2025-2026学年山东省青岛市西海岸新区自主招生考试数学-专题十二、二次函数（2）（适中版）

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题十二、二次函数（2）（适中版） 一、单选题 1．对于函数，下列说法正确的有（　　）个 ①图象关于轴对称； ②有最小值； ③当方程有两个不相等的实数根时，； ④直线与的图象有三个交点时， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、含绝对值的函数图象和性质．本题的关键是通过讨论自变量的取值范围将绝对值号去掉，即转化成二次函数进行求解． 分别求出当和时的函数值，从而可判断图象是否关于y轴对称，可判断①．当和时两种情况，去掉绝对值号，从而可分别求出函数的最小值，从而可求出最小值，可判断②．画出函数的图象，当函数图象与直线有两个交点时，即求出m的取值范围，可判断③．构造函数，画出函数图象，则可求出b的范围使得该函数和直线有三个交点，可判断④． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴当时和当时，对应的函数值相等， ∴图象关于轴对称，故①正确； 当时，， ∴当时，y有最小值， 当时，， ∴当时，y有最小值， 综上所述，函数有最小值，故②正确； 画出函数图象如图， 观察图象得：当或时，函数的图象与直线有两个交点， 即当方程有两个不相等的实数根时，或，故③错误； ∵直线与的图象有三个交点， ∴有三个不相等的实数根， 设， 当时，， 当时，， 画出函数图象如下： 观察图象得：当或时，函数的图象与直线有三个交点，故④错误； 故选：B 2．已知点，在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】把代入后表示出，再根据最大值求出k，最后把代入即可． 【详解】把代入得： ∴ ∵的最大值为9 ∴，且当时，有最大值，此时 解得 ∴直线解析式为 把代入得 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据的最大值为9求出k的值． 3．如图，二次函数在第一象限的图象上有三点、、，这三点的横坐标为连续的三个整数、、，过这三点分别作轴的垂线，垂足分别为点、、，直线交线段于点，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，梯形的中位线性质，先根据题意得出,，根据梯形的中位线性质得出的长度，再表示，最后根据求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】∵二次函数在第一象限的图象上有三点、、，这三点的横坐标为连续的三个整数、、，过这三点分别作轴的垂线，垂足分别为点、、， ∴,， ∴， 当时，， ∴， 故选：A． 4．如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，现将进行等分，分点分别为点，过各分点的垂线分别交二次函数的图象于点，记的面积分别为、，当越来越大时，最接近的常数是（    ）．    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，理解二次函数图象的特点，运用极限思想分析问题是关键．先求出函数：的图象与轴的正半轴相交于点坐标，再根据题意得到三角形的面积计算方法，最后根据计算结果可推出最佳答案． 【详解】解：由题意可得：的图象与轴的正半轴相交于点 ， ， 当越来越大时，最接近的值为． 故选：B． 5．已知开口向上的抛物线经过点，且，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式的变形进行计算，由抛物线过点得出，结合以及抛物线开口向上得出，由题意得出、是一元二次方程的两根，由一元二次方程根与系数的关系得出，再由，计算即可得出答案． 【详解】解：抛物线经过点， ， ， 由得， 抛物线开口向上， ， ， 解得， 抛物线经过点， 、是一元二次方程的两根， ， ， ， 故选：C． 6．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可． 【详解】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为， 由题意可得，代入函数关系式，得，解得， 抛物线的解析式为， ， 可设，代入抛物线的解析式，得， ， ， ， 最低水位与最高水位之间的距离为8米． 故选：A． 7．已知关于x的二次函数与x轴交于不同的两点，则实数，的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点横坐标的大小比较，根据数轴上，越靠右，数越大，计算判断即可． 【详解】解法1构造一元二次方程根法 如图，设抛物线，令得， 解得，且； 令得，即， 设直线与抛物线的两个交点坐标为，，且， 则是方程的两个根， 即抛物线与ｘ轴的两个交点的横坐标， 根据图象，得， 故选Ａ． 解法2抛物线平移法 如图，设抛物线，令得， 解得，且； 抛物线可视为由抛物线向上平移一个单位长度后得到， 根据抛物线开口越大，与ｘ轴交点到对称轴的距离越大，设抛物线 与ｘ轴的两个交点的横坐标分别为，且， 根据图象，得， 故选Ａ． 8．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于，我们称为这个函数的不动点，如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题以新定义为背景，考查了二次函数图象和一次函数图象的交点与系数间的关系，本题亦可以转化为方程的解来解题． 由题意得不动点的横坐标相等，即在直线上，故二次函数与直线有两个交点，且横坐标满足，可以理解为时，一次函数的值大于二次函数的值． 【详解】解：由题意得：不动点在一次函数图象上， ∴一次函数与二次函数的图象有两个不同的交点， ∵两个不动点，满足， 时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值， ， ． 