精品解析：2022年江苏省扬州市江都区育才中学中考数学模拟试卷

江苏省扬州市江都区育才中学2022年中考数学模拟试卷 一、选择题．（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 地球上海洋面积约为平方公里，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 要使代数式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是　　 A. B. C. D. 5. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 185 180 185 180 方差 3.6 4.6 5.4 6.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 菱形的两条对角线的长分别为10和24，则边的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 17 8. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则 周长的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题．（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. _____． 10. 分解因式：____________． 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 12. 已知一组数据：a、4、5、6、7的平均数为5，则这组数据的中位数是__________． 13. 用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 14. 不等式组的解集是________． 15. 如图，为的直径，C为上一点，连结为的切线，过切点D作 ，交直线于点E，连接交于点M，若，则_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x、y轴上，点B的坐标为，反比例函数（k为常数，）的图象分别与边AB、BC交于点D、E，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到，连结OE，当时，k的值为___________． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E是AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB=30°，连结EF，作点D关于直线EF的对称点P，直线PE交BD于点Q，当△DEQ是直角三角形时，DF的长为 ___． 18. 如图，射线 、互相垂直， ，点位于射线 的上方，且在线段的垂直平分线上，连接，．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离 ______． 三、解答题．（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： （1）； （2）． 20. 解方程和解不等式组 （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 先化简，再求值：，其中 ． 22. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率． （2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是________． 23. 2021年12月5日，镇海区爆发新冠疫情，广大居民捐资捐物，经过全区人民的共同努力，镇海区用两周的时间解除了疫情．某商店也将商品两周的盈利捐出用于购买抗疫物资．经市场调查发现，该商品的周销售量y（件）关于售价x（元/件）的一次函数为y＝﹣2x+200，当售价为40元时，周销售利润为2400元． （1）该商品每件的进价是多少元？ （2）当每件售价x为多少时，周售价利润w最大？并求出此时的最大利润． 24. 如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上． （1）求证：BG＝DE； （2）若E为AD中点，菱形ABCD的周长是20，求FH的长． 25. 如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接 平分． （1）求证：是的切线； （2）延长、相交于点E，若，求 的值． 26. 如图，二次函数（m是实数，且）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，，点E在x轴的正半轴上，，连接并延长交y轴于点F，连接． （1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）； （2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于时，求m的值． 27. 学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形． 试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题． 【初步感知】 如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点． （1）点旋转后，得到的点的坐标为________； （2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式． 【深入感悟】 （3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积． 【灵活运用】 （4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点 、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由． 28. 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． （1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且 ，小亮以为边作等边三角形 ，如图1，求的长； （2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形 ，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长； （3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形 ，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长； （4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州市江都区育才中学2022年中考数学模拟试卷 一、选择题．（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是做题的关键．根据倒数的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 的倒数是． 故选：C． 2. 地球上海洋面积约为平方公里，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】=， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 要使代数式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可知 ，计算求解即可． 【详解】解：由题意知 即 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．解题的关键在于熟练掌握二次根式、分式有意义的条件． 4. 如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】从上面看易得：有3列小正方形第1列有2个正方形，第2列有1个正方形，第3列有1个正方形． 故选B． 【点睛】本题考查的知识点是简单组合体的三视图，解题关键是数出从上方看每一列各有几个正方形． 5. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 185 180 185 180 方差 3.6 4.6 5.4 6.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】成绩好对应平均水平更高即平均数更大，发挥稳定对应数据波动更小即方差更小，据此筛选符合要求的运动员即可. 【详解】解：∵ 甲、丙的平均数为，高于乙、丁的平均数， ∴ 先从甲和丙中选择， 又∵ 方差越小，发挥越稳定，甲的方差小于丙的方差 ， ∴ 甲符合成绩好且发挥稳定的要求. 6. 端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意表示出肉粽和素粽的单价，再列出方程即可． 【详解】设每个肉粽x元，则每个素粽的单价为（x-1）元， 由题意：， 故选：A． 【点睛】本题考查列一元一次方程，理解题意，找准数量关系是解题关键． 7. 菱形的两条对角线的长分别为10和24，则边的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，即可求AO，BO，根据勾股定理即可求AB的值． 【详解】解：如图， ∵菱形对角线互相垂直平分， ∴△AOB为直角三角形，且AC=2AO，BD=2BO， 又AC=10，BD=24， ∴AO=5，BO=12， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AB的值是解题的关键． 8. 如图，正方形内接于 ，线段 在对角线上运动，若 的面积为，，则 周长的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算． 【详解】如图所示， （1）为上一动点， 点关于线段的对称点为点，连接，则，过 点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M． 四边形是平行四边形 则 （2）找一点， 连接，则，过点作的平行线 ，连接则． 此时 （1）中 周长取到最小值 四边形是平行四边形 四边形是正方形 ， 又 ，， 又 是等腰三角形 ，则圆的半径， 故选：B． 【点睛】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到 周长取最小值时的位置． 二、填空题．（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. _____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据相反数的意义化简多重符号，根据绝对值的性质化简绝对值，再进行有理数加法运算． 【详解】解：． 10. 分解因式：____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 12. 已知一组数据：a、4、5、6、7的平均数为5，则这组数据的中位数是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平均数的定义先算出a的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数． 【详解】解：∵这组数据的平均数为5， 则， 解得：a=3， 将这组数据从小到大重新排列为：3，4，5，6，7， 观察数据可知最中间的数是5， 则中位数是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平均数和中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 13. 用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】∵扇形的弧长=， ∴圆锥的底面半径=÷2π=． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长，是解题的关键． 14. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 由①得，x＜8， 由②得，x≥-3， 故原不等式组的解集为﹣3≤x＜8， 故答案为：﹣3≤x＜8． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式的公共解，解题的关键是要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 15. 如图，为 的直径，C为 上一点，连结为 的切线，过切点D作 ，交直线于点E，连接交于点M，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交于，连接，过 作 于，过作于，由切线的性质及矩形的判定与性质可得，再根据圆周角定理、勾股定理及矩形的性质可得，最后根据全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质可得答案． 【详解】解：连接，延长交于，连接，过 作 于，过作于， ∵为 的切线， ∴ ， ∵， ∴四边形 是矩形， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 在中，， ∵为 的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵分别是 中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和 中 ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x、y轴上，点B的坐标为，反比例函数（k为常数，）的图象分别与边AB、BC交于点D、E，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到，连结OE，当时，k的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，根据折叠的性质可得，设，则，根据坐标系以及矩形的性质求得，进而求得，作的角平分线交于点，通过面积比求得，从而建立方程，解方程求解即可． 【详解】如图，作的角平分线交于点， 设，根据折叠的性质可得 平分 在上，点B的坐标为，矩形OABC的边OA、OC分别在x、y轴上， 设，则 ，则 设到的距离为，则， 整理得： 解得 故答案为：3 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，解直角三角形，角平分线的性质，折叠的性质，求得是解题的关键． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E是AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB=30°，连结EF，作点D关于直线EF的对称点P，直线PE交BD于点Q，当△DEQ是直角三角形时，DF的长为 ___． 【答案】或1或3 【解析】 【分析】分两种情况画出图形，当∠DQE=90°时，如图2，如图3，当∠DEQ=90°时，如图4，过点F作FM⊥AD于点M，设EM=a，则FM=a，DM=a，根据含30°的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°， ∵AB=2，∠ADB=30°． ∴AD=2， ∵点E是边AD的中点， ∴DE=， ①如图2，当∠DQE=90°时， ∵点E是AD的中点， ∵PE⊥BD，∠ADB=30°． ∴∠PED=60°， 由对称可得，EF平分∠PED， ∴∠DEF=∠PEF=30°， ∴△DEF是等腰三角形， ∴DF=EF， ∵PE⊥BD，∠ADB=30°，DE=， ∴QE=， ∵∠PEF=30°， ∴EF=1， ∴DF=EF=1； ②如图3， ∵PE⊥BD，∠ADB=30°． ∴∠PED=120°， 由对称可得，PF=DF，EP=ED，EF平分∠PED， ∴∠DEF=∠PEF=120°， ∴∠EFD=30°， ∴△DEF是等腰三角形， ∵PE⊥BD， ∴QD=QF=DF， ∵PE⊥BD，∠ADB=30°．DE=， ∴QE=，QD=， ∴DF=2QD=3； ∴DF的长为1或3； 当∠DEQ=90°时，如图4， ∵EF平分∠PED， ∴∠DEF=45°， 过点F作FM⊥AD于点M，设EM=a，则FM=a，DM=a， ∴a+a=， ∴a=， ∴DF=3-， 综上所述，当△DEQ是直角三角形时，DF的长为1或3或3-， 故答案为：1或3或3-． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，对称的性质、含30°直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 18. 如图，射线、互相垂直， ，点位于射线的上方，且在线段的垂直平分线上，连接，．将线段绕点 按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离 ______． 【答案】 【解析】 【分析】添加辅助线，连接，过点作交ON与点P．根据旋转的性质，得到，在和中，，根据三角函数和已知线段的长度求出点到射线的距离． 【详解】如图所示，连接，过点作交ON与点P． ∵线段绕点 按逆时针方向旋转得到对应线段 ∴， ∴ 即 ∵点在线段的垂直平分线上 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 三、解答题．（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算即可求解； （2）根据分式的除法，将除法转化为乘法，同时分子分母因式分解，然后约分即可求解． 【小问1详解】 原式= = 【小问2详解】 原式= = 【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的除法运算，正确的计算是解题的关键． 20. 解方程和解不等式组 （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）先求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 开方，得， 解得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 21. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】 ， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则即可化简，再将 代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： 当 时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题关键． 22. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率． （2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是________． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有等可能的结果数与两次摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式即可求得答案； （2）并不是等可能事件，所以不能选用树状图法做，选用概率分步原理解题即可 【详解】解：（1）画树状图得， ∴共有9种等可能的结果数，两次摸出的球都是红球的结果数为4次， ∴两次摸出的球都是红球的概率为：； （2）由概率分步原理解题， 第一次拿出红球的概率为：，不放回，再拿出白球的概率为 第一次拿出白球的概率为，放回后，再拿出白球的概率为 故两次摸出的球都是白球的概率是： 故答案为： 【点睛】此题考查了画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 2021年12月5日，镇海区爆发新冠疫情，广大居民捐资捐物，经过全区人民的共同努力，镇海区用两周的时间解除了疫情．某商店也将商品两周的盈利捐出用于购买抗疫物资．经市场调查发现，该商品的周销售量y（件）关于售价x（元/件）的一次函数为y＝﹣2x+200，当售价为40元时，周销售利润为2400元． （1）该商品每件的进价是多少元？ （2）当每件售价x为多少时，周售价利润w最大？并求出此时的最大利润． 【答案】（1）每件商品的进价20元； （2）当每件售价为60元时，周售价利润w最大，最大利润是3200元 【解析】 【分析】（1）把x＝40代入求出销售量，再根据利润2400元可得每件利润，售价减利润即为进价； （2）根据“总利润＝每件商品的利润×销售量”列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得答案； 【小问1详解】 解：把x＝40代入y＝﹣2x+200可得周销售量y＝120， ∴每件利润为：2400÷120＝20（元）， ∵售价为40（元）， ∴每件商品的进价为：40-20=20元； 【小问2详解】 解：设利润为w元，则 w＝（x﹣20）（﹣2x+200）＝﹣2（x﹣60）2+3200， ∵﹣2＜0，二次函数开口向下， ∴当x＝60时，w最大为3200， 答：当每件售价为60元时，周售价利润w最大，最大利润是3200元． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 24. 如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上． （1）求证：BG＝DE； （2）若E为AD中点，菱形ABCD的周长是20，求FH的长． 【答案】（1） ∵四边形EFGH是矩形， ∴EH＝FG，EH∥FG， ∴∠GFH＝∠EHF， ∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠GBF＝∠EDH， 在△BGF和△DEH中， ， ∴△BGF≌△DEH（AAS）， ∴BG＝DE． （2）5 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的判定与性质即可得到结论； （2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB＝EG，即可得到FH的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接EG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E为AD中点， ∴AE＝ED， ∵BG＝DE， ∴AE＝BG， 又∵AE∥BG， ∴四边形ABGE是平行四边形， ∴EG＝AB， ∵菱形ABCD的周长是20， ∴AB＝5＝EG， ∵四边形EFGH是矩形， ∴FH＝EG＝5． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决问题的关键是连接EG，利用矩形的对角线相等，平行四边形的对边相等得出结论． 25. 如图，中，，以点C为圆心， 为半径作，D为上一点，连接 平分． （1）求证：是的切线； （2）延长、相交于点E，若，求 的值． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴ ． 又∵ ， ∴， ∴ ， ∴， 即是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得出 ，即可得证； （2）证明 ，根据相似三角形的性质，得出面积比为 ，继而根据面积比等于相似比的平方得出，根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由(1)可知， ， 又 ， ∴ ． ∵，且 ， ∴ ， ∴． ∵ ， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，求正切，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 26. 如图，二次函数（m是实数，且）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，，点E在x轴的正半轴上，，连接并延长交y轴于点F，连接． （1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）； （2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于时，求m的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）令，解得或m，故点A、B的坐标分别为，，则点C的横坐标为，即可求解； （2）由，即，在中，；点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接 交对称轴于点Q，则点Q为所求点，进而求解． 【小问1详解】 令， 解得或m， 故点A、B的坐标分别为，， 则点C的横坐标为，即点C的坐标为； 【小问2详解】 由点C的坐标知，， 故， ∵，， ∴， ∴，即， ∵点C是中点，则为的中位线， 则， 在中，， ∴， ∵点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接 交对称轴于点Q， 由于的周长为最小， 则点Q为所求点，即， 则，解得， ∵， 故． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 27. 学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点 顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形． 试根据下列各题中所给的定点 的坐标和角度的大小来解决相关问题． 【初步感知】 如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点． （1）点旋转后，得到的点的坐标为________； （2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式． 【深入感悟】 （3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积． 【灵活运用】 （4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点 、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）；（3）；（4）存在最小值， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的定义得，观察点和在同一直线上即可直接得出结果． （2）根据题意得出的坐标，再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可． （3）先根据计算出交点坐标，再分类讨论①当 时，先证明再计算面积．②当-时，证，再计算即可． （4）先证明为等边三角形，再证明，根据在中，，写出，从而得出的函数表达式，当直线与抛物线相切时取最小值，得出，由计算得出的面积最小值． 【详解】（1）由题意可得: ∴的坐标为 故答案为： ； （2）∵，由题意得 坐标为 ∵，在原一次函数上， ∴设原一次函数解析式为 则 ∴ ∴原一次函数表达式为； （3）设双曲线与二、四象限平分线交于点，则 解得 ①当 时 作轴于 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在和中 ∴ 即； ②当-时 作 于轴于点 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴； （4）连接，，将，绕 逆时针旋转得，，作轴于 ∵， ∴ ∴ ∴为等边三角形，此时与 重合，即 连接 ，∵ ∴ ∴在和 中 ∴ ∴， ∴作轴于 在中， ∴ ∴，即，此时的函数表达式为： 设过且与平行 的直线解析式为 ∵ ∴当直线与抛物线相切时取最小值 则 即 ∴ 当时，得 ∴ 设与轴交于 点 ∵ ∴ 【点睛】本题考查旋转、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式、反比例函数的几何意义、两函数的交点问题，函数的最小值的问题，灵活进行角的转换是关键． 28. 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． （1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且 ，小亮以 为边作等边三角形 ，如图1，求的长； （2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长； （3）是边长为3的等边三角形，M是高 上的一个动点，小亮以为边作等边三角形 ，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长； （4）正方形的边长为3，E是边 上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______． 【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）； 【解析】 【分析】（1）由 、是等边三角形，，， ，可证即可； （2）连接， 、是等边三角形，可证，可得，又点 在处时， ，点 在A处时，点与重合．可得点运动的路径的长； （3）取中点，连接 ，由 、是等边三角形，可证，可得 ．又点在处时，，点在处时，点与重合．可求点所经过的路径的长； （4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理即，可求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长． 【详解】解:（1）∵ 、是等边三角形， ∴，，． ∴， ∴ ， ∴， ∴； （2）连接， ∵ 、是等边三角形， ∴，，． ∴， ∴ ， ∴， ∴ ，， ∵， ∴， ∴， 又点 在处时， ，点 在A处时，点与重合． ∴点运动的路径的长； （3）取中点，连接 ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵ 、是等边三角形， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 又点在处时，，点在处时，点与重合， ∴点所经过的路径的长； （4）连接CG ,AC ，OB， ∵∠CGA=90°， ∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动， ∵四边形ABCD为正方形，BC为边长， ∴∠COB=90°，设OC=x， 由勾股定理即， ∴， 点G所经过的路径长为长=， 点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧上运动， 点H所经过的路径长为的长度， ∵点G运动圆周的四分之一， ∴点H也运动圆周的四分一， 点H所经过的路径长为的长=， 故答案为；． 【点睛 本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $