山东省青岛市青岛西海岸2025-2026学年九年级自主招生考试数学模拟（2）含多选

山东省青岛市青岛西海岸2025-2026学年 九年级自主招生考试数学模拟（2） 一、单选题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 1．（本题4分）把一元二次方程配方成的形式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， ∴， 则， ∴． 故选：C． 2．（本题4分）估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简、无理数的大小估算 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及无理数的估算．熟练掌握二次根式乘法法则，“夹逼法”估算是解题的关键． 先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值在0和1之间． 故选：A． 3．（本题4分）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查不等式组的解集，首先解出不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，得到a的取值范围． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∵关于x的不等式组有四个整数解，而的四个整数是9，10，11，12， ∴， 解得， ∴a的取值范围是， 故选：A． 4．（本题4分）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，解题的关键是设出点的坐标表示出线段长度，结合中点性质求出的高，再利用面积公式计算． 设点A的横坐标为，根据反比例函数解析式表示出A、B两点坐标，求出的长度；由D是中点得出点D到的距离；最后代入三角形面积公式计算． 【详解】解：设点的坐标为（）． 轴， 点的横坐标为，点的横坐标为． 点在的图象上， 点的坐标为． 点在的图象上， 点的坐标为． ， 即． 点是的中点， 点到直线（直线）的距离为． ． 故选：D． 5．（本题4分）如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、求其他不规则图形的面积 【分析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积与扇形的面积的差，进而即可求解． 【详解】解：如图令，分别交于，， ∵是的内切圆，切点分别为G，D，R， ∴图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、多选题（本大题共2小题，每题5分，共10分，少选得2分，错选不得分） 6．（本题5分）下列函数中，当0≤x≤2时，y随x的增大而减小的是（　　） A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣4x+5 C．y＝x2 D．y＝ 【答案】AB 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数的增减性 【分析】利用一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质判定即可． 【详解】解：A、y=-x+1， ∵k=-1＜0， ∴当0≤x≤2时y随x的增大而减小，说法正确， B、y=x2-4x+5， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2， ∴当0≤x≤2时y随x的增大而减小，说法正确， C、y=x2， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当0≤x≤2时y随x的增大而增大，说法错误； D、y= ， ∴双曲线在一，三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∴当0＜x≤2时y随x的增大而减小，而x不能为0，故原说法错误， 故答案为AB． 【点睛】本题综合考查二次函数、反比例函数、一次函数的增减性（单调性），熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的性质是解题的关键． 7．（本题5分）如图1，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是．设同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图2（曲线为抛物线的一部分），下列结论正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．当时，的面积为 D．当时，与相似 【答案】BC 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定，解直角三角形．根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从秒到秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各小题分析解答即可． 【详解】解：根据图（1）可得，当点到达点时，点到达点， ∵点、的运动的速度都是秒， ， ， 根据图（2）得，从到的变化是秒， ， ， 在中，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，故A错误，不符合题意； ∵， ∴点的坐标为，故B正确，符合题意； 如图（1）过点作于点， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ∴的面积为， 故C正确，符合题意； 当秒时，点在上， 此时，，，， ∴，与不相似， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与不相似，故D错误，不符合题意． 故选：BC． 三、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 8．（本题4分）在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量一建筑物的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得建筑物顶端的俯角为，底端的俯角为，则该建筑物的高度为_______ ．(，) 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】设交距水平地面的水平线于点，根据，求出，再根据，求出可得结论． 【详解】解：如图，延长交距水平地面的水平线于点，过作地面于点， ，， ， ， ， ， ， ． 9．（本题4分）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】先根据方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解，最后取交集得到的最终取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根． ∴． 解得 ． 由根与系数的关系可得：，． 将其代入得： ． 解得 ． ∴的取值范围为． 10．（本题4分）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、与三角形中位线有关的求解问题、等边三角形的性质 【分析】根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 11．