故选：C． 二、填空题 9．如图，二次函数与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，点为线段上一点，将线段按逆时针方向旋转后得到线段，若点恰好落在二次函数在第一象限的图象上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合性质，掌握数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转换是解题的关键． 根据二次函数解析式求出点A、B、C、的坐标，然后求出线段的解析式，由全等三角形的性质得到，，设点D为，则用含m的式子可表示出点E的坐标，将点E的坐标代入抛物线的解析式可求得m的值，从而得到点D的坐标． 【详解】二次函数与轴交于点（点在点左边），与轴交于点， 令，则， ， 点A坐标为，点B坐标为， 令，则， 点C坐标为， 设线段的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 线段的解析式为， 作轴于点M，作轴于点F ，，, , 线段按逆时针方向旋转后得到线段， ，即， ， ， ， 设 点在第一象限上， ，， 点恰好落在二次函数在第一象限的图象上， 解得：，（舍去）， ； 故答案为： 10．小慧同学根据学习函数的经验，对函数的图象和性质作了四个推测：①图象是一个轴对称图形；②当时，有最大值等于；③的值随着的增大而减少；④当时，的值随着的增大而减小．则正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】本题主要涉及函数的图象与性质，通过对函数进行变形、分析等方法来判断各个推测的正确性；对函数解析式对函数，进行变形，然后根据非负数性质得到函数的最大值，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取最大值，即，最大，图象不对称，故①错误；②正确； 当时，随增大而增大，故③错误； 当时，随增大而减小，故④正确； 故答案为：②④． 11．已知抛物线：，把绕点旋转，得到抛物线，则的解析式为 ；在和构成的封闭区域内作直线轴，分别交和与点M，N，则的最大值为 ． 【答案】 12 【分析】先求出抛物线的顶点为，与x轴交点为和，由旋转的性质可得抛物线的顶点为，图像上的两点和，设二次函数的顶点式，代入即可求出解析式；设则，可得，进而可求最值； 【详解】解：在中，令得或， ∴抛物线的顶点为，与x轴交点为和， 将绕点旋转，得到抛物线的顶点为； 将和绕点旋转，分别得到图像上的点和； 设抛物线的解析式为，把代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； 如图： 设则， ， 由可得，， ∵在和构成的封闭区域内作直线轴，分别交和与点M，N， ∴当时，取最大值12； 故答案为：；12． 【点睛】本题考查二次函数与几何变换，二次函数的最值问题，解题的关键是根据已知求出抛物线的解析式； 12．如果抛物线与x轴交于点，且，记n的最大值为的最小值为，那么 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查二次函数与x的交点问题，一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 令，即，利用根与系数的关系得到，，然后由题意得到，然后由，求出，然后由求出，进而求解即可． 【详解】∵抛物线与x轴交于点， ∴令，即 ∴， ， ， ，， ∴，即； 由，得， 即，． 故答案为：． 13．如图，点A是抛物线与的公共顶点，过点A的直线与抛物线，的另一个交点分别为B，C，若，则的值是 ．    【答案】 【分析】根据，可知点B的横坐标是点C横坐标的二倍，设出它们的横坐标，代入函数解析式，利用纵坐标的关系列出方程即可求解． 【详解】解：因为点A是抛物线与的公共顶点，过点A的直线与抛物线，的另一个交点分别为B，C，且， 所以，点B的横坐标是点C横坐标的二倍，设出它们的横坐标分别为，， 则纵坐标为，， 所以，， 化简得，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是根据题意得出两个点横坐标的关系，代入函数解析式求解． 14．如图，在中，轴，轴，点A在抛物线上，点在轴正半轴上，点在抛物线上，过点A平行于轴的直线交抛物线于点，交抛物线于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】设点，根据二次函数和直角坐标系的性质，分别求出点A横坐标、点D横坐标、点E横坐标，通过计算即可完成求解． 【详解】解：设点， 根据题意，得点C纵坐标为，点E纵坐标为 ∵点在抛物线上 ∴点C横坐标 ∴点A横坐标 ∵点A在抛物线上， ∴点A纵坐标 ∴点D纵坐标 ∵点在抛物线上 ∴点D横坐标 ∴ ∵点E纵坐标为，点E在抛物线上， ∴点E横坐标 ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题 15．如图，矩形的边分别在平面直角坐标系的轴、轴上，且已知点． (1)写出在轴上使得为等腰三角形的点的坐标； (2)动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动；同时，点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，求的面积与点、移动的时间之间的函数关系式，并求出为何值时，的面积有最小值？最小值是多少？ (3)是否存在使的时刻？若存在，求出这样的时刻；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或或或或 (2)，当时，的面积有最小值，最小值是 (3)存在，使 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，分三种情况，利用坐标与图形、矩形性质、勾股定理分别求解即可； （2）利用矩形和三角形的面积公式列函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 当时，如图， 则，∴或； 当时，如图， 则， ∴，或， 则或； 当时，如图， 则，∴， 综上，满足条件的点D坐标为或或或或； （2）解：如图，，，则，， ∴的面积 ， ∵，， ∴当时，S有最小值，最小值为； （3）解：如图， 假设存在， 则，即， 解得， 故存在，使． 