第八章 向量的数量积与三角恒等变换（高效培优单元自测·强化卷）数学人教B版高一必修第三册

第八章 向量的数量积与三角恒等变换（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，，则. . 故选：A 2．已知单位向量，，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将两边同时平方并展开可得， 又因为，所以，解得， 所以与的夹角为． 3．已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 设与的夹角为，则， 又，所以. 4．的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 5．已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，又， 所以，解得， 所以， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为， 6．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以. 所以. 又在中，， 所以. 所以. 7．已知锐角满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得，即， 则 ， 当且仅当即时，等号成立， 因为为锐角，也就是，即时，等号成立， 故所求式的最小值为，故C正确. 8．已知函数，当时函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，其中， 当时函数取得最大值，则， 所以，所以， 所以，所以， ， 所以. 故选：C. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，设向量，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则与的夹角为钝角 B．若，则或 C．的最小值为2 D．与共线的单位向量只有一个为 【答案】AC 【详解】对于A选项，当时，，又因为当时两向量共线，所以当时两向量不共线， 由且两向量不共线可知，与的夹角为钝角，故A选项正确； 对于B选项，，解得，所以B选项错误. 对于C选项，，当且仅当时等号成立，所以C选项正确； 对于D选项，，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，所以D选项错误. 10．已知函数，则下列判断不正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．为奇函数 C．的值域为 D．在上是增函数 【答案】BCD 【详解】 ， 当时，因为，所以该函数取得最大值2，所以的图象关于直线对称，故A正确． 因为， 所以，因此不是奇函数，故B错误． 由上可知该函数的值域为，C错误. 当时，，显然该区间不是和的子集， 所以此时不单调，故D错误． 故选：BCD 11．已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．的值域为 D．方程在上的所有实根之和为 【答案】ACD 【详解】对于A，的定义域为， 又，即的图象关于直线对称，A正确； 对于B，当时，，在上单调递减，B错误； 对于C，因为为偶函数，且最小正周期为， 所以的值域就是在上的值域，， 其值域为，（当时取得最小值，当时取得最大值），所以的值域是，C正确； 当时，的图象关于直线对称，且有两个实根， 这两根之和为，由周期性可得所有实根之和为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．若，，则______． 【答案】/0.125 【详解】． 13．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小__________. 【答案】 【详解】如图，，， ，所以，则， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有，即， 所以， 所以此时小货船航行速度大小为. 14．已知平面向量，，其中，，，，若为任意实数，则的最小值为________． 【答案】/1.5 【详解】对于任意实数，有， 由于， 代入，得， 故当时，， 因此，的最小值为. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．若，，且，． (1)求和； (2)求及． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，，所以， 所以； （2） ， 又，所以. 16．如图，在矩形中，已知，，是线段上的一个动点； (1)当是线段的中点时，若，求的值； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当是线段的中点时，， 由， 得. （2），， ， 可得，即，则有， 设，则， 由二次函数的性质可知，时，有最小值. 17．已知函数在区间上的最小值为1. (1)求常数的值； (2)若函数，当时，求的最小值，以及相应的集合. 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）， 因为，所以， 所以当即时，函数取得最小值， 于是，解得. （2）由（1）知， 故 ， 令，则，其中， 则即为， 当时，即时，， 此时，即， 即的集合为. 18．如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）.是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进. (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角（）最大？ 【答案】(1) (2)米 【分析】 【详解】（1），， 则， 所以 （2）设点距离底线米，过点作，垂足为， 则， ， ， 当时，即时，等号成立， 由正切函数单调性可知，当时张角最大. 19．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值. 【答案】(1)2 (2)①，②7 (3)9 【分析】 【详解】（1）由，可得，则， 由于，因此，其中为的夹角， 故； （2）①由，，可得， 结合，故， 故， ②由，，可得， 故 （3）由,，结合（2）的结论可知： ， 当且仅当，等号成立，结合，故时取到等号， 因此的最小值为9. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知单位向量，，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．的值为（    ） A． B． C．1 D． 5．已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．在中，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知锐角满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，当时函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，设向量，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则与的夹角为钝角 B．若，则或 C．的最小值为2 D．与共线的单位向量只有一个为 10．已知函数，则下列判断不正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．为奇函数 C．的值域为 D．在上是增函数 11．已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．的值域为 D．方程在上的所有实根之和为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．若，，则______． 13．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小__________. 14．已知平面向量，，其中，，，，若为任意实数，则的最小值为________． 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．若，，且，． (1)求和； (2)求及． 16．如图，在矩形中，已知，，是线段上的一个动点； (1)当是线段的中点时，若，求的值； (2)当时，求的最小值． 17．已知函数在区间上的最小值为1. (1)求常数的值； (2)若函数，当时，求的最小值，以及相应的集合. 18．如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）.是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进. (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角（）最大？ 19．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $