解答题强化训练(17)(新高考适用)-2026届高三数学三轮冲刺复习

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(17) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·辽宁大连·一模）已知函数，当时，的最小值为． (1)求函数在区间内的零点个数； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)值域为，递增区间为，递减区间为 【解题思路】（1）先由给定区间的最小值确定参数m，再解三角函数零点个数即可； （2）通过平移变换得到余弦函数，再使用整体代入法求得的值域与单调区间. 【解析】（1）函数，当时，， 则当，即时，，即， 解得，故， 当时，，由，得， 则，所以， 因此函数在区间内的零点个数为4． （2）依题意，， 因此函数的值域为； 由，，解得，， 由，，解得，， 所以函数的递增区间为， 递减区间为． 2．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据线面平行的判定定理得到平面和平面，再利用面面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量，从而得到锥体的高，最后利用锥体的体积公式即可得到答案. 【解析】（1）因为E，F分别为，的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为，，且E为的中点，所以， 则四边形为平行四边形， 则.又平面，平面，所以平面. 因为平面，平面，，所以平面平面. （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 设（），则，，，， 则，. 因为异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得， 故四棱锥的体积为. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，其中，且． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）求导，求出和，从而得到切点坐标和切线斜率，求出切线方程； （2）求导，研究导函数零点个数，求出实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，则， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即 （2）． 当时，，令， 显然单调递减，至多有一个零点， 即至多有一个零点，不符合题意． 当时， 设，则， 令，解得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以的最小值为， 当时，，且； 当时，． 若恰有两个极值点，则方程有两个解， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 4．（2026·湖南怀化·一模）在抛物线中，直线与交于两点，为的焦点.当直线为时，. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标始终为1，求的取值范围； (3)已知直线与相交于两点，直线与相交于两点（点在轴的上方），若，四边形的外接圆圆心坐标为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）联立直线与抛物线的方程，得韦达定理，进而根据弦长公式即可求解， （2）联立方程可得韦达定理，根据中点坐标公式可求解，进而根据焦半径公式，结合判别式即可得解, （3）写出的坐标，根据得，根据对称性判断圆心位于，即可根据两点距离公式代入化简求解. 【解析】（1）由题意可知， 联立直线与的方程可得， 设,则, 由弦长公式可得：, 化简可得，由于，故，（负值舍去）. 故抛物线的方程为. （2）设直线, 直线与抛物线联立可得， 故， 由于， 故， 因此的取值范围为 （3）抛物线与直线相交于故， 抛物线与直线相交于故， 根据可得， 由于轴，根据对称性可知四边形的外接圆圆心在轴上，故， 由可得， 化简可得， 将代入上式可得， 由于，可得，故，故， 进而. 5．（2026高三下·安徽合肥·专题练习）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予分的初始积分，每答对一题加分，每答错一题减分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答道题后积分小于的概率； (2)设小王答道题后积分为，求； (3)若小王一直答题，直到积分为或时停止，记小王的积分为时，最终积分为的概率为，则，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）分小王题都答错，或答对题答错题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）求出的递推公式，分析可知数列为等比数列，求得，再利用累加法和等比数列求和即可得到答案. 【解析】（1）小王答道题后积分小于，则小王题都答错，或答对题答错题， 故所求概率为. （2）设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以． 由题意知，所以， 所以． （3）（i）当小王的积分为时， 若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有，即， 整理可得． 又，所以为等比数列． （ii）由（i）可得， 所以 ， 又，所以． 所以 . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·湖南邵阳·二模）已知数列是等差数列，且，，数列满足，. (1)求的通项公式，并证明数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据题意求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；由数列满足，.根据等比数列的定义可证明数列是等比数列； （2）由分组求和法，结合等差数列、等比数列的前项和公式可求得. 【解析】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得. 所以. 由得，即， 又， 所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以. 所以. 所以. 2．（2026·湖南怀化·一模）我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：.现有①和②两种模型作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数. (1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)为刺激消费，省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源汽车，补贴6000元.若甲､乙两人近期在省购买一辆该新能源汽车的概率分别为，其中，每人最多购买一辆.求该省对甲､乙两人补贴总金额的期望值的取值范围. 参考数据：. 相关系数. 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2)元 【解题思路】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模型拟合程度更好； （2）根据已知得该省对甲､乙两人补贴总金额的期望值为，结合二次函数的性质求范围. 【解析】（1）设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. （2）由题意，甲乙买车的总数量可能值为， ， ， ， 该省对甲､乙两人买车数量期望值为， 所以两人补贴总金额期望值为，， 由在上单调递增，则， 所以. 3．（2026·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）解法一：取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用点面距离的向量公式列式求解即可； 解法二：取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，利用等体积法求得，利用求解即可. 【解析】（1）在四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四边形为菱形，所以为的中点， 因为为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）解法一：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，则. 假设存在点，使得点到平面的距离为， 设，点到平面的距离为， 则解得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 解法二：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，所以为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 又平面，所以，因为为等边三角形，边长为8， 所以，所以在， 又，可以求得， 所以， 因为，所以， 因为，所以，可得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 4．（2026·湖南邵阳·二模）已知双曲线的渐近线方程为，右焦点为，直线与相切于点. (1)若与的渐近线分别交于，两点，证明：点为线段AB的中点； (2)已知直线：，：，若与，分别交于点，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）利用双曲线的渐近线方程和焦点坐标求出双曲线的标准方程，根据直线是否存在斜率进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数关系进行运算求解证明即可； （2）根据两点间距离公式，结合（1）的结论进行求解即可. 【解析】（1）设双曲线， 由题意得：解得故双曲线方程为. 设，则 ⅰ）当切线斜率不存在时，由对称性可知，为AB的中点. ⅱ）当切线斜率存在时，设切线（或） 联立方程组：消去得：. 由，即. 又，则，， 所以，即，解得. 所以直线，又，则. 联立方程组：消去得：，因为. 则上式化简为，恒成立. 设，，则，所以为AB的中点. （2）因为与相交，则切线的斜率存在， 由（1）知，切线，将，分别代入切线的方程得 所以，，则， . 所以. 故存在，使得恒成立. 5．（2026·广东佛山·一模）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】(1) (2)在区间上为增函数，在区间上为减函数 (3)证明见解析 【解题思路】（1）先求切点，再求斜率即可. （2）讨论导数的正负，从而得到原函数的单调性. （3）分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成的极值点偏移问题，构造对称函数即可证明，另一个方向构造新函数，研究新函数的最值. 【解析】（1），所以切点 由得，， 所以切线方程为：，即： （2）的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， （3）变形为，所以． 令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 因为，则有，不妨设． 由（2）知，先证． 要证：． 令， 则， ∴在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以，所以，所以需证． 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知． $ 解答题77分三轮冲刺保分强化训练(17) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·辽宁大连·一模）已知函数，当时，的最小值为． (1)求函数在区间内的零点个数； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间． 2．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，其中，且． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，求实数的取值范围． 4．（2026·湖南怀化·一模）在抛物线中，直线与交于两点，为的焦点.当直线为时，. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标始终为1，求的取值范围； (3)已知直线与相交于两点，直线与相交于两点（点在轴的上方），若，四边形的外接圆圆心坐标为，求证：. 5．（2026高三下·安徽合肥·专题练习）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予分的初始积分，每答对一题加分，每答错一题减分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答道题后积分小于的概率； (2)设小王答道题后积分为，求； (3)若小王一直答题，直到积分为或时停止，记小王的积分为时，最终积分为的概率为，则，，求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·湖南邵阳·二模）已知数列是等差数列，且，，数列满足，. (1)求的通项公式，并证明数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 2．（2026·湖南怀化·一模）我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：.现有①和②两种模型作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数. (1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)为刺激消费，省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源汽车，补贴6000元.若甲､乙两人近期在省购买一辆该新能源汽车的概率分别为，其中，每人最多购买一辆.求该省对甲､乙两人补贴总金额的期望值的取值范围. 参考数据：. 相关系数. 3．（2026·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 4．（2026·湖南邵阳·二模）已知双曲线的渐近线方程为，右焦点为，直线与相切于点. (1)若与的渐近线分别交于，两点，证明：点为线段AB的中点； (2)已知直线：，：，若与，分别交于点，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 5．（2026·广东佛山·一模）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设为两个不相等的正数，且，证明：． $