2.4.3向量法求夹角课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

2.4.3 用空间向量研究夹角问题 1、用向量法求线线角 一般地，两条直线所成的角，可以转化为两条直线的方向向量的夹角来求得. 也就是说，若直线l1，l2所成的角为θ ，其方向向量分别是 ， ，则 A 三、新知运用 追问1：A 追问2：如何求 追问3：如何建立空间直角坐标系 A 三、新知运用 追问1：正三棱柱的定义是什么 追问2：由题意，你能画出图形吗 追问3：如何建立空间直角坐标系 图1-4-28 练2 如图1-4-28所示，在三棱柱 <m></m> 中， <m></m> 是正三角形，点 <m></m> 在 平面 <m></m> 上的射影为 <m></m> 的中点 <m></m> ，侧面 <m></m> 是边长 为2的菱形，求异面直线 <m></m> 与 <m></m> 所成角的余弦值. 课 中 探 究 5 解： 如图，连接 <m></m> ， <m></m> ，因为点 <m></m> 在平面 <m></m> 上的射影为 <m></m> 的中点 <m></m> ， 所以 <m></m> 平面 <m></m> ，又 <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ，所以 <m></m> ， <m></m> .因为 <m></m> 是正三角形， <m></m> 是 <m></m> 的中点，所以 <m></m> . 以 <m></m> 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 <m></m> ， <m></m> ， </m> ， <m></m> ,所以 <m></m> ， <m></m> .设异面直线 <m></m> 与 <m></m> 所成的角为 <m></m> ， 则 <m></m> ，即异面直线 <m></m> 与 <m></m> 所 成角的余弦值为 <m></m> . 课 中 探 究 6 求直线与直线所成角θ的余弦值的步骤： 方法归纳 （2）设直线与直线所成角为θ （3） 2、用向量法求线面角 设直线AB与平面α相交于点B，直线AB与平面α所成角为θ ，直线AB的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则 A 三、新知运用 追问1：如何建立空间直角坐标系 追问2：如何求 追问3：线面角的正弦值与直线的方向向量和平面的法向量所成的角的余弦值有何关系 A 三、新知运用 追问1：如何建立空间直角坐标系 追问2：如何求 追问3：线面角的正弦值与直线的方向向量和平面的法向量所成的角的余弦值有何关系 求直线与平面所成角θ的正弦值的步骤： 方法归纳 （2）设直线与平面所成角为θ （3） 3、用向量法求面面角 若平面α、β的法向量分别是 ， ，则平面α 与平面β 的夹角即为向量 和 的夹角或其补角. 设平面α 与平面β 的夹角为θ ，则 例3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为 A(2，0，0)，B(2，2，0)， C(0，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)． 求平面BDC1与平面ABCD所成角的余弦值． 我们知道，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形为二面角．二面角的大小可用它的平面角来度量. 4．二面角的平面角 如图，AB⊥EF，CB⊥EF，则∠ABC就是二面角 α - l - β或 A - EF - C的平面角 ． 二面角的平面角范围： 例4 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为 A(2，0，0)，B(2，2，0)， C(0，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)． 求二面角D-BC1-C的余弦值． 提示：先求出两平面的法向量，再根据公式求解. 例4 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为 A(2，0，0)，B(2，2，0)， C(0，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)． 求二面角D-BC1-C的余弦值． 结合图形，确定角的大小 求平面与平面所成角θ的余弦值的步骤： 求二面角α- l -β的平面角 γ 的余弦值的步骤： 方法归纳 （2）设平面与平面所成角为θ （3） 5. 如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求 平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值与正弦值． 练习巩固 空间角的向量求法: 设直线a与b的方向向量分别为，，平面α与平面β的法向量分别为， 求法：先求两向量夹角余弦值→设空间角为θ→下结论(取绝对值or定正负) 向量求法 图形语言 线线角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为 ， ，则 小 结： 向量求法 图形语言 线面角 设直线l 与平面α 所成的角为θ，l 的方向向量为 ，平面α的法向量为 ， 则 向量求法 图形语言 面面角 设二面角α－l－β的平面角 为θ，平面α、β的法向量为 ， ，则 $