课时分层评价26 实际问题中的最值问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价26　实际问题中的最值问题 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0＜x＜60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为(　　) A.30 B.40 C.50 D.60 答案：B 解析：V'(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，令V'(x)＝0，得x＝40或x＝0(舍去).因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V'(x)＞0，此时V(x)单调递增；当40＜x＜60时，V'(x)＜0，此时V(x)单调递减，所以V(40)是V(x)的极大值，也是最大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.故选B. 2.在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y(单位：万元)与贷款x满足关系式y＝ln x－x－＋9，要使年利润最大，小李应向银行贷款(　　) A.3万元 B.4万元 C.5万元 D.6万元 答案：B 解析：依题意得，y＝ln x－x－＋9，且0＜x≤10，y'＝－1＋＝＝，所以在区间上，y'＞0，函数单调递增；在区间上，y'＜0，函数单调递减.所以当x＝4万元时，函数取得最大值.故选B. 3.一艘船从A地到B地，其燃料费w与船速v的关系为w＝，要使燃料费最低，则v＝(　　) A.18 B.20 C.25 D.30 答案：A 解析： w'＝ ＝，当18≤v≤30时，w'＞0，所以w上单调递增，所以当v＝18时，w取得最小值.故选A. 4.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数，且函数解析式为y1＝20x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数，且函数解析式为y2＝2x3－x2，要使利润最大，则该产品应生产(　　) A.6千台 B.7千台 C.8千台 D.9千台 答案：B 解析：该产品的利润L(x)＝y1－y2＝20x2－＝－2x3＋21x2，则L'(x)＝－6x2＋42x，由L'(x)＞0得0＜x＜7，L(x)单调递增；由L'(x)＜0得x＞7，L(x)单调递减.则当x＝7时，L(x)＝－2x3＋21x2取得最大值.即要使利润最大，则该产品应生产7千台.故选B. 5.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形(原始卵形)＋圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为1∶3，则该模型的体积最大值为(　　) A.40π B.80π C.160π D.180π 答案：C 解析：设圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，底面圆半径为r＝，则该模型的体积V＝πr2·3h＋πr2·h＝h(36－h2)π，令f(x)＝－x3＋36x，则f'(x)＝－3x2＋36，由f'(x)＝0得x＝±2，当0＜x＜2时，f'(x)＞0，当x＞2时，f'(x)＜0，则f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以当h＝2时，Vmax＝160π.故选C. 6.(多选题)已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1 000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有(　　) A.年产量为9 000件 B.年产量为10 000件 C.年利润最大值为38万元 D.年利润最大值为38.6万元 答案：AD 解析：设年利润为W万元.当0＜x≤10时，W＝x－(10＋2.7x)＝8.1x－－10，W'＝8.1－.令W'＝0，得x＝9(舍负)，且当x∈(0，9)时，W'＞0；当x∈(9，10]时，W'＜0，所以当x＝9时，年利润W取得最大值38.6；当x＞10时，W＝x－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，W'＝－2.7.令W'＝0，得x＝(舍负)，且当x∈时，W'＞0；当x∈时，W'＜0，所以当x＝时，年利润W取得最大值38.因为38.6＞38，所以当年产量为9 000件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元.故A，D正确，B，C错误.故选AD. 7.某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，则总利润最大时，产量应定为　　　　件. 答案：25 解析：设产品单价为a元，产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝502×100＝250 000，所以a＝.总利润y＝ax－C(x)＝500－x3－1 200(x＞0)，y'＝－x2，由y'＝0，得x＝25，当x∈(0，25)时，y'＞0，当x∈(25，＋∞)时，y'＜0，所以x＝25时，y取极大值且为最大值，此时总利润最大. 8.做一个无盖的圆柱体水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为　　　. 答案：3 解析：设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小.因为S表(R)＝πR2＋2πRL＝πR2＋π(R＞0)，所以S表'(R)＝2πR－.令S表'(R)＝0，得R＝3，所以当R＝3时，S表最小. 9.剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.如图，一圆形纸片，直径AB＝20 cm，需要剪去菱形EFGH，可以经过两次对折、沿EF裁剪、展开后得到.若CF＝EF，要使镂空的菱形EFGH面积最大，则菱形的边长EF＝　　　　 cm. 答案： 解析：设圆心为O，由圆的性质可知，A，E，O，G，B共线，C，F，O，H，D共线.由菱形性质可知，EG⊥FH，设OF＝m，OE＝n，又半径为10，则EF＝＝CF＝10－m，即2m＝10－n2，0＜n＜10，故S菱形EFGH＝4S△OEF＝2OE·OF＝2mn＝－n3＋10n，令f(x)＝－x3＋10x，0＜x＜10，则f'(x)＝－x2＋10，0＜x＜10，由f'(x)＞0，得0＜x＜；由f'(x)＜0，得＜x＜10，故f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以当x＝时，f(x)在(0，10)上取最大值，从而要使镂空的菱形EFGH面积最大，则n＝.由2m＝10－n2可得，m＝，则此时EF＝10－m＝. 10.(13分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值. 解：(1)由题设，每年能源消耗费用为 C(x)＝(0≤x≤10)， 再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝. 而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10). (2)f'(x)＝6－，令f'(x)＝0， 即＝6， 解得x＝5或x＝－(舍去). 当0≤x＜5时，f'(x)＜0， 当5＜x≤10时，f'(x)＞0， 故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70. 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.某地计划对旧的灌溉水渠进行加固改造，已知旧水渠的横截面是一段抛物线弧AOB(如图所示)，顶点O在水渠的最底端，渠宽AB为3 m，渠深为1 m，欲在旧水渠内填充混凝土加固，改造成横截面为等腰梯形的新水渠，且新水渠底面与地面平行(不改变渠宽)，若要使所填充的混凝土量最小，则新水渠的底宽为(　　) A. m B.1 m C. m D.2 m 答案：B 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A，设抛物线的方程为x2＝2py(p＞0)，因为点A在抛物线上，可得p＝，所以抛物线的方程为y＝x2.要使所填充的混凝土量最小，则如图内接等腰梯形ABCD的面积要最大，设点C(t，t2)，则此时梯形ABCD的面积S(t)＝(2t＋3)＝－t3－t2＋t＋，所以S'(t)＝－t2－t＋1＝－(2t＋3)(2t－1)，又由0＜t＜，令S'(t)＝0，解得t＝.当0＜t＜时，S'(t)＞0，S(t)在上单调递增，当＜t＜时，S'(t)＜0，S(t)在上单调递减，所以当t＝时，S(t)取得最大值，此时新水渠的底宽CD为1 m.故选B. 12.(多选题)粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为63 000π立方米的粮食储藏容器，如图①所示.已知该容器分上下两部分，上部分是底面半径和高都为r米的圆锥，下部分是底面半径为r米、高为h米的圆柱体，如图②所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为a元，圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用为a元，设每个容器的制造总费用为y元，则下面说法正确的是(　　) A.10≤r＜40 B.h的最大值为 C.当r＝21时，y＝7 029aπ D.当r＝30时，y有最小值，最小值为6 300aπ 答案：BCD 解析：由题意可得πr2×r＋πr2h＝63 000π，所以h＝＝－r，由h＞0，得－r＞0，解得r＜30，所以10≤r＜30，故A不正确；易知h随r的增大而减小，所以当r＝10时，h取得最大值，且最大值为，故B正确；圆锥的母线长l＝r，故圆锥的侧面积S1＝πrl＝πr×r＝πr2，圆柱的侧面积S2＝2πrh＝2πr＝－r2，圆柱的底面积S3＝πr2，所以总费用y＝aS1＋a(S2＋S3)＝a×πr2＋a＝r2＋.当r＝21时，y＝×212＋＝7 029aπ，故C正确；y'＝r－＝，当10≤r＜30时，y'＜0，函数y＝r2＋单调递减，当30＜r＜30时，y'＞0，函数y＝r2＋单调递增，所以当r＝30时，y取得最小值，最小值为×302＋＝6 300aπ，故D正确.故选BCD. 13.如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是16 cm2的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为　　　　 cm3. 答案： 解析：设圆锥底面圆的半径为R cm，圆柱形冰块的底面圆半径为x cm，高为h cm，由题意可得×(2R)2＝16，解得R＝4，则h≤tan·(R－x)＝(4－x)(0＜x＜4).设圆柱形冰块的体积为V cm3，则V≤πx2(4－x)(0＜x＜4).设f(x)＝πx2(4－x)，0＜x＜4，则f'(x)＝πx(8－3x)，0＜x＜4.当0＜x＜时，f'(x)＞0；当＜x＜4时，f'(x)＜0，所以f(x)＝πx2(4－x)在x＝处取得极大值，也是最大值，f(x)max＝f＝，故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为 cm3. 14.(15分)如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中直径AB长为2 km，C和D两点在半圆弧上，满足BC＝CD.设∠COB＝θ. (1)现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB，BC，CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值； (2)若要在景区内种植鲜花，其中在△AOD和△BOC内种满鲜花，在扇形COD内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大？ 解：(1)取BC的中点M，AD的中点N，连接OM，ON，如图所示， 则OM⊥BC，ON⊥AD，∠BOM＝，BC＝CD＝2BM＝2OBsin ＝2sin ，∠AOD＝π－2θ， 故AD＝2AO·sin ＝2cos θ， 则l＝2＋2×2sin ＋2cos θ＝2＋4sin ＋2＝－4＋5. 因为0＜θ＜， 所以0＜＜，sin∈， 故当sin ＝，即θ＝时，l＝－4＋5取得最大值，最大值为5. (2)S△BOC＝BO2·sin θ＝sin θ， S△AOD＝AO2sin(π－2θ)＝cos θsin θ， 扇形COD的面积S1＝θ， 故S＝S△BOC＋S△AOD＋S1＝sin θ＋cos θsin θ＋θ， 则S'＝cos θ＋cos2θ－sin2θ＋ ＝2cos2θ＋cos θ－＝(4cos θ＋3)(2cos θ－1)， 因为0＜θ＜，所以cos θ∈(0，1)， 故当0＜θ＜时，cos θ∈，S'＞0，当＜θ＜时，cos θ∈，S'＜0， 故当0＜θ＜时，S单调递增，当＜θ＜时，S单调递减， 所以当θ＝时，S取得极大值，也是最大值， 故当θ＝时，鲜花种植面积S最大. 15.(5分)某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(万元)情况如下： 投入资金 甲产品利润 乙产品利润 4 1 2.5 该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为甲产品的利润与投入资金成正比，所以设y＝k1x，当投入4万元时，利润为1万元，即4k1＝1，得k1＝，即y＝x.因为乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，所以设y＝k2，当投入4万元时，利润为2.5万元，即k2＝，得2k2＝，即k2＝，即y＝.设乙产品投入资金为x万元，则甲产品投入资金为(10－x)万元，0≤x≤10，则生产甲、乙两种产品所得利润为y＝(10－x)＋，则y'＝－＋＝，由y'＞0，得5－2＞0，即0＜x＜，由y'＜0，得5－2＜0，即x＞，即当x＝时，函数取得极大值同时也是最大值，此时y＝×＋× ＝＋＝.故选B. 16.(17分)(数学文化)《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体.“刍甍”字面意思为茅草屋顶，图①是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图②，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M，已知HM＝5 m，BC＝10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍.设∠FMH＝θ. (1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式； (2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋总高度为6 m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？ 解：(1)由题意，知FH⊥平面ABCD， 因为HM⊆平面ABCD，所以FH⊥HM. 在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ， 所以FM＝. 所以△FBC的面积为×10×＝. 所以屋顶面积S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE ＝2×＋2××2.2＝. 所以S关于θ的函数关系式为S＝(0＜θ＜). (2)在Rt△FHM中，FH＝5tan θ，所以下部主体高度为h＝6－5tan θ. 所以别墅总造价为y＝S·k＋h·16k＝·k＋·16k＝ k－k＋96k＝80k·＋96k. 设f(θ)＝，0＜θ＜，则f'(θ)＝， 令f'(θ)＝0，得sin θ＝，又0＜θ＜， 所以θ＝. 当θ变化时，f'(θ)、f(θ)的变化情况如表所示. θ f'(θ) － 0 ＋ f(θ) ↘ ↗ 所以当θ＝时，f(θ)在上有最小值. 所以当θ为时，该别墅总造价最低. 学生用书⬇第87页 学科网（北京）股份有限公司 $