 （ ） A. 13 B. 11 C. 19 D. 21 8. 如图，已知在等边中，， ，若点P在线段上运动，当有最小值时，最小值为（ ） A. B. C. 10 D. 12 二、填空（每题3分共18分） 9. 计算的结果为______． 10. 分解因式：________． 11. 如图，的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且的周长为18，则的面积为______． 12. 已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为________________． 13. 如图，在等腰中，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，若，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是______ 14. 观察下列方程：①x+=3；②x+=5；③x+=7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+=2n+4(n为正整数)的解x= ________________． 三、解答题（每题5分共25分） 15. 先化简，再求值：，其中； 16. 有一道题：“先化简，再求值：÷，其中x= -6．”小张做题时把x= -6错抄成x=6，但是他的计算结果却是正确的．请你阐明原因． 17. 如图，在和中，，延长分别交边、于点F、G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 解方程： 19. 如图，是平面直角坐标系中的网格线，每一小格的边长都是为1，△ABC的顶点都是格点． （1）在网格图中作出△ABC关于y轴的对称图形，并直接写出点A的对应点的坐标； （2）在x轴上有一点P，使得AP＋BP最短，找出并标记点P位置． 四、 解下列各题（每题6分共18分） 20. 按要求完成下列各小题． （1）如图，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求的度数； （2）如图，已知在△ABC中，AD平分，交BC于点D，过点A作AE⊥BC于点E，若，，求∠B的度数． 21. 2021年12月14日，安徽省确定中长跑是2022年初中学业水平体育与健康学科考试必考项目．某体育用品商店预测某款运动鞋能够畅销，就用16000元购进了一批这款运动鞋，上柜后很快销完，该商店又用40000元购进第二批这款运动鞋，所购数量是第一批的2倍，但每双鞋的进价却高了10元，求第一次购买时，这款运动鞋每双的进价． 22. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：FA平分∠BFE． 五、综合解答题（23题7分，24题8分） 23. 请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ∵ ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）求证：无论x取何值，代数式的值都是正数： （2）若代数式的最小值为4，求k的值． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点C在第一象限，，，点A坐标为，点C的横坐标为n，且． （1）分别求出点A、B、C的坐标； （2）如图2，点D为边中点，以点D为顶点的直角两边分别交边于E，交边于F，求证：； （3）在坐标平面内有点G（不与点A重合），使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $