第2章一元二次方程题型突破 （27题型） 2025-2026学年浙教版八年级下册

第2章一元二次方程题型突破2025-2026学年浙教版 八年级下册（27题型） 题型1：一元二次方程的识别 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2x﹣2＝3 B．x2＝2x C．x+y＝2 D．+x＝3 2.下列四个方程①x2﹣9=0；②（2x+1）（2x﹣1）=0；③x2=0；④=1中，不是一元二次方程的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 3.下列方程是一元二次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2：根据一元二次方程的定义求参 1.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知方程（2﹣m）x|m|﹣x+3＝0，当m＝　 时，是关于x的一元二次方程． 3．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 题型3：一元二次方程的一般形式 1.关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 2.方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4 3.写出一个二次项系数为1，一次项系数为，常数项为的一元二次方程是 ．（用一般形式表示） 题型4：根据一元二次方程各系数的值求字母的值 1.关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 2.关于x的一元二次方程中不含x的一次项，则此方程的解为 ． 3.若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 题型5：根据一元二次方程的解求参数 1．若关于x的方程x2﹣kx+2＝0的一个根是1，则k的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 2.已知是方程的解，则________． 3.一元二次方程+px-2=0的一个根为2，则p的值________． 题型6：由一元二次方程的解求代数式的值 1.若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2＝0的一个根是x＝1，则代数式m+n的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则代数式1﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 3．已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则（a+b）2025的值为 　 　 ． 题型7：根据一元二次方程的解求另一方程的解 1.若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（  ） A． B． C． D． 2.若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3.若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于x的方程的解是 ． 题型8：直接开平方法解一元二次方程 1.若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是(   ) A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0 2.新定义：．若，则的值为 ． 3.解方程：． 题型9：配方法解一元二次方程 1.若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 2．一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 　1　 ． 3．用配方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0． 题型10：由根的判别式判断根的情况 1．方程根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 2. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 3.已知关于的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两根之和小于0 D．两根之积大于0 题型11：由一元二次方程根的情况求取值范围 1．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为______． 题型12：公式法解一元二次方程 1.在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 2.如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0 3.用公式法解方程： (1)；(2)． 题型13：因式分解法解一元二次方程 1.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3） C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3） 2.若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程x2﹣7x+10＝0，则此三角形的周长为（　　） A．8 B．11 C．8或10 D．8或11 3.解方程 (1)(2) 题型14：换元法解一元二次方程 1.已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B． C．7或 D．或3 2.若，则____． 3.关于的方程的解是，（、、均为常数，）． 问题： （1）关于的方程的根是 ； （2）关于的方程的根为 ． 题型15：不解方程求两根之和与两根之积 1.已知方程x2+2x+1＝0的两个实数根分别是m，n，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．2 2.已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若a，b是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 题型16：已知方程的一根求另一个根 1.关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 2.关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（　　） A．3 B．－2 C．－3 D．－4 3.已知关于x的一元二次方程ax2+2ax+k+2＝0有两个实数根． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）当a＝1时，求实数k的取值范围． 题型17：已知两根求一元二次方程 1．写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　 　 ． 2．请写出一个根为3，另一个根满足﹣2＜x＜2的一元二次方程　 　 ． 3.解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出的两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为﹣9或﹣1，那么正确的方程为（　　） A．x2﹣10x+9＝0 B．x2+10x+9＝0 C．x2﹣10x﹣9＝0 D．x2+10x﹣9＝0 题型18：利用根与系数的关系求代数式的值 1.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D．2 2.已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 3．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求的值． 题型19：已知代数式的值求参数 1.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（　　） A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2 2.若、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为______． 3．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 题型20：判别式和根与系数的关系综合问题 1.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值． 2.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 3.已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 题型21：根与系数的关系与几何问题 1.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣3＝0的两个根为a，b． (1)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值； (2)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为4，求m的值． 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 3.已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根． （1）若AB的长为6，求m的值； （2）m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长． 题型22：传播问题 1.一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（    ） A．x＋（x＋1）x＝36 B．（x＋1）2＝36 C．1＋x＋x2＝36 D．x＋（x＋1）2＝36 2.流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么所列方程为 ． 3.“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 题型23：循环问题 1.一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝66 B．＝66 C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66 2.某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3.九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学． 题型24：变化率问题 1.2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2.小杰将元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入银行．若存款的年利率为，这样到期后账户里有元，由题意可列方程： ． 3.为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式．某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为1000千克，销售均价为30元/千克．枇杷的销售量为2000千克，销售均价为20元/千克．第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同．枇杷的销售量比第一季度增加了，销售均价比第一季度减少了．若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度樱桃和枇杷的销售总金额相同，求m的值． 题型25：图形面积问题 1.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（    ） A． B． C． D． 2．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________． 3.有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？ 题型26：动态几何问题 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（　　） A．2s B．3s C．4s D．5s 2.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　 　s后，P，Q两点之间相距25cm． 3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）． （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ 题型27：销售问题 1.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加 株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 2．某菜农在2025年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏____天． 3.个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤4元的价格则进红橙若干斤，根据市场预测，该红橙每斤售价5元时，每天能售出500斤，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10斤．为了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的． (1)设涨价x元，则每天的销售量为______斤； (2)请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元． 【答案】 第2章一元二次方程题型突破2025-2026学年浙教版 八年级下册（27题型） 题型1：一元二次方程的识别 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2x﹣2＝3 B．x2＝2x C．x+y＝2 D．+x＝3 【答案】B 2.下列四个方程①x2﹣9=0；②（2x+1）（2x﹣1）=0；③x2=0；④=1中，不是一元二次方程的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 3.下列方程是一元二次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 题型2：根据一元二次方程的定义求参 1.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．已知方程（2﹣m）x|m|﹣x+3＝0，当m＝　 时，是关于x的一元二次方程． 【答案】﹣2． 3．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 【答案】﹣1． 题型3：一元二次方程的一般形式 1.关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4 【答案】C 3.写出一个二次项系数为1，一次项系数为，常数项为的一元二次方程是 ．（用一般形式表示） 【答案】 题型4：根据一元二次方程各系数的值求字母的值 1.关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 2.关于x的一元二次方程中不含x的一次项，则此方程的解为 ． 【答案】 3.若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 【答案】5 题型5：根据一元二次方程的解求参数 1．若关于x的方程x2﹣kx+2＝0的一个根是1，则k的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 【答案】D． 2.已知是方程的解，则________． 【答案】-6 3.一元二次方程+px-2=0的一个根为2，则p的值________． 【答案】-1 题型6：由一元二次方程的解求代数式的值 1.若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2＝0的一个根是x＝1，则代数式m+n的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【答案】C． 2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则代数式1﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【答案】D． 3．已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则（a+b）2025的值为 　 　 ． 【答案】﹣1． 题型7：根据一元二次方程的解求另一方程的解 1.若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 2.若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 3.若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于x的方程的解是 ． 【答案】或 题型8：直接开平方法解一元二次方程 1.若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是(   ) A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0 【答案】B 2.新定义：．若，则的值为 ． 【答案】或 3.解方程：． 【答案】，． 【详解】解：， 开方得， ∴或， ∴，． 题型9：配方法解一元二次方程 1.若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 【答案】C． 2．一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 　1　 ． 【答案】1． 3．用配方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0． 【答案】解：， ， ， ， ， 所以，． 题型10：由根的判别式判断根的情况 1．方程根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 2. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 3.已知关于的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两根之和小于0 D．两根之积大于0 【答案】C 题型11：由一元二次方程根的情况求取值范围 1．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 2．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为______． 【答案】1 题型12：公式法解一元二次方程 1.在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0 【答案】A． 3.用公式法解方程： (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∴， ∴ 题型13：因式分解法解一元二次方程 1.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3） C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3） 【答案】C． 2.若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程x2﹣7x+10＝0，则此三角形的周长为（　　） A．8 B．11 C．8或10 D．8或11 【答案】B． 3.解方程 (1)(2) 【答案】(1)，， (2)， 【详解】（1）解：， 解得：，； （2）解：整理，得：， 因式分解，得：， 即：或， 解得：，． 题型14：换元法解一元二次方程 1.已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B． C．7或 D．或3 【答案】A 2.若，则____． 【答案】 3.关于的方程的解是，（、、均为常数，）． 问题： （1）关于的方程的根是 ； （2）关于的方程的根为 ． 【答案】 ， ， 【详解】解：（1）∵方程的解是，， ∴设，则可化为， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：，． （2）设，则可化为， 即， ∵关于x的方程的解是，， ∴，，即， ∴， 解得：． 故答案为：，． 题型15：不解方程求两根之和与两根之积 1.已知方程x2+2x+1＝0的两个实数根分别是m，n，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．2 【答案】A． 2.已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 3．若a，b是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 题型16：已知方程的一根求另一个根 1.关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 【答案】B 2.关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（　　） A．3 B．－2 C．－3 D．－4 【答案】A 3.已知关于x的一元二次方程ax2+2ax+k+2＝0有两个实数根． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）当a＝1时，求实数k的取值范围． 【答案】（1）x2＝﹣4； （2）k≤﹣1． 【详解】（1）设方程的另一个根为x2， 则， ∴x2＝﹣4； （2）当a＝1时，方程为x2+2x+k+2＝0， 由题意可得：4﹣4（k+2）≥0， 解得k≤﹣1． 题型17：已知两根求一元二次方程 1．写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　 　 ． 【答案】x2﹣x﹣6＝0． 2．请写出一个根为3，另一个根满足﹣2＜x＜2的一元二次方程　 　 ． 【答案】x2﹣4x+3＝0． 3.解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出的两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为﹣9或﹣1，那么正确的方程为（　　） A．x2﹣10x+9＝0 B．x2+10x+9＝0 C．x2﹣10x﹣9＝0 D．x2+10x﹣9＝0 【答案】A 题型18：利用根与系数的关系求代数式的值 1.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D．2 【答案】A 2.已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】3 3．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：当时，原方程为， ∵原方程的两实数根分别为和， ∴， ∴． 题型19：已知代数式的值求参数 1.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（　　） A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2 【答案】A． 2.若、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为______． 【答案】 3．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根． ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∵， ∴． 题型20：判别式和根与系数的关系综合问题 1.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×2m ＝m2+8m+16﹣8m ＝m2+16＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m， ∵x1+x2+x1x2＝m2﹣4m， ∴﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m， 解得m＝1或4， 即m的值为1或4． 2.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根， ∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0， 解得k≤， 即k的取值范围是k≤； （2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝k﹣2， ∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1， ∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1， 解得k＝3， 即k的值是3． 3.已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m2﹣9）＝4m2﹣4m2+36＝36＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根． （2）解：x2﹣2mx+m2﹣9＝0，即（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）＝0， 解得：x1＝m+3，x2＝m﹣3． ∵x1+x2＝6， ∴2m＝6， 解得：m＝3． 题型21：根与系数的关系与几何问题 1.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣3＝0的两个根为a，b． (1)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值； (2)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为4，求m的值． 【答案】（1）∵a，b分别为矩形的两条对角线的长 ∴a＝b ∴Δ＝(﹣6)2－4(m-3)＝0 m＝12 （2）根据根与系数关系 得：a·b＝m-3 ∵S菱形＝a·b＝4 ∴(m-3)＝4 ∴m＝11 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 【答案】解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4（3m+6）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0， ∴不论实数m取何值，即方程总有实数根； （2）设方程的两个根为a，b， 则：a+b＝m+5，ab＝3m+6， 由题意可得：a2+b2＝25， ∴（a+b）2﹣2ab＝25， ∴（m+5）2﹣2（3m+6）＝25， 解得：m＝2或m＝﹣6， 当m＝﹣6时，a+b＝﹣6+5＝﹣1＜0，不合题意，舍去． ∴m＝2． 3.已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根． （1）若AB的长为6，求m的值； （2）m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】解：（1）∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，AB的长为6， ∴把x＝6代入x2﹣8x+m＝0， 得：62﹣8×6+m＝0， 解得：m＝12； （2）由条件可知方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4m＝0， ∴m＝16， 此时方程为x2﹣8x+16＝0， ∴x1＝x2＝4， ∴AB＝AD＝4，即菱形的边长为4； 答：m＝16，平行四边形ABCD是菱形，菱形的边长是4． 题型22：传播问题 1.一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（    ） A．x＋（x＋1）x＝36 B．（x＋1）2＝36 C．1＋x＋x2＝36 D．x＋（x＋1）2＝36 【答案】B 2.流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么所列方程为 ． 【答案】 3.“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人 (2)第三轮将又有448人被传染 【详解】（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得 ， 解得或(舍)． 答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有64人感染． 那么第三轮被传染的人数为人． 答：第三轮将又有448人被传染． 题型23：循环问题 1.一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝66 B．＝66 C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66 【答案】A 2.某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 3.九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学． 【答案】12 题型24：变化率问题 1.2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 2.小杰将元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入银行．若存款的年利率为，这样到期后账户里有元，由题意可列方程： ． 【答案】 3.为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式．某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为1000千克，销售均价为30元/千克．枇杷的销售量为2000千克，销售均价为20元/千克．第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同．枇杷的销售量比第一季度增加了，销售均价比第一季度减少了．若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度樱桃和枇杷的销售总金额相同，求m的值． 【答案】m的值为12.5 【详解】解：依题意得： ， 令，则原方程可化为： ， 整理得：， 解得：，， ∴，（不合题意，舍去）． 答：m的值为12.5． 题型25：图形面积问题 1.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________． 【答案】x(x+12)=864 3.有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？ 【答案】解：设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），由题意得x（35﹣2x）=150 解这个方程；x2=10 当养鸡场的宽为时，养鸡场的长为20m不符合题意，应舍去， 当养鸡场的宽为x1=10m时，养鸡场的长为15m． 答：鸡场的长与宽各为15m，10m． 题型26：动态几何问题 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（　　） A．2s B．3s C．4s D．5s 【答案】B 2.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　 　s后，P，Q两点之间相距25cm． 【答案】10 3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）． （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ 【答案】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得： ×2t（6﹣t）=××6×8， 解得：t=2或4． 答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一． （2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得： （6﹣x）2+（2x）2=36， 解得：x=0（舍去）或x=． 答：秒时，P、Q相距6厘米． 题型27：销售问题 1.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加 株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2．某菜农在2025年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏____天． 【答案】5 3.个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤4元的价格则进红橙若干斤，根据市场预测，该红橙每斤售价5元时，每天能售出500斤，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10斤．为了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的． (1)设涨价x元，则每天的销售量为______斤； (2)请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元． 【答案】(1) (2)售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元 【详解】（1）解：由题意得，涨价x元，则每天的销售量为斤， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 当时，售价为元，元，，符合题意； 当时，售价为元，元，，不符合题意； ∴红橙售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元． 学科网（北京）股份有限公司 $