山东省青岛市西海岸新区2025-2026学年自主招生考试数学-专题练习五、方程问题（2）

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题五、方程问题（2）（适中版） 一、单选题 1．满足方程组的正整数组（x，y，z）的组数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】理由：由原方程组可得 因为x，y，z都是正整数，且31是质数，所以由②，可得            ③ 由③得，． 由①得，，                  ④ 则x可取1，3，5，15，17，此时z分别为254，84，50，16，14． 结合③，只有两组解满足． 2．若，，则代数式的值等于（    ） A．-13 B． C．-15 D． 【答案】A 【解析】略 3．已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．不少于2个但有限个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题主要考查了不定方程问题，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是反证法的应用． 由直线，可得，如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点，可得，都是整数，即可得，都是偶数，与中13为奇数矛盾，即可得出答案． 【详解】解：由直线， 得， 如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点， 得，都是整数， 得，都是偶数， 与中13为奇数矛盾， 故选：A． 4．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知x2＝x+1，将所求式子变形为x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1再求解即可． 【详解】解：∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2＝x+1， ∴x3﹣2x2+2x+1 ＝x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1 ＝x2+x﹣2x﹣2+2x+1 ＝x2+x﹣1 ＝（x+1）+x﹣1 ＝2x， ∵x2﹣x﹣1＝0， ∴， ∴， 解得x＝或x＝， ∵x＞0， ∴x＝， ∴x3﹣2x2+2x+1＝1+， 故选：B． 【点睛】本题考查高次方程的解，理解题中所给降次的方法，灵活降次，准确求一元二次方程的根是解题的关键． 5．设二次函数的图象的顶点为，与轴的交点为，．当为等边三角形时，其边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设知．设，，二次函数的图象的对称轴与轴的交点为， 则． 又，则，解得或（舍去）． 所以，的边长． 6．满足等式的所有实数的和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】当即时，满足所给等式； 当即时，，满足所给等式； 当即且时，由已知等式可得：且，解得． 因此，满足等式的所有实数的和为． 7．已知等腰三角形的腰长为5，底边上一点到两腰的距离之和为，则底边长为（    ） A．4 B．6 C．6或8 D．4或6 【答案】C 【详解】设底边长为，底边上的高为，由面积相等，①，由勾股定理②，联立①②解得：或． 8．已知，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查高次方程的解法，把原方程化为：，再把看成一个整体，解一元二次方程，最后进行检验，选择正确的解 【详解】解：∵， ∴，两边同除可得，， ∴， 解之得，或， 当时，，，无解，故舍去， 当时，，． 综合得，， 故选：A． 二、填空题 9．方程的解是 ． 【答案】1005 【详解】解  因为，所以原方程化为 ， 即，所以．故填1005 10．若以x为未知数的方程无解，则 或 或 ． 【答案】 -1 -2 【详解】．方程两边乘得，整理得．当时，方程无解；当时，．要使原方程无解，必须是增根，即或2，解出或．总之，当或或时原方程无解．故应填或或． 11．若，则 ． 【答案】 【详解】因， ， 故得． 故得，两边平方后化简得， 即或． 经检验知，只有是原方程的根． 12．方程的解是 ． 【答案】 【详解】解  设，则，原方程化为， 即， 即， （舍去）． 故 ． 经检验，只有是原方程的根． 13．某人购买钢笔、圆珠笔若干支，钢笔价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量颠倒了，因此，比计划支出增加了，则此人原计划买钢笔与圆珠笔的数量比为 ． 【答案】1：4 【详解】解  设某人计划买钢笔x支，圆珠笔y支，钢笔每支a元，圆珠笔每支b元． 题意 翻译 钢笔价格是圆珠笔的2倍 故计划支出款为 由于将所买两种笔的数量颠倒了，因此实际支出款 比计划支出增加了 原计划买钢笔与圆珠笔的数量比为_______ _______ 整理得，即． 故计划买钢笔与圆珠笔的数量比为．故填． 注：在逐句翻译时，应注意将后文等量关系中涉及的一些相关量提前翻译成代数表达式，如本例中的计划支出款和实际支出款． 14．已知方程组的两组解是与，则的值是 ． 【答案】 【详解】用代入后整理得．又，所以．故应填． 二、解答题 15．已知方程组若方程组有非负整数解，求正整数m的值，并求出方程组的解． 【答案】或 【详解】将方程组中两个方程相加，便可转化为解关于m，x的不定方程． 解  将方程组中两方程相加，得． 因为原方程有非负整数解，且m为正整数，所以m的可能值为1，3，7． 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）． 故所求原方程组的解为或 16．已知长方形的长和宽都是整数，并且其面积数与周长数恰好相等，求它的长和宽． 【答案】长方形的长为6，宽为3 【详解】设长方形的长为a，宽为b，根据题意，得， 即． 因为a，b都是正整数，且，所以 解得． 因此，长方形的长为6，宽为3． 17．阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； 原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2 (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到 　 　的目的，体现了数学的转化思想． (2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0 (3)已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值． 【答案】(1)换元法；降次 (2)x1＝2，x2＝﹣3 (3)4或﹣3 【分析】（1）根据解答过程归纳出银法为换元法，换元法的目的是将高次方程降为低次方程求解； （2）运用换元法求解， （3）运用因式分解法求得a＝4b或a＝﹣3b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想； 故答案为：换元法，降次； （2）解：设x2+x＝y，原方程可变为y2﹣4y﹣12＝0， 解得y1＝﹣2，y2＝6． 当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，方程没有实数解； 当y＝6时，x2+x＝6， ∴x＝2或﹣3； 原方程有两个根：x1＝2，x2＝﹣3； （3）解：（a﹣4b）（a+3b）＝0， a﹣4b＝0或a+3b＝0， 所以a＝4b或a＝﹣3b， 当a＝4b时，=44； 当a＝﹣3b时，=-33． 即的值为4或﹣3． 【点睛】本题考查了高次方程：通过换元法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 18．已知实数满足，求的值． 【答案】 【详解】原方程可化为，所以． 19．解方程． 【答案】或 【详解】原方程中显然，故原方程可化为．又， 故原方程可化为， 所以为整数，设（n为整数），原方程又化为． 于是， 即 或．． 又n为整数，所以或，故或 20．甲、乙、丙三队要完成两项工程，B工程的工作量比A工程多，甲、乙、丙单独完成A工程所需时间分别是20天、24天和30天．为了同时完成两项工程，先派甲做A工程，乙、丙共同做B工程，经过几天后，又调丙与甲共同完成A工程，问丙与乙合作了几天？ 【答案】15天 【详解】设丙队与乙队合作x天，与甲队合作y天，则依题意可得去分母得 由此解出 答：乙、丙合作了15天． 试卷第6页，共9页 试卷第3页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题五、方程问题（2）（适中版） 一、单选题 1．满足方程组的正整数组（x，y，z）的组数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．若，，则代数式的值等于（    ） A．-13 B． C．-15 D． 3．已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．不少于2个但有限个 D．无数个 4．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（　　） A． B． C． D． 5．设二次函数的图象的顶点为，与轴的交点为，．当为等边三角形时，其边长为（    ） A． B． C． D． 6．满足等式的所有实数的和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知等腰三角形的腰长为5，底边上一点到两腰的距离之和为，则底边长为（    ） A．4 B．6 C．6或8 D．4或6 8．已知，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 二、填空题 9．方程的解是 ． 10．若以x为未知数的方程无解，则 或 或 ． 11．若，则 ． 12．方程的解是 ． 13．某人购买钢笔、圆珠笔若干支，钢笔价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量颠倒了，因此，比计划支出增加了，则此人原计划买钢笔与圆珠笔的数量比为 ． 14．已知方程组的两组解是与，则的值是 ． 二、解答题 15．已知方程组若方程组有非负整数解，求正整数m的值，并求出方程组的解． 16．已知长方形的长和宽都是整数，并且其面积数与周长数恰好相等，求它的长和宽． 17．阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； 原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2 (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到 　 　的目的，体现了数学的转化思想． (2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0 (3)已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值． 18．已知实数满足，求的值． 19．解方程． 20．甲、乙、丙三队要完成两项工程，B工程的工作量比A工程多，甲、乙、丙单独完成A工程所需时间分别是20天、24天和30天．为了同时完成两项工程，先派甲做A工程，乙、丙共同做B工程，经过几天后，又调丙与甲共同完成A工程，问丙与乙合作了几天？ 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $