陕西镇安中学2026届高三下学期模拟预测数学试题

数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 h 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 弥 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0<x≤1}，则AUB= 如 A.(0,1) B.(-o∞，1] C.(-1,1) D.(-1,1] 2.若复数z=(1一2i)2,则x的虚部是 A.-1 B.2 C.-2 D.-21 3.已知圆O:(x一1)2+y2=r2,则“点M(2,1)在圆O外”是“点N(0,2)在圆O外”的 封 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4十c2-a2=-2c,b=2,则A= 爵 A号 B爱 c D号 5.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(4)=0,且f(x)在(0，+∞)上单调递增，则不等式 f(x)>0的解集为 A.(-4,4) B.(-∞，-4)U(0,4) 线 C.(-4,0)U(4,+∞) D.(-∞，-4)U(4,十∞) 6.在陕西汉中某明清古民居的修缮中，发现了一个用于梁架承重的木制方斗，其形状可被视为 正四棱台.经实测，该方斗的上口边长为16cm,下口边长为12cm,侧棱长为45cm,若忽略 斜 该方斗的厚度，则这个方斗的容积为 A.1184√2cm B.1184√3cm C.1776cm D.1184cm3 7已知锐角e满足s血8=号，则tan(受十》 B.3 C.2 D.5 【高三数学第1页（共4页）】 8.某公园景观道上有如图所示的五个花坛，园艺师傅计划选用一串红、月季、矮牵牛、薰衣草、维 菊和郁金香这六种花卉进行栽种，每个花坛只能栽种一种花卉，要求相邻两个花坛花卉种类 不同，其中恰有两个花坛栽种雏菊，则不同的栽种方案种数为 A.505 B.605 C.625 D.695 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知随机变量N(,9),y广B(16,p).若P(g≤)=号，B=E,则 1 A.=4 B.p=4 C.D=9Dm D.D(27+1)=6 0.设F为双曲线C:乙一1(a>0,b>0)的左焦点，经过原点且斜率大于0的直线1交C 于A,B两点，AF与x轴垂直，∠AFB行，则 A.IAF= a B.C的离心率为3 C直线1的斜率为2y3 3 D.C的渐近线方程为)y= 2 11.已知函数f(x)=2ex-2e一x3+12x,则 A.f(2)>0 B.f(x)有4个极值点 C.f(x)在(2,3)上有零点 D.f(x)在(-1,1)上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.抛物线x2=一的焦点到准线的距离为△ 13.在等腰直角△ABC中，D为斜边AB的中点，点P在边BC上，BC=4,则PA·PD的最小 值为▲ 14已知函数fx)=sin(ax-君)w>0,关于x的方程[f(x)]P=4[f(x)门在(0，x)上恰有 14个不同的实数根，则ω的取值范围为 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 为了解某社区全民健身开展情况，某调查中心统计了该社区2016~2025年每年用于健身设 施维护、更新的资金投入x(单位：万元)与当年参与健身的居民总人次y(单位：千人次)，数 据如下： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 x万元 18 20 19 21 22 17 20 19 21 23 y/千人次 32 36 34 38 40 30 37 35 39 42 (1)求y关于x的样本相关系数r,并据此判断y与x的线性相关性强弱；(r的值精确到 0.01) (2)若该社区2026年计划投入健身设施维护、更新的资金为25万元，求y关于x的线性回 归方程，并预测该社区2026年参与健身的居民总人次 2(x-x)(y:一y） 附：(i)在线性回归方程y=x十a中，b= = a,- ,a=y-bx; 含(x-)0y-) (ⅱ)样本相关系数r ，若|r>0.9,则可判断y与x的线 √2(x,-)√含y:-) 性相关性很强； ()2(x-z)0:-y)=60,2(x,-z2=30,2(,-y)=12.1v36≈60.52 16.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC,底面ABC是等边三角形，O 为AC的中点，AA1=AB=6,A1O=3√3. (1)证明：AC⊥平面A,OB. (2)求二面角A1BC-B1的正弦值 A B 【高三数学第3页（共4页）】 17.(15分) 已知函数f(x)=2lnx-a.x2十x(a∈R). (1)当a=2时，讨论f(x)的单调性： (2)若Vx∈(1，十∞)，f(x)<-x,求a的取值范围. 18.(17分) 弥 已知正项等比数列{an}满足a1=1,且20，a3,3a2成等差数列，正项数列{bn}的前n项和为 Tn,Tn=arbn. (1)求{am}的通项公式. 6>+ (2)证明： 1 4T4+ 2n+3 (3)记数列 b.ttb.S:5 2(2n-1)(2n+1)wa 的前n项和为S证明：b。 4(2n+1)2m 封 19.(17分)》 设椭圆C:名十(0<b<6)的左，右顶点分别为A1,A,B为C上异于顶点的任意 点，且直线BA,与BA:的斜率之积为一2·作C的两条互相垂直的切线，且这两条切线相 交于点D,切点为P,Q. (1)求C的方程， (2)证明：点D的轨迹是圆. 线 (3)过原点O作OM⊥DQ交C于M,作ON⊥DP交C于N,作OH⊥MN,垂足为H,设 点H的轨迹围成的封闭图形的面积为S1,点D的轨迹围成的封闭图形的面积为S2,试 问S2一S1是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【高三数学第4页（共4页）】 数学参考答案 1.DAUB=(-1,1]. 2.C根据题意可得=一1十2i,之=一1一2i,则：的虚部是一2. 3.B若点M(2,1)在圆O外，则0<r2<2.若点N(0,2)在圆O外，则0<r2<5.故“点M(2, 1)在圆O外”是“点N(0,2)在圆O外”的充分不必要条件. 1C由余弦定理得cosA--1中。-产-肉为A∈0，，所以A 2bc 4c 3 5.C根据题意可得f(x)在(-∞，0)上单调递增，且f(一4)=0，所以当-4<x<0或x>4 时，f(x)>0.故不等式f(x)>0的解集为（一4,0）U(4,+∞). 6.A画出该正四棱台的直观图，如图所示，易得B1D1=16√2cm,BD A =12√2cm,过B作BH⊥B1D1,垂足为H,则BH即为该正四棱台B 的高，B,H=16E,12E=2V2,BH=√45)-(2y=6. 2 则这个方斗的容积V=号×(162+12+V16×12)×6巨- 11842cm3. 2 cos a 7.C由题意得sina=2sing 2sincos_2an号 2 sim受+cos号tan号十+1 am号-3.因为e为锐角，所以0<m号<am兰-1.得an号一子，则am(号+)- 1m号+1+1 =2 1m号13 8.B恰有两个花坛栽种雏菊，共有4×5×5×4+5×5×5+5×4×4=605种不同的栽种方案. 9.AB因为~N(,9),P(≤4)=2，所以=4，A正确.由E==4,得E7=4,则16p 4,解得力=，B正确D=16×宁×是-3，D=9,所以D=3Dg.C错误.D(27+1)= 4D7=12,D错误， 10.ABC设C的右焦点为F2,连接BF2(图略).根据对称性可得BF2与x轴垂直，因为AF 与：销垂直，∠AFB号，所以∠BF,=T音-答易得1AF-BF,-公，A正确 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 -am吾得B6=2ac,即月c2-月a=2ac,所以5c+a)c-5a)=0.得 FF2 2ac c=3a,所以C的离心率e=C=3,B正确.b=√2一a7=2a,所以C的渐近线方程为 62162 y士：D错误A-o,-台B(名).所以直线/的斜家-是名-产 ac√5a2 2 3,C正确。 11.ACDf(2)=2e2-2e2-8+24>16-2e2>0,A正确. f(3)=2e3-2e3-27+36<11-2e3<0,所以f(x)在(2,3)上有零点，C正确. f'(x)=-2ex-2e-3x2+12,当x∈(-1,1)时， 2(e+e)∈[4,2e1+2e),-3.x2+12∈(9,12]，因为2e1+2e<9,所以f'(x)>0在 (-1,1)上恒成立，所以(x)在(-1,1)上单调递增，D正确.令函数h(x)=f'(x) -2ex-2e2-3.x2+12,则h(-x)=-2e-2e2-3.x2+12=h(x),所以h(x)为偶函数， h'(x)=2ex-2e-6.x,令函数g(.x)=h'(.x)=2e-2e-6x,则g'(.x)=-2ex-2e 一6，令函数w(x)=一2ex一2e-6,则w'(x)=2ex一2e2,当x>0时，w'(x)<0,所以 w(x)在(0，十∞)上单调递减，即g'(x)在(0，十∞)上单调递减，所以g'(x)<g'(0)=一10 <0,则g(x)在(0，十o∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)=0,即h'(x)<0,所以h(x)在(0， +∞)上单调递减，则h(x)在（一∞，0）上单调递增，即f'(x)在（一∞，0）上单调递增，在(0， +∞)上单调递减，因为f(-2)=-2e-号-3×4+12<0.f(0)=-1+12=8>0, 2 f'(2)='(一2)<0，所以f(x)在(-2,0)上有1个极值点，在(0,2)上有1个极值点，所以 ∫(x)只有2个极值点，B错误 1 12.8 由2-一得一2=一青，解得D=名即抛物线y=-4女的焦点到准线的距离 的 13.7以C为坐标原点，CB,CA所在直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标1 系，如图所示，则A(0,4),D(2,2),设P(x,0)(0≤x≤4)，则PA=(-x,A 4),PD=(2-x,2),所以PA·PD=-x(2-x)+8=x2-2x+8=(x 1)2+7.当x=1时，PA·PD取得最小值7. 14.(号.5]关于x的方程[r)]=4(x即为f)]4[f)° 1)=0,得f(x)=0或f(x)=士分由x∈(0，)，得mx-晋∈(-否，wm-),因为关于x 的方程[f(x)]2=4[f(x)]4在(0，π)上恰有14个不同的实数根，所以根据正弦函数的图象 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 (c,-元)(y,-) 60 60 15.解：(1)依题意得r ≈0.99，…… /30×/122.1w3663 …4分 因为0.99>0.9，所以y与x的线性相关性很强， …5分 (2)这10年每年用于健身设施维护、更新的资金投入的平均数x= 18+20+19+21+22+17+20+19+21+23=20,… …6分 10 这10年每年参与健身活动的居民总人次的平均数y= 32+36+34+38+40+30+37+35+39+42-36.3.…7分 10 含cx4)(vp 602， 8分 2x- 30 a=36.3-2×20=-3.7, …9分 所以线性回归方程为y=2x一3.7.… …10分 将x=25代入y=2x-3.7,得y=2×25-3.7=46.3, 即预测该社区2026年参与健身的居民总人次约为46.3千人次 …13分 16.(1)证明：因为OA号+OA2=(3√3)2+32=AA,所以AO⊥AC. …2分 因为底面ABC是等边三角形，O为AC的中点，所以OB⊥AC …3分 因为A1O∩OB=O,所以AC⊥平面A1OB.…5分 (2)解：因为A,O⊥AC,平面AA,C1C⊥平面ABC,平面AA,C1C∩ B 平面ABC=AC,所以AO⊥平面ABC.…6分 以O为坐标原点，OB,OC,OA1所在直线分别为x,y,x轴，建立空 间直角坐标系，如图所示，则A1(0,0,3√3)，B(33,0,0),C(0,3, 0),C1(0,6,33),… …7分 则A1B=(35,0,-35),BC=(-35,3,0),CC=(0,3,35).…8分 m·A1B=33x-35之=0， 设平面A1BC的法向量为m=(x,y,之)，则 …9分 m·BC=-35x+3y=0, 令y=3,得m=(1,W3,1).… …10分 n·CC1=3b+33c=0, 设平面BCC1B1的法向量为n=(a,b,c),则 n.B元=-33a+36=0, …11分 令b=5,得n=(1,W5,-1).… 12分 设二面角A1-BC-B,的平面角为0，易得0∈(0，受)， 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 因为cos0=osm,n>1= 1+3-1 mln√1+3+IX√/+3+元5' …14分 所以二面角A1BC-B:的正弦值为5 …15分 1.解：1当a=时)=2n12+,易得)的定义域为0，+o.…1分 1 'x)=2-x+1 …2分 _2-x2+x=-(x+1)(x-2) …3分 令f'(.x)>0,得0<x<2,令∫(x)<0,得x>2,…5分 所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，十∞)上单调递减. …7分 (2)由f(x)<-x对x∈(1，十∞)恒成立，得2lnx-ax2+2x<0对x∈(1，十∞)恒成立， 即a>2mx+2对x∈1，十0)恒成立. x2 …8分 设函数gc)=2血c十2工(x>1),则g(x)=22二1血(x>1D,…9分 设函数h(x)=2-2.x一4nx(x>1),易得h(x)在(1，+o∞)上单调递减，所以h(x)<h(1) =0,…11分 所以g'(x)<0,… …12分 则g(x)在(1，十∞)上单调递减，… …13分 得g(x)<g(1)=2,…14分 所以a≥2，即a的取值范围为[2，十∞).…15分 18.(1)解：设数列{an}的公比为q(q>0).因为20，a3,3a2成等差数列，所以2a3=3a2十20， …1分 3g-20=0,獬得g=4或一号（舍去.……… 所以an=4”-1.。 5分 (2)证明：由Tn=a,b,得Tn=4”-1b,Tw+1=4"b+1,两式相减，得b+1=4"b+1-4”-b, …7分 4”1 …8分 则 4”-1 1+14-1)+ 444】 1+11+1 4"-1 4”-1 44×4”-444+· …10分 (3)证明：因为 2n+3 2m+3 (2n-1)(2n+1)Wa(2n-1)(2n+1)2(2n-1D2"(2m+1)2m,: ……13分 1 1 1 1 1 所以5,1-3+3文25X2+5X27X2++(2n-1)22n+1D21 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 1 …15分 (2n+1)2” 所以2出+6.s.=6+5> 1 5 1 1 bn 1++1-2n+12=是2n+D2+> 4 1 (2n+1)2" …17分 19.(1)解：设B(xy)(xy≠0)，由题意得A1(-√6,0)，A2(√6,0). …1分 因为直线BA,与BA:的斜率之积为一2，所以Y y 1 …3分 x+√6x-√6 2’ F着+苦=1(cy≠0).所以C的方程为号+ 1. …4分 (2)证明：设D(xoyo).当DP,DQ的斜率都存在时，设DP的方程为y一yo=k1(x一xa), DQ的方程为y一yo=k2(x一x). [y一yo=k1(x-x0), (1+2k)x2+4k(yo-kixo)x+2(kix+y-2kxoyo-3)= 0 …5分 由△=[4k1(y0-k1xo)]2-8(1+2k)(kx8+y6-2k1x0yo-3)=0, 得(6-x6)k好十2x0y6k1十3-y后=0.…7分 同理可得(6-x)k号十2x0y0k2十3一y=0,… ................ 8分 所以k1,k2是关于k的方程(6-x)k2+2.xoyk+3-y=0的两个根， 因为k1k2=一1，所以 折以3二y6=一1.即x8十y=9.…9分 6-x8 当DP或DQ的斜率不存在时，点D的坐标为（一√6，一3）或（一6,3）或(，一3)或 (6,√5)， 此时点D在圆x2十y2=9上，所以点D的轨迹是圆.…10分 (3)解：设直线OM与DQ交于点T,直线ON与DP交于点R, 易得四边形OTDR为矩形，所以OM⊥ON,…11分 所以Sm=号1 MIION1=号1 MNIIOHI,即1OM1ION1=MN1OH, IMN2 IOM2+ION21 1 所以OH=1OM1ON=1OM1ON?=1OMT+1ONT: …12分 当直线OM,ON的斜率都存在时，设OM的方程为y=1,则ON的方程为y=一 , y=tx, 1,解得1+2r则-127所以1OM-61, 6 612 1+2/2,…13分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 1+(-)门 6(1+t2) 同理可得|ON|2= 2+t2 …14分 1+2-2)月 1 1 11+2t2+2+t21 所以OHT=OMT+1ON下 6(1+t2) =2,0H2-2,…15分 当直线OM或0N能斜率不存有时，0-Xg-反OH=-2.所以点H的轨迹为 /6+3 以(0,0)为圆心，√2为半径的圆.…16分 故S2一S1=9π一2π=7π，是定值. …17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】