【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形、等腰三角形的定义、勾股定理、二次函数的性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用函数思想和分类讨论思想求解是解答的关键． 16．今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人． （1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几； （2）若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 和 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【答案】（1）四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%；（2）①798万元，②当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元 【分析】（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为，则四月份的游客为人，五月份的游客为人，再列方程，解方程可得答案； （2）①分别计算购买甲，乙，丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案；②设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收入为万元，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案． 【详解】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得 解这个方程，得（舍去） 答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%． （2）①由题意，丙种门票价格下降10元，得： 购买丙种门票的人数增加：（万人）， 购买甲种门票的人数为：（万人）， 购买乙种门票的人数为：（万人）， 所以：门票收入问； （万元） 答：景区六月份的门票总收入为798万元． ②设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收入为万元， 由题意，得 化简，得， ， ∴当时，取最大值，为817.6万元． 答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，掌握利用二次函数的性质求解利润的最大值是解题的关键． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； （2）∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L顶点A的坐标是，且过点．    (1)求抛物线L的解析式． (2)①若横坐标为t的点P是抛物线L上位于A，B之间的一点，连接，设的面积为S，请求出S关于t的函数解析式； ②将抛物线L沿着射线平移线段个单位长度得到抛物线，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设抛物线L的解析式为：，将点代入即可求解； （2）①作轴交于点，求出直线的解析式，根据即可求解；②将抛物线L沿着射线平移线段个单位长度相当于向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度． 【详解】（1）解：设抛物线L的解析式为： 将点代入得： 解得： ∴抛物线L的解析式为： （2）解：①作轴交于点，如图：    设直线的解析式为： 将点代入得： ∴直线的解析式为： ∵ ∴点，则点 ∴ ②∵直线的解析式为： ∴将抛物线L沿着射线平移线段个单位长度相当于向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 ∴抛物线的解析式为： 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、二次函数与面积问题、抛物线的平移等．掌握二次函数顶点式是关键． 19．如图1，以边长为16的正方形的顶点为原点建立直角坐标系，分别在轴、轴的正方向上． (1)求以轴为对称轴，且经过点的抛物线的函数解析式； (2)平移正方形，但保持抛物线与对应边交于点、与对应边交于点，且点不与点重合，点不与点重合，如图2，设点的坐标为，． ①当时，求出点的坐标； ②在①的条件下，直接写出的取值范围； ③当时，是否存在实数使得点为边的中点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①，，②，③当时，不存在实数使得点为边的中点． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用． （1）利用待定系数法即可求解； （2）①利用等腰三角形的性质求得点的横坐标为8，据此即可求解； ②由①的结论即可求解； ③当时，求得点．根据中点的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知点， 设所求函数解析式为， 则，解得， 所求抛物线的解析式为； （2）解：①，点， ∴点的横坐标为8， 从而纵坐标为，即点； ∴点的纵坐标为， ∴， 解得（舍），或， 点； ②由①中点的横坐标为8，则点的横坐标最大为8，即， 点的横坐标为，此时点的横坐标最小为， ∴； ③当时，由得（舍），或，即点． 由点为边的中点，得点， 点， 而此时，由得点的纵坐标为， ， 解得（舍），或， ∴点， 而点与重合，不符合题意！ ∴当时，不存在实数使得点为边的中点．. 20．中国古代数学家秦九韶和古希腊数学家海伦分别提出了一般三角形面积的计算方法： ①；②． （其中为三角形的三边长，为面积） (1)请证明：； (2)如图，线段，点在上，且，点是线段上一点，分别以为圆心，的长为半径画圆，和交于点，直接写出的面积的最大值：_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了乘法公式的应用，二次函数的图象与性质． （1）对被开方数的字母因式利用乘法公式变形即可完成； （2）设，则，利用表示出面积，再利用二次函数知识即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴； （2）解：设，则，， ∴， ∴ ， 而对于，当时，它有最大值3， ∴有最大值； 故答案为：． 试卷第20页，共25页 试卷第21页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题十二、二次函数（2）（适中版） 一、单选题 1．对于函数，下列说法正确的有（　　）个 ①图象关于轴对称； ②有最小值； ③当方程有两个不相等的实数根时，； ④直线与的图象有三个交点时， A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知点，在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为（    ） A． B．2 C． D．1 3．如图，二次函数在第一象限的图象上有三点、、，这三点的横坐标为连续的三个整数、、，过这三点分别作轴的垂线，垂足分别为点、、，直线交线段于点，则的长度为（   ） A． B． C． D． 4．如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，现将进行等分，分点分别为点，过各分点的垂线分别交二次函数的图象于点，记的面积分别为、，当越来越大时，最接近的常数是（    ）．    A． B． C． D．1 5．已知开口向上的抛物线经过点，且，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 7．已知关于x的二次函数与x轴交于不同的两点，则实数，的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 8．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于，我们称为这个函数的不动点，如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，二次函数与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，点为线段上一点，将线段按逆时针方向旋转后得到线段，若点恰好落在二次函数在第一象限的图象上，则点的坐标为 ． 10．小慧同学根据学习函数的经验，对函数的图象和性质作了四个推测：①图象是一个轴对称图形；②当时，有最大值等于；③的值随着的增大而减少；④当时，的值随着的增大而减小．则正确结论的序号是 ． 11．已知抛物线：，把绕点旋转，得到抛物线，则的解析式为 ；在和构成的封闭区域内作直线轴，分别交和与点M，N，则的最大值为 ． 12．如果抛物线与x轴交于点，且，记n的最大值为的最小值为，那么 ． 13．如图，点A是抛物线与的公共顶点，过点A的直线与抛物线，的另一个交点分别为B，C，若，则的值是 ．    14．如图，在中，轴，轴，点A在抛物线上，点在轴正半轴上，点在抛物线上，过点A平行于轴的直线交抛物线于点，交抛物线于点，则的值为 ． 三、解答题 15．如图，矩形的边分别在平面直角坐标系的轴、轴上，且已知点． (1)写出在轴上使得为等腰三角形的点的坐标； (2)动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动；同时，点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，求的面积与点、移动的时间之间的函数关系式，并求出为何值时，的面积有最小值？最小值是多少？ (3)是否存在使的时刻？若存在，求出这样的时刻；若不存在，请说明理由． 16．今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人． （1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几； （2）若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 和 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L顶点A的坐标是，且过点．    (1)求抛物线L的解析式． (2)①若横坐标为t的点P是抛物线L上位于A，B之间的一点，连接，设的面积为S，请求出S关于t的函数解析式； ②将抛物线L沿着射线平移线段个单位长度得到抛物线，求抛物线的解析式． 19．如图1，以边长为16的正方形的顶点为原点建立直角坐标系，分别在轴、轴的正方向上． (1)求以轴为对称轴，且经过点的抛物线的函数解析式； (2)平移正方形，但保持抛物线与对应边交于点、与对应边交于点，且点不与点重合，点不与点重合，如图2，设点的坐标为，． ①当时，求出点的坐标； ②在①的条件下，直接写出的取值范围； ③当时，是否存在实数使得点为边的中点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 20．中国古代数学家秦九韶和古希腊数学家海伦分别提出了一般三角形面积的计算方法： ①；②． （其中为三角形的三边长，为面积） (1)请证明：； (2)如图，线段，点在上，且，点是线段上一点，分别以为圆心，的长为半径画圆，和交于点，直接写出的面积的最大值：_______． 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $