8.4.1平面导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8．4　空间点、直线、平面之间的位置关系 §8.4.1 平　面【导学】 【导学目标】 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系； 2.掌握有关平面的三个公理； 3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系。 【导学重点】能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用 【导学难点】用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实 【知识要点】 1．平面 (1)平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的． (2)平面的画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向． (3)平面的表示方法 我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD． 2．点、线、面之间的关系及符号表示=====A是点，l，m是直线，α，β是平面． 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 3．平面的性质 基 本 事 实 文字语言 图形语言 符号语言 基 本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基 本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒ l⊂α 基 本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 4．平面性质的三个推论 推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图(1)． 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图(2)． 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图(3)． 典型例题 题型一 概念理解 【例1-1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面．(　　) (2)20个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些．(　　) (3)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A.(　　) (4)平面ABCD的面积为100 m2.(　　) (5)过三点A，B，C有且只有一个平面．(　　) 【例1-2】（衔接教材P128T1）判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”. (1)书桌面是平面.(　　) (2)两个平面相交，它们只有有限个公共点.(　　) (3)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.(　　) (4)圆心和圆上两点可以确定一个平面.(　　) (5)梯形可以确定一个平面.(　　) 【例1-3】下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是(　　) A． 因为A∈α，B∈α，所以AB∈α B．因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝a C．因为A∈a，a⊂α，所以A∈α D．因为A∉a，a⊂α，所以A∉α 【例1-4】已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系： (1)点C与平面β：____________． (2)点A与平面α：____________． (3)直线AB与平面α：__________． (4)直线CD与平面α：__________． (5)平面α与平面β：____________． 【变式1】给出以下四个命题： ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 其中正确命题的个数是(　　) A．0　　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 题型二 图形、文字、符号语言的相互转化 【例2-1】用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC. 【例2-2】将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β. 【例2-3】根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点P与直线AB； (2)点C与直线AB； (3)点M与平面AC； (4)点A1与平面AC； (5)直线AB与直线BC； (6)直线AB与平面AC； (7)平面A1B与平面AC. 【变式2】已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合 题型三 点、线共面问题 【例3-1】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． 【答案】略 【例3-2】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 题型四 三点共线、三线共点问题 【例4-1】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在棱AA1，CC1上，且AE＝3A1E， C1F＝3CF， 求证：E，D，F，B1四点共面． 【方法归纳】 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8．4　空间点、直线、平面之间的位置关系 §8.4.1　平　面【导学】【解析】 【导学目标】 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系； 2.掌握有关平面的三个公理； 3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系。 【导学重点】能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用 【导学难点】用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实 【知识要点】 1．平面 (1)平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的． (2)平面的画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向． (3)平面的表示方法 我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD． 2．点、线、面之间的关系及符号表示=====A是点，l，m是直线，α，β是平面． 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 3．平面的性质 基 本 事 实 文字语言 图形语言 符号语言 基 本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基 本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒ l⊂α 基 本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 4．平面性质的三个推论 推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图(1)． 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图(2)． 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图(3)． 典型例题 题型一 概念理解 【例1-1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面．(　　) (2)20个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些．(　　) (3)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A.(　　) (4)平面ABCD的面积为100 m2.(　　) (5)过三点A，B，C有且只有一个平面．(　　) 【答案】×；×；√；×；×. 【例1-2】（衔接教材P128T1）判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”. (1)书桌面是平面.(　　) (2)两个平面相交，它们只有有限个公共点.(　　) (3)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.(　　) (4)圆心和圆上两点可以确定一个平面.(　　) (5)梯形可以确定一个平面.(　　) 【答案】(1) ×；(2) ×；(3) √；(4) ×；(5) √ 【解析】 (1)平面是无限延展的，而书桌面是有大小的，只是一个平面的一部分，所以这个命题错误（×）. (2)根据平面的基本性质，两个平面相交会形成一条直线，这条直线上有无数个公共点，所以这个命题错误（×）. (3)不共线的三点可以确定一个平面，所以如果两个平面有三个不共线的公共点，这两个平面必然重合，这个命题正确（√）。 (4)如果圆上的两点和圆心在同一条直线上（比如直径的两个端点），那么这三点共线，无法确定一个平面；只有当三点不共线时才能确定一个平面，所以这个命题错误（×）。 (5)梯形有一组对边平行，根据 “两条平行直线可以确定一个平面”，梯形的四个顶点都在这个平面内，所以梯形可以确定一个平面，这个命题正确（√）。 【例1-3】下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是(　　) A． 因为A∈α，B∈α，所以AB∈α B．因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝a C．因为A∈a，a⊂α，所以A∈α D．因为A∉a，a⊂α，所以A∉α 【答案】C 【例1-4】已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系： (1)点C与平面β：____________． (2)点A与平面α：____________． (3)直线AB与平面α：__________． (4)直线CD与平面α：__________． (5)平面α与平面β：____________． 【答案】(1)C∈β; (2)A∉a; (3)AB∩α＝B; (4)CD⊂α; (5)α∩β＝AB. 【变式1】给出以下四个命题： ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 其中正确命题的个数是(　　) A．0　　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①假设存在三点共线，那么这三点确定一条直线，第四个点与这条直线可以确定一个平面，这与 “四点不共面” 矛盾。所以命题①正确; ②如果 A,B,C 三点共线，那么直线 ABC 可以与 D 确定一个平面，也可以与 E 确定另一个平面，此时D和E可能不在同一个平面内。所以命题②错误❌ ③例如，直线a是教室的地面与墙面的交线，直线b在地面，直线c在墙面，此时a与b共面，a与c共面，但b与c异面。所以命题③错误❌ ④例如，空间四边形的四条边首尾相接，但四条边不共面。所以命题④错误❌ 综上，只有命题①正确，正确命题的个数是 1 个。 题型二 图形、文字、符号语言的相互转化 【例2-1】用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC. 【答案】平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC; 【例2-2】将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β. 【答案】平面α与平面β相交于直线l，直线在平面α内，直线AC在平面β内. 【例2-3】根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点P与直线AB； (2)点C与直线AB； (3)点M与平面AC； (4)点A1与平面AC； (5)直线AB与直线BC； (6)直线AB与平面AC； (7)平面A1B与平面AC. 【答案】(1)点P∈直线AB； (2)点C∉直线AB； (3)点M∈平面AC； (4)点A1∉平面AC； (5)直线AB∩直线BC=B； (6)直线AB∩平面AC=A； (7)平面A1B∩平面AC=AB. 【变式2】已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合 【答案】C 题型三 点、线共面问题 【例3-1】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． 【答案】略 【例3-2】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 【证明】(1)如图，连接EF，CD1，A1B． ∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1． 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示． 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD． 同理P∈平面ADD1A1． 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点． 题型四 三点共线、三线共点问题 【例4-1】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在棱AA1，CC1上，且AE＝3A1E， C1F＝3CF， 求证：E，D，F，B1四点共面． 【证明】：如图，连接DF，在DD1上取一点G，使D1G＝A1E，连接EG，GC1， ∵A1E∥D1G且A1E＝D1G， ∴四边形A1EGD1是平行四边形， ∴EG∥A1D1且EG＝A1D1， 又∵A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，∴EG∥B1C1且EG＝B1C1， ∴四边形EB1C1G是平行四边形，∴EB1∥GC1， 又∵DG∥FC1且DG＝FC1， ∴四边形DFC1G是平行四边形， ∴GC1∥DF，∴EB1∥DF， 即E，D，F，B1四点共面． 【方法归纳】 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $