2.4.3向量与夹角（教学课件）数学湘教版选择性必修第二册

2.4.3向量与夹角 湘教版选择性必修第二册 第2章空间向量与立体几何 学习目标 目标 1 理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面所成的角的定义 能够用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角. 重点 2 难点 3 理解空间两个向量所成的角与空间角的区别与联系. 能够用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角. 复习导入 1.如何利用向量运算来判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直平行关系？ 2.能否利用空间向量求空间夹角？ 同一平面内两条直线的夹角可由平面向量的夹角公式求出． 两条直线的夹角 问题1.两条直线的夹角范围是多少？ 问题2.当两条直线共面时，如何求其夹角？ 问题3.当两条直线异面时，其夹角范围是多少，如何求其夹角？ 复习导入 设两条异面直线 a 与 b 所成的角为 θ，它们的方向向量分别是 v1，v2；设 v1 与 v2 的夹角为φ． 两条直线的夹角 新课讲授 α b a θ φ α b a θ φ π-φ 新课讲授 6 教学流程 交流与讨论 如何利用上述关系，计算两条异面直线的夹角？ 求直线与直线所成角θ的余弦值的方法步骤： 新课讲授 例11 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点．求直线AD1与EF所成的角． 建立空间坐标系，写出两条异面直线的方向向量 典例分析 利用公式求得夹角余弦值，进而求出两条异面直线的夹角 典例分析 教学流程 交流与讨论 类比两条异面直线夹角与其方向向量的夹角的关系，你能得出直线与平面的夹角与他们的方向向量和法向量夹角的关系吗？ 直线与平面的夹角 问题4.当直线与平面平行或者在平面内时，其夹角是多少， 当直线与平面垂直时，其夹角是多少？ 新课讲授 当直线 l 与平面α平行或者在平面α内时，直线 l 与平面α所成角为0； 当直线 l 与平面α垂直时，直线 l 与平面α所成角为 ； 直线与平面的夹角 问题5. 当直线与平面相交但不垂直时，直线与平面的夹角是如何定义的？ 问题6.此时线面角的范围是多少？两个向量夹角的范围是多少？ 当直线 l 与平面α相交，但不与平面α垂直时，如图所示，直线 l 与该直线在平面α内的投影 l′ 所成的角 θ 就是直线 l 与平面 α 所成的角 新课讲授 直线与平面的夹角 问题6.此时线面角的范围是多少？两个向量夹角的范围是多少？ 新课讲授 直线与平面的夹角 新课讲授 直线与平面的夹角 新课讲授 直线与平面的夹角 新课讲授 例12 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a．求直线AB与平面A1BD所成的角 θ 的正弦值． 建立空间坐标系，写出直线的方向向量，和所需向量的坐标. 新课讲授 求出平面法向量的坐标 代入求夹角正弦的公式，求得线面角的正弦值 新课讲授 平面与平面的夹角 问题8. 二面角如何度量，其范围是多少？ 新课讲授 二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，其取值范围一般约定为[0，π]． 问题9. 两个平面所成的角范围是多少？ 两个平面相交会形成四个二面角，一般规定较小的二面角为两平面所成的角，由此可知两个平面所成角的取值范围为[0， ]． 当两个平面平行时，它们所成的角为0． 教学流程 交流与讨论 两个平面所成的角与其法向量的夹角有怎样的关系？ 新课讲授 新课讲授 例13 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为 A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)． 求二面角D-BC1-C的余弦值． 找出或求出平面法向量的坐标 新课讲授 代入向量夹角公式，求得两个平面法向量的夹角余弦值 根据图形得出二面角的余弦值 新课讲授 教学流程 交流与讨论 结合例13的解答过程，归纳运用坐标法求二面角的方法步骤. 求二面角的平面角 的余弦值的步骤： 新课讲授 课堂小结 1.异面直线所成角与其方向向量夹角的关系 2. 直线与平面所成角与其方向向量和法向量夹角的关系 3. 两个平面所成角与其法向量夹角的关系 湘教版选择性必修第二册 感谢聆听 数量积： eq \o(a,\s\up5(→))· eq \o(b,\s\up5(→))=| eq \o(a,\s\up5(→))|| eq \o(b,\s\up5(→))|cos< eq \o(a,\s\up5(→)), eq \o(b,\s\up5(→))> 夹角公式： cos< eq \o(a,\s\up5(→)), eq \o(b,\s\up5(→))>=a,\s\up5(→)) eq \f(· eq \o(b,\s\up5(→)),| eq \o(a,\s\up5(→))|| eq \o(b,\s\up5(→))|) 两条直线的夹角：θ∈[0， eq \f(π,2)] 对于上述两种情况，均有cosθ=|cosφ|=|cos< eq \o(v1,\s\up5(→)), eq \o(v2,\s\up5(→))>|= eq \f(|\o(v1,\s\up5(→))·\o(v2,\s\up5(→))|,|\o(v1,\s\up5(→))|| \o(v2,\s\up5(→))|) . eq \o(v1,\s\up5(→)) eq \o(v2,\s\up5(→)) eq \o(v2,\s\up5(→)) eq \o(v1,\s\up5(→)) 两个向量的夹角：φ∈[0，π] 直线与平面所成的角：θ∈[0， eq \f(π,2)] 两个向量的夹角：φ∈[0，π] 直线与平面所成的角：θ∈（0， eq \f(π,2)） 对于上述两种情况，均有cosθ=|cosφ|=|cos< eq \o(n1,\s\up5(→)), eq \o(n2,\s\up5(→))>|= eq \f(|\o(n1,\s\up5(→))·\o(n2,\s\up5(→))|,|\o(n1,\s\up5(→))|| \o(n2,\s\up5(→))|) . cosθ=|cosφ|=|cos< eq \o(v1,\s\up5(→)), eq \o(v2,\s\up5(→))>|= eq \f(|\o(v1,\s\up5(→))·\o(v2,\s\up5(→))|,|\o(v1,\s\up5(→))|| \o(v2,\s\up5(→))|) . sinθ=|cosφ|=|cos< eq \o(v,\s\up5(→)), eq \o(n,\s\up5(→))>|= eq \f(|\o(v,\s\up5(→))·\o(n,\s\up5(→))|,|\o(v,\s\up5(→))|| \o(n,\s\up5(→))|) . cosθ=|cosφ|=|cos< eq \o(n1,\s\up5(→)), eq \o(n2,\s\up5(→))>|= eq \f(|\o(n1,\s\up5(→))·\o(n2,\s\up5(→))|,|\o(n1,\s\up5(→))|| \o(n2,\s\up5(→))|) . $$