（本题4分）如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点A落在点F处，分别延长交于点G，H，若点E是边的中点，则_________． 【答案】 【知识点】正方形折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】根据折叠的性质可得，连接，设，由勾股定理得，从而求出x的值，得出，再证明，利用相似三角形对应边成比例可求出即可． 【详解】解：连接如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E为的中点， ∴ 由折叠得， ∴， 设 ∵， ∴ 在中，， ∵ ∴， ∴， 在中， ∴ 解得（舍去） ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 即 解得． 12．（本题4分）如图，在中，，点E，F分别是的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且，，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论；①，②AD平分，③，④．则其中正确的结论有______（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、多边形内角和问题 【分析】①根据四边形的内角和为，计算便可判断①的结论；②连接、，根据垂直平分线的性质得，，，进而由等腰三角形的性质得结论，从而得出②的结论；③证明，，，得出，设，则，得出，根据，即可得出，即可判断③的结论；④由，，当时，，，此时，由此判断④的结论． 【详解】解：①，， ， ， ， ①的结论正确； ②连接、，如图， 点，分别是的边、的中点，且，， ，，， ，，，，， ， 平分， ②的结论正确； ③点，分别是的边、的中点，，， ，， ，， ， ， ， 平分，又，则， 设，则， ，则， ，即 ③的结论正确； ④，， ， ， 当时，则， ， ， ， 不是等边三角形， ， ④的结论不正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题是三角形的一个综合题，主要考查了三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，四边形的内角和定理，考查的知识点多，难度增大，正确地作辅助线是解决本题的关键． 四、解答题（本大题共4小题，共50分） 13．（本题10分）阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． (1)请参照例题解方程； (2)拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 【答案】(1)， (2)2或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）分两种情况分析：当时，当时，分别解一元二次方程即可； （2）分两种情况分析：①当时，②当时，然后根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （2）∵， ①当时，， ②当时，m、n是方程的两根， ∴，， ∴原式． ∴的值为2或． 14．（本题10分）纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年主题电影展映活动在某公园举行，现要在一个抛物线形状的景观拱桥下方悬挂矩形幕布，其横截面如图所示，经测量拱桥占地面最宽处米，最高处点距地面4米（即米），该幕布（矩形）周长为22米． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的表达式； (2)试求出该放映幕布的悬挂高度（的长度）； (3)为便于幕布悬挂，公园现有高度为米的高脚凳供工人师傅使用，根据工人师傅身高及作业安全，凳子的高度距离悬挂点需介于米到2米之间，请问该高脚凳是否可以供工人安全使用？并说明理由． 【答案】(1) (2)3米 (3)该高脚凳可以供工人安全使用．见详解 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象和性质，合理建系、利用已知点求函数解析式，以及结合几何关系列方程求解是解题的关键． （1）以所在直线为轴，所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，设其表达式为，将点代入即可求解； （2）设的长度为米，（米），根据轴对称的性质得到点E的坐标，将点坐标代入抛物线表达式求得即可； （3）先求出悬挂点与高脚凳的高度差，再与凳子的高度距离悬挂点需介于米到2米之间进行比较得出答案即可． 【详解】（1）解：以所在直线为轴，所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系， ，，， 抛物线顶点为,设其表达式为，将点代入，得 ， 化简得,解得， 拱桥所在抛物线的表达式为； （2）解：设的长度为米．则米． 矩形关于轴对称，点的横坐标为，纵坐标为，故点坐标为． 将点坐标代入抛物线表达式， ， 解得，，（不合题意，舍去） 该放映幕布的悬挂高度3米； （3）解：该高脚凳可以供工人安全使用．理由如下： 高脚凳高度为米，悬挂高度米， 悬挂点与高脚凳的高度差为米， 凳子的高度距离悬挂点需介于米到2米之间，而，满足安全要求， 该高脚凳可以供工人安全使用． 15．（本题12分）如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是⊙O上的两点，，，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，先得出，可得，利用，得出，结合，可得，即可证明； （2）证明，得出，即可求出，即可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径． 16．（本题18分）如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求a，b的值及直线的解析式； (2)如图1，点是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点，过作轴于点，交于点， (ⅰ)若，求点P的坐标， (ⅱ)连接，，记的面积为，的面积为，求的最大值； (3)如图2，将抛物线位于轴下方面的部分不变，位于轴上方面的部分关于轴对称，得到新的图形，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与新的图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)(ⅰ)；(ⅱ) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求解析式，先求得抛物线解析式，得出点，然后待定系数法求一次函数解析式即可求解； （2）（i）设 ，则，，得出，是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，建立方程，解方程，即可求解； （ii）过作轴，交于点，则，得出，根据相似三角形的性质得出面积比，进而根据二次函数的性质，即可求解． （3）先求得折叠部分的抛物线解析式为，观察函数图象，可得当经过点时，当与只有一个交点，直线与新的图形有三个不同交点，进而求得的值，根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：依题可得：    解得：                                               ∴， 令，得，即 设直线的解析式为，将，代入得：   解得： 直线的解析式为 （2）解：设 ，则， （i）， 是等腰直角三角形                                   ， ， 是等腰直角三角形， ，解得，舍 点的坐标为                                       （ii）如图， 过作轴，交于点，则，则， ∴ ，              当时，有最大值为； （3）解：依题意， 新的图形的顶点坐标为 则新的抛物线解析式为 设平移后的直线解析式为 当经过点时，有3个交点，即 解得：， 当与只有一个交点， 则 消去得， 即 ∴ 解得： 结合函数图象可得：； 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，轴对称的性质，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 试卷第16页，共21页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $山东省青岛市青岛西海岸2025-2026学年 九年级自主招生考试数学模拟(2) 一、单选题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 1.(本题4分)把一元二次方程x2-2x-1=0配方成(x+m)2=n的形式，结果正确的是（) A.(x-1)2=0 B.(x-1)2=1 C.(x-1)2=2 D.(x+1)2=2 2.(本题4分)估计√⑧(5-√2)的值应在() A.0和1之间 B.1和2之间 C.2和3之间 D.3和4之间 2x<3(x-3)+1 3.(本题4分)关于x的不等式组3x+2>x+a 有四个整数解，则a的取值范围是() 4 A.Hsas-B.cas-3 2 4 2 4.(本题4分)如图，点A在反比例函数y=二的图象上，点B在反比例函数y=4的图象上，AB∥y 轴，交x轴于点C,连接OA,取OA的中点D,连接BD,则△ADB的面积为() 2 D B A.16 B.8 C.4 D.2 5.(本题4分)如图，己知ABC中，∠C=70°，AB=10,内切圆⊙0半径为3，则图中阴影部分面积 和是() 1/5 A.15-25 B.15-15 C.20-15 元 4 D.20-25 4 二、多选题（本大题共2小题，每题5分，共10分，少选得2分，错选不得分） 6.(本题5分)下列函数中，当0<2时，y随x的增大而减小的是（) A.y=-x+1 B.y=x2-4+5 C.y=x2 D.y=2 7.(本题5分)如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P,Q同时从点B出发，点P沿折线 BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s,设 P,Q同时出发t秒时，BPQ的面积为y℃m2.已知y与t的函数关系图象如图2（曲线OM为抛物线的 一部分)，下列结论正确的是() E D 10 MN B 57 图1) 图(2) A.cos∠EBC=4 5 B.H点的坐标为11,0 C.当t=4时，BPQ的面积为6.4cm2 D当t=时，△ABE与△QBP相似 三、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 8.(本题4分)在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量一建筑物的高度，具体过程如下：如 图，将无人机垂直上升至距水平地面60m的C处，测得建筑物顶端A的俯角为42°，底端B的俯角为63° ，则该建筑物的高度为 —n.(am420*8,an69s2) 2/5 42℃ 63 A 60m B 地面 9.(本题4分)若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个实数根x1,x2,且x+x2+3xx2≥5，则 m的取值范围为 10.(本题4分)如图，ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E,作ED∥AB,EF∥AC, 得到四边形EDAF,它的周长记作C;取BE中点E,作E,D,∥FB,E,F∥EF,得到四边形EDFF, 它的周长记作C2，,照此规律作下去，则C27=· E B F F 11.(本题4分)如图，折叠边长为8cm的正方形纸片ABCD,折痕是BE,点A落在点F处，分别延长 BF,EF交CD于点G,H,若点E是AD边的中点，则GH= cm」 D A 12.(本题4分)如图，在ABC中，∠BAC=120°，点E,F分别是ABC的边AB、AC的中点，边 BC分别与DE、DF相交于点H,G,且DE⊥AB,DF⊥AC,连接AD、AG、AH,现在下列四个结论： ①∠EDF=60°，②AD平分∠GAH,③∠B=∠ADF,④GD=GH.则其中正确的结论有（填序 号) 3/5 四、解答题（本大题共4小题，共50分） 13.(本题10分)阅读下面材料，再解方程： 解方程x2-x-6=0 解：当x≥0时，原方程化为x2-x-6=0,解得：x=3,x2=-2(不合题意，舍去)； 当x<0时，原方程化为x2+x-6=0,解得：x1=-3,x2=2(不合题意，舍去)： “原方程的根是x=3,x2=-3. (1)请参照例题解方程x2-x-1-3=0: (2)拓展应用：已知实数m,n满足：m-7m+2=0,-7m+2=0,求：”+”的值. m n 14.(本题10分)纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年主题电影展映活动在某公园 举行，现要在一个抛物线形状的景观拱桥下方悬挂矩形幕布，其横截面如图所示，经测量拱桥占地面最 宽处AB=16米，最高处点C距地面4米（即0C=4米），该幕布（矩形EFGH)周长为22米. G H B (1)请建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的表达式； (②)试求出该放映幕布的悬挂高度(EH的长度)： (3)为便于幕布悬挂，公园现有高度为1.2米的高脚凳供工人师傅使用，根据工人师傅身高及作业安全， 凳子的高度距离悬挂点需介于1.7米到2米之间，请问该高脚凳是否可以供工人安全使用？并说明理由. 15,(本题12分)如图，AB是O0的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE=CB, ∠BCD=∠CAB,延长AE交BC的延长线于点F 4/5 B D (1)求证：CD是O0的切线： ②若a4C4B-号，80=4，求00的半径： 16.(本题18分)如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C ,连接BC. B 图1 图2 (I)求a,b的值及直线BC的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E,过P作PF⊥x轴于点F, 交BC于点G, (i)若EP=EG,求点P的坐标， (i)连接CP,CA,记aPCE的面积为S,△ACE的面积为S,求三的最大值， S (3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形， 将直线BC向下平移个单位，得到直线1，若直线1与新的图形有四个不同交点，请直接写出的取值 范围。 5/5