2.7导数的应用同步课时练-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

2.7 导数的应用 同步课时练 生活中导数无处不在：瞬时速度是位移对时间的导数，边际收益与边际成本都依赖导数分析，帮我们快速找到最优方案. 学科网（北京）股份有限公司 考点1·导数的应用 1.在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款金额x（单位：万元）满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款( ) A.3万元 B.4万元 C.5万元 D.6万元 2.用长为的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长总和为），要求长方体的长与宽之比为，则该长方体的最大体积是( ) A. B. C. D. 3.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收入R与年产量x的关系是则总利润（总利润=总收入-总成本）最大时，年产量应为( ) A.100件 B.150件 C.200件 D.300件 4.做一个容积为立方米的圆柱形无盖（有底）水箱，为使用材料最省，它的底面半径r为( ) A.1米 B.米 C.2米 D.米 5.某产品的销售收入（万元）关于产量x（千台）的函数为；生产成本（万元）关于产量x（千台）的函数为，为使利润最大应生产该产品( ) A.9千台 B.8千台 C.7千台 D.6千台 6.若将一边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法中正确的是( ) A.当时，方盒的容积最大 B.当时，方盒的容积最小 C.方盒容积的最大值为 D.方盒容积的最小值为 7.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一万斤莲藕，成本增加0.5万元.已知销售额函数是（x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数）.若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕___________万斤. 能力拔高题 8.为了应对比赛，某运动会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为150元，设较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时，x的值为______. 从物理运动到经济决策，导数都发挥关键作用，它让抽象变化可计算、可预测，是连接数学理论与现实应用的重要桥梁. 学科网（北京）股份有限公司 答案以及解析 1.答案：B 解析：依题意，， 则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数取得最大值.故选B. 2.答案：B 解析：设该长方体的宽是，由题意知，其长是，高是，则该长方体的体积，.由，得或（舍去），且当时，；当时，，即在处取得极大值，为，也是函数在定义域上的最大值.所以该长方体体积的最大值是.故选B. 3.答案：D 解析：由题意知，总成本为， 所以总利润 令，得. 当时，，当时，. 易知当年产量为300件时，总利润最大. 4.答案：C 解析：由题，圆柱的高h满足，则，故所用材料面积有，求导可得，故当时，；当时，，故当时，S取得最小值 故选：C 5.答案：B 解析：设利润为y万元，则，，令，解得.当时，，当时，. 当时，y取最大值，故为使利润最大，应生产8千台.故选B. 6.答案：AC 解析：方盒的容积为，则，令，则或，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以.故选AC. 7.答案：6 解析：设销售利润为万元，则， 当时，，解得. ， 则， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数取得极大值，即最大值. 8.答案：25 解析：由题可知池底面积为，为定值，即池底维修费用为定值，则泳池维修费用由池壁维修费用决定. 又x表示较短池壁长，则，则池壁维修费用表达式为. 设，，则 . 同步课时练 令，可得，则，，所以在上单调递减，在上单调递增，即.故当泳池的维修费用最低时，x的值为25. 错题记录： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $