解答题强化训练(16)(新高考适用)-2026届高三数学三轮冲刺复习

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(16) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·河北张家口·二模）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，求的面积； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理得到，进而得到，再结合余弦定理即可求解； （2）由余弦定理结合基本不等式即可求解. 【解析】（1）由及正弦定理得， 又在中，， 则， 由正弦定理得， 因为，所以由余弦定理得， 所以，所以， 由，解得， 所以的面积为. （2）由（1）知， 所以. ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 2．（2026·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)利用与的关系，消去求解即可； (2)等差与等比的乘积的数列求和用错位相减法求和即可. 【解析】（1）（1）①， 当时，，解得， 当时，②， 式子①②得，故， 因为，所以，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以； （2）（2）   ① ② ①②得： ． 3．（2026·广东·一模）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】(1)以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系,设,通过向量法可证得，即共面; (2)分别求出平面与平面的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可. 【解析】（1）由平面平面，，得平面，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设， 则， 故，， 共面. （2）设，故， 设平面的法向量为， 由， 得，取，可得； ， 设平面的法向量为， 由， 得，取，所以， ， 设平面与平面夹角为 , 即平面与平面夹角的余弦值. 4．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知椭圆的长轴长为4，焦距为，过点的直线与椭圆交于，两点，过点作轴，交椭圆于另一点（异于点，）. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求点的坐标； (3)求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据椭圆的性质计算； （2）联立与椭圆方程，然后根据的直线方程和韦达定理求定点； （3）利用韦达定理求，然后计算面积求范围即可. 【解析】（1）由题意得，，则，，， 所以椭圆的标准方程为. （2） 由题意可得直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，则， 联立得，，， ，则直线： 整理， 所以直线恒过，. （3） ， 点到直线的距离， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增，所以， 所以面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果. 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）某AI模型的商用部署需依次完成任务执行与性能测试两个核心环节，规则如下： 环节一（任务执行）：按任意顺序执行3项独立的任务，每项任务最多执行一次，每项任务执行成功后可获得对应分数，失败则不得分，当总分达到40分时立即进入环节二，任务参数如下： 任务 单次执行成功率 0.9 0.5 0.8 任务成功后得分/分 10 25 15 环节二（性能测试）：由测试员对模型的性能进行测试后得到性能指标，已知性能指标服从正态分布，企业自主设定指标阈值，当时，模型成功商用，收益为万元：当时，模型不可商用，收益为万元：若未进入性能测试，则收益为万元. (1)求模型进入环节二的概率最大值，并写出此时任务的最优执行顺序； (2)记，两个环节结束后模型总收益的数学期望为. （i）在第（1）问的执行顺序下，请用和表示； （ii）求当为何值时，取得最大值. 参考数据：当时，. 【答案】(1)或 (2)（i）万元；（ii） 【解题思路】（1）根据独立事件同时发生的概率计算公式，分情况讨论总分达到40的概率，可确定进入环节二的概率的最大值. （2）（i）根据期望的计算公式，可求期望的表达式； （ii）利用导数，结合正态分布的性质，可分析的单调性，进而可求的最大值及对应的的值. 【解析】（1）由题意，记环节一（任务执行）获得的总分为，下求不同顺序的值， 要使，至少要保证执行成功，否则不可能进入环节二，讨论如下： 以的顺序执行任务时， 当成功时，， 当不成功时，， 以或的顺序执行任务，则， 故进入性能测试的概率最大值为0.4，则最优执行顺序为或. （2）（i）由题意因为， 由（1）可知执行顺序为或， 此时进入性能测试的概率均为0.4，则未进入性能测试的概率为0.6， 在进入环节二条件下，模型成功商用的概率为，模型不可商用的概率为. 则两个环节结束后模型总收益为的概率是0.6， 模型总收益为的概率是，模型总收益为的概率是. 则 万元， （ii）由（i）可知，，其中， 满足正态分布，则， 在时不断递减，则在上恒成立， 在上单调递减. 在上单调递减. 又， 而，则， 在上恒成立， 则在上单调递减，故当时，取得最大值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为9 【解题思路】（1）由等差数列的通项公式比较系数即可求解； （2）由分组求和法和并项求和法求出，再利用其单调性即可得出最小值. 【解析】（1）设的公差为d，因为， 所以，整理得， 所以，解得， 故的通项公式为． （2）由（1）， 则 易得在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为． 2．（2026·四川宜宾·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，轴，且． (1)求C的方程； (2)过点的直线交C于不同的两点A、B，于点H，证明：直线HB过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据条件列方程组求解； （2）分直线斜率是否为零讨论，联立直线与椭圆方程，求出直线的方程，令即可结合韦达定理化简得出. 【解析】（1）将代入中得，，则， 因为，所以， 又，得， 故C的方程为； （2）若直线斜率不为，则设直线，，， 联立，得， 则， 得，， 因为，则， 则直线的方程为， 令，得， 则直线HB过定点； 若直线斜率为，则直线HB为轴，过点； 故直线HB过定点. 3．（2026·湖南邵阳·二模）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取120名学生.通过测验得到如下数据：甲校50名学生中有10名学生的数学成绩优秀；乙校70名学生中有10名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所示.     单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 10 50 乙校 10 70 合计     表（一） (1)完成表（一）列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？ (2)已知甲、乙两所学校利用AI自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为.若从甲、乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学生数学成绩有效转化的概率. 参考公式与数据： ，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 40 10 50 乙校 60 10 70 合计 100 20 120 ，认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异 (2) 【解题思路】（1）根据题意完成列联表，结合零假设、卡方公式进行运算求解判断即可； （2）利用全概率公式进行求解即可. 【解析】（1）列联表如下：     单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 40 10 50 乙校 60 10 70 合计 100 20 120 零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异. 根据列联表数据，计算得到 . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异. （2）设事件“利用AI自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”， 事件“该学生来自甲校”，事件“该学生来自乙校”，则 ，，且，， 则， 所以该学生数学成绩有效转化的概率为. 4．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正四棱台中，为的中点，. (1)证明：； (2)平面把四棱台分成两部分，体积分别是和，求的值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）结合题意作出图形，利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用线面垂直的性质证明即可. （2）利用割补法对原图形作出处理，再求解体积比即可. （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合面面夹角的向量求法求解即可. 【解析】（1）由题意知四边形为正方形，则， 将正四棱台还原为正四棱锥， 如图，作出符合题意的图形， 则平面，又平面，得到， 因为，，平面， 所以平面，因为平面， 所以，即. （2）利用平面把棱台分成三棱锥和几何体， 设，由题意得， . 因为， 所以，，故. （3）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， ，，， 所以，， ，， 设平面的法向量为， 则，可得， 取，则，，得到， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设有且仅有一个极值点，求a的取值范围； (3)若函数存在2个极值点，且满足，求证：． 【答案】(1)2x＋y－2＝0 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据直线的点斜式方程求解； （2）由题意，可得有且只有一个变号根，通过求导，判断函数的单调性和图象趋势，即可求得参数范围； （3）由得，令，求导判断函数单调性，推得，结合，得到，令，判断其单调性，得在上存在唯一解，再由零点存在定理即可证得. 【解析】（1）当时，， ，且， 故在处的切线方程为，即2x＋y－2＝0， （2）， ， 由＝0可得，令，x>0， 则 令，在上单调递减，且， 则当时，，则，即在上单调递增， 时，，，即在上单调递减， 且又时，，时，， 由题得，有且只有一个变号根，故 （3）由 ，可得， 令，则，由得，由，得. 故在上单调递增，在上单调递减，且，当时，， 因，对于，有，，故，， 则由，又，故， 令，则， 因，则，故在上单调递增， 又， 则在上存在唯一解，∴ 又，， 则有，故可得． $ 解答题77分三轮冲刺保分强化训练(16) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·河北张家口·二模）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，求的面积； (2)求的最小值. 2．（2026·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和为． 3．（2026·广东·一模）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 4．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知椭圆的长轴长为4，焦距为，过点的直线与椭圆交于，两点，过点作轴，交椭圆于另一点（异于点，）. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求点的坐标； (3)求面积的取值范围. 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）某AI模型的商用部署需依次完成任务执行与性能测试两个核心环节，规则如下： 环节一（任务执行）：按任意顺序执行3项独立的任务，每项任务最多执行一次，每项任务执行成功后可获得对应分数，失败则不得分，当总分达到40分时立即进入环节二，任务参数如下： 任务 单次执行成功率 0.9 0.5 0.8 任务成功后得分/分 10 25 15 环节二（性能测试）：由测试员对模型的性能进行测试后得到性能指标，已知性能指标服从正态分布，企业自主设定指标阈值，当时，模型成功商用，收益为万元：当时，模型不可商用，收益为万元：若未进入性能测试，则收益为万元. (1)求模型进入环节二的概率最大值，并写出此时任务的最优执行顺序； (2)记，两个环节结束后模型总收益的数学期望为. （i）在第（1）问的执行顺序下，请用和表示； （ii）求当为何值时，取得最大值. 参考数据：当时，. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 2．（2026·四川宜宾·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，轴，且． (1)求C的方程； (2)过点的直线交C于不同的两点A、B，于点H，证明：直线HB过定点． 3．（2026·湖南邵阳·二模）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取120名学生.通过测验得到如下数据：甲校50名学生中有10名学生的数学成绩优秀；乙校70名学生中有10名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所示.     单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 10 50 乙校 10 70 合计     表（一） (1)完成表（一）列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？ (2)已知甲、乙两所学校利用AI自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为.若从甲、乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学生数学成绩有效转化的概率. 参考公式与数据： ，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正四棱台中，为的中点，. (1)证明：； (2)平面把四棱台分成两部分，体积分别是和，求的值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设有且仅有一个极值点，求a的取值范围； (3)若函数存在2个极值点，且满足，求证：． $