(七)利用导数解决实际问题-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修2同步周测卷（新高考北师大版）

U 世学（北肠大极引选择性必修第二研第1亚（共4页！ ① 衡水会馨·先草量·喜二同步因测荐七 数学（北师大密}选择性业修第二卧第？页「共页） 12,(本小题满分15分) 某汽车制遗厂有一条价值为0万元的汽车生产线，现要遥过技术改造米提高其生 “能力，进而提高产品的增加值.己知投人x万元用于技术改递，所款得的产品的增 加维为(60一虹万元·并且技术改意投人此*为0二一天0，可， 1)求技术改造投人工的取值范围： (2)当技术改造投人多少万元时，所获得的产品的增加值最大，其最大值为多少 万元？ 拉学（北所大极引选择柱必修第二研第多亚（共4页引 衡水金幕·先享题· 13,木小题清分20分) 面京玄武湖号那金陵明床”，是我国最大的皇家园林湖泊，在玄武湖的一角有大片 的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶静.夏天的一个伊隐，小胡和朋友游玄武哥：发 现我贯荷花只馆在岸边，无法深人其中，影响瑶贫荷花的乐速，于是他便有了一个画 是：在玄武湖盛开荷花的一角（该处岸边近以圆形，如图所示）设计一些钱道和 个壤景台，观景台P在半丽形的巾轴线OC上（图巾(C与直径AB垂直 P与O,C不重合)，通过栈道把PA,PB.PC,AB连接起米，使人行在其中，犹如置 身花海.已知AB=200m·∠PAB=8,栈道总长度为f(8). 41)求40)： 《2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P的位置，使实现该愿景的建查费用 最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出建速费用的最小值， 离二同步丽测花七 数学（北师大震}选择性业修第二卧第4页「共4页）高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（七） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象 ⑤数学运算⑩数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) W ②③ ④ 档次系数 1 选择题 5 导数的实际意义 加速度 0.80 2 选择题 5 导数的实际意义 易 0.78 电流强度 导数的实际意义 3 选择题 5 0.76 降雨强度 易 选择题 利用导数研究费用最 务 0.60 少问题 5 选择题 利用导数研究体积最 5 大问题 中 0.55 6 选择题 利用导数研究存款收 益最大问题 中 0.45 利用导数研究分段函 选择题 6 分 0.65 数模型的最值 8 选择题 6 导数的单调性问题 中 0.45 9 填空题 导数的实际意义 功率 易0.71 填空题 利用导数研究表面积 10 5 最小问题 中 0.45 11 解答题 13 实际问题中导数的意义 中 0.60 12 解答题 利用导数研究利润最 15 中 0.40 大问题 13 解答题 20 利用导数研究三角函 0.28 数模型问题 ·91 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 W<0,W单调递减，所以当x=9时，年利润W取得 1.A【解析】速度v(t)=s(t)=6t一10t,所以加速 最大值38.6：当x>10时，W=xR() 度a(t)=(t)=121-10,所以当1=2时，a(2)= 10+2.7x)=98-1000-2.7x,则w=100 14,即t=2时汽车的加速度为14，故选A. 3x 2.C【解析】由Q=2r+31可得Q'=十3，所以 2.7,令w=0,解得x=g四（舍负），所以当r Q(5)=23C/s.故选C. 3.D【解析】由题可得f(t)= 2元f(16) 3 (10,1g)时，w>0,w单调递增：当x∈ 2示一号在一16血时的瞬时降附强度为 3 (g0,十∞)时，w<0,w单测递减，所以当x=19 时，年利润W取得最大值38，因为38.6>38，所以当 宫mm/min.故选D. 年产量为9000件时，该公司在这一品牌服装的生产 中所获得的年利润最大，且年利润最大为38.6万元 4.A【解析】由愿知，10km的航程周要四0h,故总 故选AD, 的段用为fx)=(0+x+540)×10=x+ 8.AC 【解析】由题意得，Q(0)-5,即号=5，解得 100+54000,所以/(x)=2x- 54000 m=40.故Q)=0因为Q)=40 +7=40 x 。7<40,枚A正确：因为Q)= 280 2(x-270002,令f(x)=0,解得x=30,故当0< 0+7) 40e·(e+7)-40e·e_280e 280 x<30时，f(x)<0,f(x)单调递减：当x>30时， (e+7)2 了(x)>0,f(x)单调递增，所以要使得航行的总费 e+9+i4 用最少，船速应为30km/h.故选A 所以当t∈(0，ln7)时，Q(t)单调递增：当t∈ 5,C【解析】设圆柱底面半径为r则r=√36一h,所 (1n7,十o∞)时，Q(t)单调递减，故该生物种群数量 以V=rr2h=r(36-h2)h=36h-πh°，h∈(0,6)， 的增长速度先增大后诚小，故B错误：当t=山7时， 则V'=36π-3πh°，令V=0.得h=2,√5或-2/3 Q(t)取最大值，最大值为Q(ln7)=10,则该生物 (舍)，所以当h∈(0,2√5)时，V>0,V单调递增：当 种群数量的年增长量不超过10000只，又因为 Q(t)>0恒成立，所以Q(t)在(0，十o)上单调递 h∈(25,6)时，V<0,V单调递减，所以当h=2 增，即该生物种群的数量Q在不断增长，故C正确，D 时，V*=36r×23-π×(2/5)'=485π，所以该 错误，故选AC 三、填空题 圆柱的最大体积为48v3π.故选C. 6.B【解析】由题意得存款量是kx,银行支付的利息 9.6【解析】W'(t)=21,∴.该物体在t=3s时的功 率为W'(3)=2×3=6J/s, 是kx3,获得的贷款利息是0.0486kx2,其中x∈ 10.354【解析】设长方体的宽为xdm(x>0),则长 (0,0.0486),所以银行的收益是y=0.0486kx2一 kx(0<x<0.0486),则y=0.0972kx-3kx2,令 方体的长为2xdn,故长方体的高为票-号dm, y'=0,得x=0.0324或x=0(舍去)，所以当0<x< 设该长方体箱子的表面积为f(x),则f(x) 0.0324时，y'>0,y单调递增：当0.0324<x< 0.0486时，3y<0,y单脚递减，所以当x=0.0324 2x+2(x+2x).18=2x+10,则/(x)=4x 时，y取得最大值，即当存款利率为0,0324时，银行 获得最大收益.故选B. 108=4(x-272,当0<x<3时，(x)<0, 二、选择题 f(x)单调递减：当x>3时，了(x)>0,f(x)单调 7.AD【解析】设年利润为W,当0<x≤10时，W= 递增，故当x=3时，f(x)取最小值f(3)=2×3十 R(x)-(0+2.7x)=81斋-10.则W=81 108=54,故当它的宽为3d加时，可使其表面积最 0,令w=0,解得x=9(舍负)所以当x∈ x 小，最小表面积为54dm2. 四、解答题 (0,9)时，W>0,W单调递增：当x∈(9,10]时，11.解：(1)产量为1000台时的总利润为 ·92✉ c(1000)=-2×10002+7000×1000+600= 5000600(元)， 则PA=PB=2P0=10am0. 平均利润为0892=50.6（元. 所以PC=100-100tan8, (4分) (4分) 所以栈道总长度为∫(8)=PA十PB十PC十AB (2)当产量从1000台提高到1500台时，总利涧的 平均改变量为 002+100-100an8+200 c(1500）-c(10002=6000600-5000600 (8分) 1500-1000 500 =1o0(22+3(<K) 2000(元). (8分)》 (2)建造栈道的费用为F(0)=5f(0)= (3)由题可知c'(x)=一4x十7000， ,∴.c'(1000)=-4×1000+7000=3000, 500(209+3）.0<0<平， cos 8 ′(1500)=-4×1500+7000=1000， 则F(0)=500×2sin9-1。 (11分) c'(1000)=3000表示当产量为1000台时，每多 cos8 生产一台机械可多获利3000元： 令F(0)=0,得sin8=立 1 c'(1500)=1000表示当产量为1500台时，每多 生产一台机械可多获利1000元. (13分) 又0<K开，所以9=君 12.解：1)由题意可知0∈(0,5]>0， 所以当0<0K若时，F(9)<0, 所以0<x≤50， 所以技术改造投入x的取值范围是(0,50]，(5分) 当吾<<时，F'(0>0, (2)设f(x)=(60-x)x,x∈(0,50]， (7分) 则了(x)=-3x(x-40), (9分) 所以F(D在(0，石)上单调递减，在（石，于）上单 当0<x<40时，∫(x)>0;当40<x≤50时， 调递增， f(x)<0, 所以f(x)在(0,40)上单调递增，在(40,50]上单 所以当g=晋时，F(0)取得最小值F(爱)- 调递减， (12分) 500(3+3): (16分) 所以当x=40时，f(x)取得最大值f(40) (60-40)×40=32000, (14分) 此时PC=10-10uan若=10-100 3 ,(18分) 所以当技术改造投人40万元时，所获得的产品的增 故观录台P位于离岸边半圆弧中点C的距离为 加值最大，最大值为32000万元。 (15分) (100-1003)m时，建造费用最小，最小费用为 13.解：(1)由题意知∠PAB=9(0<0<开).OC⊥AB, 3 500(3+√5)万元. (20分) OA=OB=0C=100.