重难点专题03 一元二次方程的实际应用10大题型（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

重难点专题 一元二次方程的实际应用 重难点一 增长率问题 1）核心公式：（重中之重，必记）；a = 初始量（基础量），b = 最终量，x = 增长率（下降率用“-”），n = 增长（下降）次数。 1．（25-26九年级下·辽宁抚顺·月考）2025年辽宁省首届青少年数字阅读节在沈阳举办．某校为响应活动号召，开放校园数字图书馆．据统计，4月份访问数字图书馆的人次为150次，访问人次逐月递增，到6月份累计访问人次达546次，且访问人次的月平均增长率相同．访问人次的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽阜阳·一模）为了准备校园篮球赛，小明进行了投篮训练，第一天进行200次投篮，第三天进行288次投篮，请问小明第二天和第三天投篮次数的平均增长率是多少？设小明第二天和第三天投篮次数的平均增长率是，则可列方程为：________． 3．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）随着AI智能机器人的不断普及，一些工厂的流水线逐步用智能机器人取代人工进行操作服务．为了提高企业智能化操作水平，某企业提出到2027年底实现全产业链智能机器人工作岗位率达到的目标． (1)已知截至2025年底，该企业智能机器人工作岗位率只有，要实现这个目标，从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到多少？（参考数据：） (2)照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可否超过？请说明理由． 4．（2026·安徽阜阳·一模）已知一件商品原售价为120元/件，商场计划对其进行降价促销，每件先降价11.8元，销量不理想，又每件降价11元，销售异常火爆．若视作平均每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 重难点二 传播问题 1）核心模型：1人传播，每人每次传播x人，n次后总人数为 ； 2）简化公式：传播n次后，总感染（传播）人数 =（直接套用，无需分步计算）。 5．（25-26九年级上·山东聊城·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·江苏盐城·月考）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 7．（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 8．（25-26九年级上·江西南昌·月考）感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有100人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同． (1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？ (2)若传播得不到有效的控制，3轮传播后，被感染的人数会不会超过800人？ 重难点三 销售利润问题 1）核心关系式：总利润 = 单件利润 × 销售量；单件利润 = 售价 - 进价； 2）销售量：售价每涨（降）m元，销量减（增）n件，用“基础销量 ± 变化量”表示。 9．（2026·山西晋城·一模）某家电商铺售卖符合1级能效标准的节能台灯，每盏台灯的进价为40元，当售价定为每盏50元时，每天可售出500盏台灯．经市场调研发现，该台灯每盏售价每上涨1元，每天的销售量就会减少10盏．若设此款台灯每盏上涨x元（x为正整数），且该商铺每天销售该台灯的总利润为8000元，则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·山西阳泉·月考）一款衬衫每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，商店决定降价销售，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，那么平均每天可多售出件．每件衬衫降价_______元时，平均每天盈利元． 11．（2026·山东菏泽·一模）某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元． (1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案） (2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 12．（2026九年级下·重庆·专题练习）2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵1.5元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成，两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），礼盒中有个肉松青团，礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，，两种礼盒的销量分别为盒、盒，，两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 13．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）某品牌手机，去年每台的售价（元）与月份之间满足关系，去年的月销量（万台）与月份之间成一次函数关系，其中第一季度的销量情况如表： 月份（） 1月 2月 3月 销售量（） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 (1)求关于的函数关系式； (2)求去年12月份的销售量与销售价格； (3)今年1月份比去年12月份该品牌手机的售价下降的百分率为，销售量下降的百分率为，今年2月份，经销商对该手机以1月份价格的八折销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台，销售额为6400万元，求的值． 14．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）“山西博物馆”以每件元的批发价进了一批纪念品，国庆期间让馆内多间商店销售，这些商店经第一天销售调查可知：每件定价元，每天能卖出件，若每件定价每上涨元，其销售量将减少件． (1)若每件纪念品售价为元，求这些商店每天销售这种纪念品的利润； (2)这些商店为了实现每日共有：元的销售利润，并使消费者得到实惠，每件纪念品的售价应上涨多少元？此时售价为多少元？ 重难点四 行程问题 1）核心公式：路程 = 速度 × 时间（），结合一元二次方程多为“相遇、追及、往返”问题； 2）关键：找出路程关系（如相遇时总路程=两车路程和，追及时路程差=初始距离）。 15．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 16．（25-26九年级上·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 17．（25-26九年级上·福建三明·月考）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 重难点五 工程问题 1）核心思想：将总工程量看作“1”，单人（队）工作效率 = 1 ÷ 单独完成时间； 2）核心关系式：合作效率 × 合作时间 = 完成工程量（通常为1）。 18．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 19．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 20．（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 重难点六 数字问题 1）核心：两位数 = 十位数字×10 + 个位数字；三位数 = 百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字。 21．（25-26九年级上·河南南阳·期末）三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 22．（2026·辽宁鞍山·二模）小明给发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？给出的答案是______． 23．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 24．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学是一位诗词爱好者，在学习了《一元二次方程及其应用》这一章后，改编了苏轼的词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”其中蕴含着一道数学问题：周瑜在30岁时已经担任东吴的都督，去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．求周瑜去世时的年龄． 重难点七 几何图形问题 1）核心：结合图形面积、周长公式（如长方形、正方形、三角形、圆的面积公式）； 2）注意：边长、半径为正数，解出x后验证是否符合图形实际（如边长不能为负，三角形两边之和大于第三边）。 25．（2026·黑龙江·一模）如图为一个“”形水槽的横截面，外框与内框均为矩形，外框矩形的长为，宽为，内框矩形的面积为，水槽三面厚度相等，设厚度为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）2025年11月，世界首座千米级双层斜拉一悬索协作体系公铁大桥——安徽铜陵长江三桥正式通车．铜陵长江三桥是《长江干线过江通道布局规划（2020—2035年）》中规划的过江通道之一，是安徽省重大基础设施建设项目，如图，某摄影爱好者拍摄一张长为、宽为的大桥全景照，现要在照片四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为的挂图．设照片四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级下·河南周口·月考）某小区规划在一块长为20米，宽为12米的矩形空地上修建两条宽度相同的互相垂直的道路，剩余部分种植花草，使种植花草的面积为216平方米．设道路的宽度为x米，则可列方程为_________． 28．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）庐阳区城管部门推进“口袋公园”建设，提升居民生活幸福感．某口袋公园外围规划为长方形，长30米，宽18米，内部设计等宽步行道，剩余区域为绿化种植区．工作人员发现，步行道宽度直接影响绿化面积，若绿化种植区总占地面积为220平方米，求步行道的宽． 29．（2026·广东深圳·一模）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 30．（25-26九年级上·湖南永州·期末）2025湖南省足球联赛（“湘超”联赛）决赛将在长沙贺龙体育场进行，万众瞩目，超100万人标记“想看”．真是一票难求，为满足球迷们的需求，各市县同时开辟了第二现场，在足球场内挂上了大屏，摆放了凳子，某市为了更好地维持秩序，在足球场内预留了三条同样宽的过道（如图）．已知足球场的长为100米，宽为65米，要保证观众座位的面积达到平方米，则过道的宽应该设计多少米？ 31．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 重难点八 动态几何问题 1）核心：抓住“动态中的不变量”（如边长和、面积差），用时间t表示动点移动的距离； 2）注意：t≥0，移动距离不能超过图形边长，解出t后验证是否在合理范围。 32．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 34．（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 35．（25-26九年级上·广西南宁·期中）在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 重难点九 握手、循环赛、互送礼物问题 1）握手、单循环赛（每两队赛一次）核心公式（通用）：n个主体，两两进行一次（不重复），总次数 = ； 2）互送礼物（两两互送，重复）：总数量 = 。 36．（2026·黑龙江佳木斯·一模）某市计划举行校际足球比赛，赛制为单循环形式，已知这些球队共要比赛21场，则参加比赛的球队共有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 37．（25-26九年级下·重庆江津·月考）2025年“渝超”联赛火热开展．本届赛事分常规赛和淘汰赛两个阶段，常规赛阶段采取主客场双循环赛制（每支球队与其他每支球队都会进行两场比赛），来自渝西片区的各支球队共展开了56场比赛．若设渝西片区共有支球队参加比赛，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）三（六）班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，则三（六）班的人数是______． 39．（25-26九年级上·全国·期末）某次校友聚会上，所有参加聚会的校友之间都相互握手问候，据统计共握手45次，求参加聚会的校友人数． 40．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 重难点十 其他问题 1）核心：结合题干场景，找出等量关系（关键句），转化为一元二次方程； 2）通用步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程→求解→验证（符合实际意义）； 3）关键：无论何种场景，均需保证未知数、结果符合实际（正数、整数等）。 41．（25-26九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 42．（25-26九年级上·福建厦门·期中）《弹簧探险家的能量之旅》 假设你是一名年轻的物理探险家，正在实验室中研究一个神奇的弹簧系统．想象一下：光滑如镜的水平实验台上（忽略所有摩擦和空气阻力），一个银色的金属小球（质量）连接着一根轻质弹簧，弹簧的劲度系数——这意味着一拉一压之间，它就蕴含着可观的能量！你小心翼翼地用机械臂将弹簧压缩了（负号表示压缩方向），然后从静止状态（初速度）释放小球．瞬间，弹簧“嗡”的一声舒展开，小球开始舞蹈般地滑动．整个系统的总机械能守恒，遵循公式： 其中： E是总机械能（单位：焦耳，），在无能量损失的情况下保持不变． 是小球的动能（速度v的单位：米/秒，）． 是弹簧的弹性势能（位移x的单位：米，；以弹簧原长位置为参考点）． 请阅读以上内容回答问题： 当时，你要像侦探一样，根据总机械能守恒公式，追踪能量如何在动能和势能之间流转，记住，能量守恒是你的指南针——系统总能量E终恒定，但形式会变！那么，此时小球的速度v为________． 43．（25-26八年级上·上海虹口·期末）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 一元二次方程的实际应用 重难点一 增长率问题 1）核心公式：（重中之重，必记）；a = 初始量（基础量），b = 最终量，x = 增长率（下降率用“-”），n = 增长（下降）次数。 1．（25-26九年级下·辽宁抚顺·月考）2025年辽宁省首届青少年数字阅读节在沈阳举办．某校为响应活动号召，开放校园数字图书馆．据统计，4月份访问数字图书馆的人次为150次，访问人次逐月递增，到6月份累计访问人次达546次，且访问人次的月平均增长率相同．访问人次的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设访问人次的月平均增长率为，则5月份访问的人次为次，6月份访问的人次为次，依题意列出方程，求解即可． 【详解】解：设访问人次的月平均增长率为，则5月份访问的人次为次，6月份访问的人次为次，依题意得： ， 解得：，（舍去）， ∴访问人次的月平均增长率为． 2．（2026·安徽阜阳·一模）为了准备校园篮球赛，小明进行了投篮训练，第一天进行200次投篮，第三天进行288次投篮，请问小明第二天和第三天投篮次数的平均增长率是多少？设小明第二天和第三天投篮次数的平均增长率是，则可列方程为：________． 【答案】 【分析】设小明第二天和第三天投篮次数的平均增长率是，第三天投篮次数为，根据第三天投篮次数为次列方程即可； 【详解】解：设小明第二天和第三天投篮次数的平均增长率是，已知第一天投篮次数为次，则第二天投篮次数为，第三天投篮次数为， 已知第三天投篮次数为次，因此可得方程． 3．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）随着AI智能机器人的不断普及，一些工厂的流水线逐步用智能机器人取代人工进行操作服务．为了提高企业智能化操作水平，某企业提出到2027年底实现全产业链智能机器人工作岗位率达到的目标． (1)已知截至2025年底，该企业智能机器人工作岗位率只有，要实现这个目标，从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到多少？（参考数据：） (2)照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可否超过？请说明理由． 【答案】(1)从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到 (2)照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可超过，理由见解析 【分析】（1）设从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）根据题意列出算式，进而和比较即可求解． 【详解】（1）解：设从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到x，由题意可得 ∵， ∴ ∴ 答：从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到； （2）解： 所以照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可超过． 4．（2026·安徽阜阳·一模）已知一件商品原售价为120元/件，商场计划对其进行降价促销，每件先降价11.8元，销量不理想，又每件降价11元，销售异常火爆．若视作平均每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】每次降价的百分率是 【分析】设该商品每次降价的百分率为x，利用原价每次降价的百分率该商品经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每次降价的百分率为．由题意，得． 解得，（舍去）． 答：每次降价的百分率是． 重难点二 传播问题 1）核心模型：1人传播，每人每次传播x人，n次后总人数为 ； 2）简化公式：传播n次后，总感染（传播）人数 =（直接套用，无需分步计算）。 5．（25-26九年级上·山东聊城·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据主干、支干、小分支的数量关系，结合总数为列方程即可． 【详解】解：∵主干的数量为1个，每个支干长出个小分支， ∴支干的数量为个，小分支的数量为个， 又∵主干、支干和小分支的总数是121， ∴可列方程为， 故选：A． 6．（25-26九年级下·江苏盐城·月考）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【答案】14 【分析】根据传染过程确定两轮传染后总感染人数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 根据题意，得 ， 整理得：， 解得，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，． ∴每轮传染中平均一个人传染了人． 7．（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 8．（25-26九年级上·江西南昌·月考）感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有100人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同． (1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？ (2)若传播得不到有效的控制，3轮传播后，被感染的人数会不会超过800人？ 【答案】(1)每轮传播中平均一个人传播个人； (2)被感染的人数会超过800人． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设每轮传播中平均一个人传播x个人，根据经过两轮感染后就会有100人被感染即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传播后被感染的人数经过两轮传播后被感染的人数经过两轮传播后被感染的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一个人传播x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传播中平均一个人传播个人； （2）三轮感染后，患病的人数为（人）． ∵， 被感染的人数会超过800人． 答：被感染的人数会超过800人． 重难点三 销售利润问题 1）核心关系式：总利润 = 单件利润 × 销售量；单件利润 = 售价 - 进价； 2）销售量：售价每涨（降）m元，销量减（增）n件，用“基础销量 ± 变化量”表示。 9．（2026·山西晋城·一模）某家电商铺售卖符合1级能效标准的节能台灯，每盏台灯的进价为40元，当售价定为每盏50元时，每天可售出500盏台灯．经市场调研发现，该台灯每盏售价每上涨1元，每天的销售量就会减少10盏．若设此款台灯每盏上涨x元（x为正整数），且该商铺每天销售该台灯的总利润为8000元，则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总利润公式“总利润每盏利润销售量”，分别求出涨价后每盏台灯的利润和销售量，即可列出正确方程. 【详解】解：涨价元后，每盏台灯售价为元，进价为40元， ∴每盏台灯的利润为元； ∵售价每上涨1元，每天销售量减少10盏， ∴涨价元后，每天销售量为盏； ∵每天总利润为8000元， ∴可得方程. 10．（25-26九年级上·山西阳泉·月考）一款衬衫每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，商店决定降价销售，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，那么平均每天可多售出件．每件衬衫降价_______元时，平均每天盈利元． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每件衬衫降价元时，每天可售出件，每件盈利元，根据“总利润＝每件利润×销售数量”列出方程求解可得．理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． 【详解】解：设每件衬衫降价元时，每天可售出件，每件盈利元，即元， 依题意，得：， 解得：或， ∵为了扩大销售量，增加利润， ∴， ∴每件衬衫降价元时，平均每天盈利元． 故答案为：． 11．（2026·山东菏泽·一模）某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元． (1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案） (2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）根据题意，根据总利润列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元， 由题意可得方程组， 解得， 故答案为：，． （2）解：甲单件利润为1元，乙单件利润也为元， 根据题意可得， ∴， 化简得， 解得（舍去）或． 当时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元． 12．（2026九年级下·重庆·专题练习）2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵1.5元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成，两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），礼盒中有个肉松青团，礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，，两种礼盒的销量分别为盒、盒，，两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 【答案】(1)每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元 (2)6 【分析】（1）设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元，根据“6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元”列方程求解即可； （2）降价后，肉松青团单价为元，红豆青团单价为元，则每盒礼盒有个肉松、个红豆，单盒价格为；每盒礼盒有个红豆、个肉松，单盒价格为；根据“，两种礼盒的销售总额为4100元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元， 由题意得：， 解得：， ， 答：每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元； （2）解：降价后，肉松青团单价为元，红豆青团单价为元， 则每盒礼盒：个肉松、个红豆，单盒价格为； 每盒礼盒：个红豆、个肉松，单盒价格为； 根据题意，得， 化简得， 解得，（不符合实际，舍去）， 即m的值为6． 13．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）某品牌手机，去年每台的售价（元）与月份之间满足关系，去年的月销量（万台）与月份之间成一次函数关系，其中第一季度的销量情况如表： 月份（） 1月 2月 3月 销售量（） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 (1)求关于的函数关系式； (2)求去年12月份的销售量与销售价格； (3)今年1月份比去年12月份该品牌手机的售价下降的百分率为，销售量下降的百分率为，今年2月份，经销商对该手机以1月份价格的八折销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台，销售额为6400万元，求的值． 【答案】(1) (2)销售量为5万台，售价为每台2000元 (3) 【分析】（1）设一次函数解析式为，将数据代入，利用待定系数法即可解答； （2）把代入函数解析式即可解答； （3）分别表示出1，2月份的销量以及售价，进而利用今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，得出等式求出即可． 【详解】（1）解：根据题意，设， 分别将，代入， 得， 解得， ∴p关于x的函数关系式为； （2）解：当时，销售量； 每台的售价， 答：销售量为5万台，售价为每台2000元； （3）解：根据题意，1月份的售价为元，则2月份的售价为元， 1月份的销量为万台，2月份的销量为万台， 由题意得：， 解得：（舍），， ∴． 答：的值为． 14．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）“山西博物馆”以每件元的批发价进了一批纪念品，国庆期间让馆内多间商店销售，这些商店经第一天销售调查可知：每件定价元，每天能卖出件，若每件定价每上涨元，其销售量将减少件． (1)若每件纪念品售价为元，求这些商店每天销售这种纪念品的利润； (2)这些商店为了实现每日共有：元的销售利润，并使消费者得到实惠，每件纪念品的售价应上涨多少元？此时售价为多少元？ 【答案】(1)元 (2)应上涨元，此时售价为元 【分析】（1）先计算出销量和单件利润，再利用“总利润=单件利润×销量”的公式直接计算； （2）设涨价金额为，用含的式子表示出销量和单件利润，根据题意列方程求解，再结合“消费者得到实惠”的条件筛选出最优解． 【详解】（1）解：若每件纪念品售价为元，则每天的销售量为件， 每件纪念品的利润为元， 故每天销售这种纪念品的利润为元． （2）解：设每件纪念品应上涨元， 则销售量为件， 每件纪念品的利润为元， 根据题意可得，， ， ， 解得，， 为使消费者得到实惠，应上涨元，此时售价为元． 重难点四 行程问题 1）核心公式：路程 = 速度 × 时间（），结合一元二次方程多为“相遇、追及、往返”问题； 2）关键：找出路程关系（如相遇时总路程=两车路程和，追及时路程差=初始距离）。 15．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 16．（25-26九年级上·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 17．（25-26九年级上·福建三明·月考）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 重难点五 工程问题 1）核心思想：将总工程量看作“1”，单人（队）工作效率 = 1 ÷ 单独完成时间； 2）核心关系式：合作效率 × 合作时间 = 完成工程量（通常为1）。 18．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 19．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 20．（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 重难点六 数字问题 1）核心：两位数 = 十位数字×10 + 个位数字；三位数 = 百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字。 21．（25-26九年级上·河南南阳·期末）三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 本题可通过设中间的奇数为未知数，利用连续奇数的差为2表示出另外两个奇数，再根据平方和为371列一元二次方程求解． 【详解】解：设三个连续奇数中间的数为，则最小的奇数为，最大的奇数为，根据题意得， 解得， 当时，最小的奇数为； 当时，最小的奇数为； ∴这三个奇数中最小的是或9， 故选：C． 22．（2026·辽宁鞍山·二模）小明给发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？给出的答案是______． 【答案】2 【分析】设这个数为x，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个数为x，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 即给出的答案是2． 23．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】最小数为9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． 先根据题中图表，找到最小数与最大数之间的关系，设四个数中最小数为x，则最大数为，再根据题意，建立方程并解这个一元二次方程，最后舍去负数，即可得到结果． 【详解】解：设四个数中最小数为x，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， ∴， 即 解得：，（舍） 答：最小数为9． 24．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学是一位诗词爱好者，在学习了《一元二次方程及其应用》这一章后，改编了苏轼的词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”其中蕴含着一道数学问题：周瑜在30岁时已经担任东吴的都督，去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．求周瑜去世时的年龄． 【答案】周瑜去世时的年龄为36岁 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数字问题，掌握根据数字间的关系列方程，求解后结合实际意义检验根的合理性是解题的关键． 设周瑜去世时年龄的十位数字为，根据十位与个位的数量关系表示出个位数字，再根据个位数字的平方等于该两位数列方程，求解后结合30岁时担任都督的实际条件检验，确定年龄． 【详解】解：设周瑜去世时年龄的十位数字是． 依题意，得， 即，解得（不合题意，舍去），， ， ， ∴周瑜去世时的年龄为36岁． 重难点七 几何图形问题 1）核心：结合图形面积、周长公式（如长方形、正方形、三角形、圆的面积公式）； 2）注意：边长、半径为正数，解出x后验证是否符合图形实际（如边长不能为负，三角形两边之和大于第三边）。 25．（2026·黑龙江·一模）如图为一个“”形水槽的横截面，外框与内框均为矩形，外框矩形的长为，宽为，内框矩形的面积为，水槽三面厚度相等，设厚度为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为内框矩形面积为，根据矩形面积公式，那么可列出关于的方程． 【详解】解：水平方向左右两侧各有厚度，因此内框的水平长度为 ； 竖直方向仅底部有厚度，因此内框的竖直长度为 ； ∵内框矩形面积为， ∴可列方程： ． 26．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）2025年11月，世界首座千米级双层斜拉一悬索协作体系公铁大桥——安徽铜陵长江三桥正式通车．铜陵长江三桥是《长江干线过江通道布局规划（2020—2035年）》中规划的过江通道之一，是安徽省重大基础设施建设项目，如图，某摄影爱好者拍摄一张长为、宽为的大桥全景照，现要在照片四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为的挂图．设照片四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意得，矩形挂图的宽为，长为，根据长方形面积公式列方程即可． 【详解】解：依题意得：． 27．（25-26九年级下·河南周口·月考）某小区规划在一块长为20米，宽为12米的矩形空地上修建两条宽度相同的互相垂直的道路，剩余部分种植花草，使种植花草的面积为216平方米．设道路的宽度为x米，则可列方程为_________． 【答案】 【分析】将两条互相垂直的道路平移到矩形空地的边缘，剩余种植花草的部分可拼接为一个新的矩形，确定新矩形的长和宽后，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路的宽度为x米，将道路平移后，剩余花草区域为矩形，该矩形的长为米，宽为米， 由矩形面积公式，结合种植花草的面积为平方米，可得方程：． 28．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）庐阳区城管部门推进“口袋公园”建设，提升居民生活幸福感．某口袋公园外围规划为长方形，长30米，宽18米，内部设计等宽步行道，剩余区域为绿化种植区．工作人员发现，步行道宽度直接影响绿化面积，若绿化种植区总占地面积为220平方米，求步行道的宽． 【答案】步行道的宽为8米 【分析】根据“绿化种植区总占地面积为220平方米”列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得（舍去）， 答：步行道的宽为8米． 29．（2026·广东深圳·一模）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】(1)这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克 (2)道路宽度为 【分析】（1）设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克， 依题意得，解得， 经检验，是原方程的解． 答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克． （2）解：设道路宽度为． 依题意得，解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 30．（25-26九年级上·湖南永州·期末）2025湖南省足球联赛（“湘超”联赛）决赛将在长沙贺龙体育场进行，万众瞩目，超100万人标记“想看”．真是一票难求，为满足球迷们的需求，各市县同时开辟了第二现场，在足球场内挂上了大屏，摆放了凳子，某市为了更好地维持秩序，在足球场内预留了三条同样宽的过道（如图）．已知足球场的长为100米，宽为65米，要保证观众座位的面积达到平方米，则过道的宽应该设计多少米？ 【答案】过道的宽应该设计米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设过道的宽为米，根据题意得出，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：设过道的宽为米，根据题意得， 整理得， 解得：（舍去） 答：过道的宽应该设计米． 31．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长和宽分别为，时，能围成一个面积为的羊圈 (2)羊圈的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）设当羊圈的宽为，则羊圈的长为，根据“围成一个面积为的羊圈”列方程求解即可； （2）令，判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：设当羊圈的宽为，则羊圈的长为， 根据题意，得， 化简，得， 解得或20， 当时，，不合题意，舍去； 当时，； 答：当羊圈的长和宽分别为，时，能围成一个面积为的羊圈； （2）解：羊圈的面积不能达到．理由如下： 令， 化简，得， ， 方程没有实数根， 羊圈的面积不能达到． 重难点八 动态几何问题 1）核心：抓住“动态中的不变量”（如边长和、面积差），用时间t表示动点移动的距离； 2）注意：t≥0，移动距离不能超过图形边长，解出t后验证是否在合理范围。 32．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的综合题，准确地理解题意并列出代数式是解题的关键．设运动秒后，分别到达点的位置，根据路程公式，可得、的长，继而得、的长，根据的面积恰好为，即可列出关于t的一元二次方程． 【详解】解：设运动秒后，分别到达点的位置， 由题意得，， 故选：D． 33．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于 【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据题意表示出和的长，然后列方程求解； （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，， 则， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， ∴的面积不能等于． 34．（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】(1)或 (2)能， 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意得，，由勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ，， ， ， 解得，， 故或后，的长度等于． （2）解：能； ， ； 当时， ， ， 整理得， 解得； 当时， ， ， 整理得， ， 此时方程无实数解， 故此种情况不存在； 综上所述：当时，线段能将分成面积的两部分． 35．（25-26九年级上·广西南宁·期中）在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了动点问题、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意即可解题； （2）设运动时间为，用代数式表示出的面积，进而解方程即可； （3）根据题意列出方程，发现无解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：； （2）解：设运动时间为，由（1）得：，则， 列方程得：， 解得：，， ∵且， ∴， ∴； 的运动时间为； （3）解：不能，理由如下： 若面积为，则可列方程得：， 解得：， ∵， ∴不合题意， ∴面积不能为． 重难点九 握手、循环赛、互送礼物问题 1）握手、单循环赛（每两队赛一次）核心公式（通用）：n个主体，两两进行一次（不重复），总次数 = ； 2）互送礼物（两两互送，重复）：总数量 = 。 36．（2026·黑龙江佳木斯·一模）某市计划举行校际足球比赛，赛制为单循环形式，已知这些球队共要比赛21场，则参加比赛的球队共有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，明确单循环赛制为每两队之间只比赛一场，设出球队数量，根据总比赛场数列方程求解即可． 【详解】解：设参加比赛的球队共有支． ∵赛制为单循环形式，每两队之间只比赛一场，总比赛场数为21场 ∴可列方程 整理得 因式分解得 解得 ∵球队数量为正整数 ∴ 即参加比赛的球队共有7支． 37．（25-26九年级下·重庆江津·月考）2025年“渝超”联赛火热开展．本届赛事分常规赛和淘汰赛两个阶段，常规赛阶段采取主客场双循环赛制（每支球队与其他每支球队都会进行两场比赛），来自渝西片区的各支球队共展开了56场比赛．若设渝西片区共有支球队参加比赛，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，核心是理解主客场双循环赛制，即任意两队之间进行2场比赛，据此找出总比赛场数的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵ 共有支球队，每支球队需要与除自身外的支球队进行比赛， 又∵ 主客场双循环赛制中，每两支球队之间进行2场比赛， ∴ 总比赛场数为， 已知总比赛场数为56， ∴ 可列关系式为． 故选：D． 38．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）三（六）班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，则三（六）班的人数是______． 【答案】40 【分析】设三（六）班有人，根据全班共送了1560张，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设三（六）班有人，由题意，， 解得或（舍去）； 答：三（六）班有人. 39．（25-26九年级上·全国·期末）某次校友聚会上，所有参加聚会的校友之间都相互握手问候，据统计共握手45次，求参加聚会的校友人数． 【答案】参加聚会的有10人． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设参加这次聚会的校友人数为x人，根据所参加的校友之间共握手次列出方程，求解即可． 【详解】解：设参加这次聚会的校友人数为x人， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：参加聚会的有10人． 40．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 重难点十 其他问题 1）核心：结合题干场景，找出等量关系（关键句），转化为一元二次方程； 2）通用步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程→求解→验证（符合实际意义）； 3）关键：无论何种场景，均需保证未知数、结果符合实际（正数、整数等）。 41．（25-26九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 42．（25-26九年级上·福建厦门·期中）《弹簧探险家的能量之旅》 假设你是一名年轻的物理探险家，正在实验室中研究一个神奇的弹簧系统．想象一下：光滑如镜的水平实验台上（忽略所有摩擦和空气阻力），一个银色的金属小球（质量）连接着一根轻质弹簧，弹簧的劲度系数——这意味着一拉一压之间，它就蕴含着可观的能量！你小心翼翼地用机械臂将弹簧压缩了（负号表示压缩方向），然后从静止状态（初速度）释放小球．瞬间，弹簧“嗡”的一声舒展开，小球开始舞蹈般地滑动．整个系统的总机械能守恒，遵循公式： 其中： E是总机械能（单位：焦耳，），在无能量损失的情况下保持不变． 是小球的动能（速度v的单位：米/秒，）． 是弹簧的弹性势能（位移x的单位：米，；以弹簧原长位置为参考点）． 请阅读以上内容回答问题： 当时，你要像侦探一样，根据总机械能守恒公式，追踪能量如何在动能和势能之间流转，记住，能量守恒是你的指南针——系统总能量E终恒定，但形式会变！那么，此时小球的速度v为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程应用以及跨学科考题，根据机械能守恒定律，系统初始总机械能等于任意位置的总机械能，初始时弹簧压缩，小球静止，总机械能仅为弹性势能；当弹簧位移为x时，总机械能等于动能与弹性势能之和，由此列出方程求解速度. 【详解】解：初始时，弹簧压缩量，小球速度 ，总机械能 当时，， 整理得， 解得：（舍去负值）， 故答案为：. 43．（25-26八年级上·上海虹口·期末）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 【答案】 任务一： 任务二：条 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程并求解． 任务一：根据第一季度和第三季度的产量，利用平均增长率的公式列方程求解； 任务二：根据生产线数量与每条生产线产能的关系，列方程求解并根据节省成本的条件确定最终答案． 【详解】解：任务一： 设第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为； 任务二： 设增加条生产线，则每条生产线产能为万个/季度， 根据题意得：， 整理得，即， 解得或， 在增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应增加条生产线． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $