山东省青岛市青岛西海岸2025-2026学年九年级自主招生考试数学模拟（1）

山东省青岛市青岛西海岸2025-2026学年 九年级自主招生考试数学模拟（1） 一、单选题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 1．（本题4分）在解一元二次方程时，运用因式分解法将其变为，即或，这个过程中蕴含的比较突出数学思想是（   ） A．类比 B．转化 C．特值 D．数形结合 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程过程中蕴含的数学思想，需明确各选项中数学思想的含义，结合因式分解法的解题过程进行判断即可． 【详解】解：∵解一元二次方程时，通过因式分解将原方程转化为两个一元一次方程或， 即将一元二次方程的求解问题转化为更易解决的一元一次方程的求解问题 ∴该过程中蕴含的比较突出的数学思想是转化思想． 故选：B 2．（本题4分）期末学校组织体育测试，现任意抽出60名同学的体育测试分数，并对其进行统计，如图所示．关于这60名同学的分数，下列说法正确的是（    ） A．中位数是21 B．平均数是80 C．极差是15 D．众数是85 【答案】D 【知识点】求极差、求众数、求中位数、求一组数据的平均数 【分析】本题考查了众数与中位数，极差与平均数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，最大数与最小数的差叫做极差；按照中位数、平均数、极差及众数的求法进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数为， 由图知，分数为90分与95分的人数相等且为，则平均数为 ，极差为，故只有选项D正确； 故选：D． 3．（本题4分）有下列四个算式：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A．①②⑤ B．①②③ C．④⑤ D．③④ 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的运算法则． 根据有理数的运算法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：①，①错误； ②，②错误； ③，③错误； ④，④正确； ⑤，⑤正确； 正确的算式是④和⑤， 故选：C． 4．（本题4分）已知，，且，则的值为（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算 【分析】根据绝对值的性质求出a、b的值，然后根据确定a、b的取值，代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴或，或， 又∵， ∴，， ∴． 故选：C． 5．（本题4分）如图，在矩形中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点，作射线，过点作的垂线分别交于点，垂足为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】首先根据作图可知平分，结合可证，从而得出，，接着利用勾股定理求出，得到，然后证明，利用相似比求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据相似比即可求出． 【详解】解：由作图可知，平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在矩形中，，， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ，即， ． 6．（本题4分）如图中的图象（折线）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（）和行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在行驶途中停留了；    ②汽车共行驶了； ③汽车回来时的平均速度是去时的2倍；    ④汽车自出发后至之间的行驶速度为． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据函数图象得到路程、速度、时间之间的关系，分别分析每一个选项即可． 【详解】解：，故汽车在行驶途中停留了，①正确； ，故汽车共行驶了，②正确； 汽车去时的平均速度为，汽车回来时的速度为，故汽车回来时的平均速度是去时的2倍，③正确； ，④正确， ∴正确的有4个． 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 7．（本题5分）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”将两个正方形纸片按照如图的方式摆放在一起，使三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积之和是17，的面积为11，则线段BE的长度为_____． 【答案】10 【知识点】根据正方形的性质求面积、运用完全平方公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了正方形的性质与三角形面积计算，解题的关键是利用等积变换，将阴影部分面积之和转化为两个正方形面积和的一半，再结合已知条件求出线段的长度． 【详解】解：设小正方形边长为，大正方形边长为， ． ． ∵， ， ． ∴． ， ． 故答案为：10． 8．（本题5分）如图是某公园中的植物迷宫，游客游玩迷宫时，每遇到一个岔路就随机向前或转弯继续前行（不走回头路），如果规定走进死胡同算失败，那么游客走出这个迷宫的概率为___________． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了简单的概率的求法，掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键；直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：入口向左走，共有2条路线，均是死胡同，不能走出迷宫，而入口向右，共有2条路线，其中有1条可以走出迷宫， 所以共有4条路线，只有1条路线可以走出迷宫，因此游客走出这个迷宫的概率为． 故答案为：． 9．（本题5分）如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 【答案】 【知识点】四边形中的线段最值问题、根据正方形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】连接，结合正方形性质、勾股定理求出，证明四边形是矩形即可得，再根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：连接，如下图： 正方形中，，， ， 又，， 四边形是矩形， ， 则的最小值即为的最小值， 当时，最短， 此时， ， 即的最小值为． 10．（本题5分）在锐角中，，为高，F是的中点，连接、．有以下结论：是等边三角形，当时，，其中一定正确的是________________（填写正确的序号 ）． 【答案】①②③⑤ 【知识点】等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、含30度角的直角三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定以及等腰直角三角形的性质，正确利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半这一性质是解题的关键．根据为高，是中点，利用直角三角形斜边中线性质可得，判断①；证明,，判断②；证明,结合判断③；通过举反例判断④；当时，为等腰直角三角形，结合③判断⑤． 【详解】解：为高，是的中点， 在中，; 在中，, ，①正确： ， ， ,即,②正确： ， 五点共圆（以为直径)， ， ， ， ， 又, 是等边三角形，③正确； 对于④，当为等边三角形时，， ,④错误； 当时，在中，,故 ， 又是等边三角形，,即， ，故⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 11．（本题5分）如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 _________． 【答案】9 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据得出，由相似三角形的性质得出，再由得出，从而可求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 12．（本题5分）如图，边长为1的正方形的顶点B在上，顶点A、C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形 【分析】连接，由正方形的性质可得，，从而得出，，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是边长为1的正方形， ∴，， ∴，， ∴ ． 三、解答题(本大题共4小题，共46分) 13．（本题10分）【知识技能】 材料：小明在学习一元二次方程解时，发现：若关于的一元二次方程的两个实数根为，和系数，，有如下关系： ，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，则． 【数学理解】 （1）若一元二次方程的两个实数根为，，则___________，____________． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 【答案】（），；（）． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （）利用根与系数的关系即可求解； （）利用根与系数的关系得，，然后根据即可求解． 【详解】（）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， 故答案为：，； （）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 14．（本题10分）如图，点C为矩形和正方形的公共顶点，点E，F在矩形的边，上． (1)求证：； (2)连接，若，F是的中点，求的长； (3)在（2）的条件下，猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】（1）证明即可； （2）先求出的长，再利用正方形的对角线求出； （3）过点作于点，先证明，可得，从而可得，再证明，即可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∵由（1）可知，， 在中，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 15．（本题12分）综合与实践 【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 车身总长米 素材2：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为______； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据增加1辆购物车，车身总长增加米，列出表达式即可； （2）利用勾股定理求出的长，再把代入求出的值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加米， 则， ∴车身总长与购物车数量之间的关系式为 （2）该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕．理由如下： 在中利用勾股定理得：（米）， 当时，， ∵， ∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 16．（本题14分）如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8或 (3)或或或 【知识点】角度问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）分两种情况：①当点为直线下方的抛物线上的一个动点时，先求出点的纵坐标，再代入计算即可；②当点为直线上方的抛物线上的一个动点时，设与轴交于点，先求出点的坐标，再求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可； （3）设点的坐标为，分三种情况：①，②和③，利用勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：①如图，当点为直线下方的抛物线上的一个动点时， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为， 将代入得：， 解得或（点的横坐标）， ∴此时点的横坐标为8； ②如图，当点为直线上方的抛物线上的一个动点时， 设与轴交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴此时点的横坐标为； 综上，点的横坐标为8或． （3）解：抛物线的对称轴为直线， 由题意，设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ②当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ③当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 试卷第2页，共18页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $山东省青岛市青岛西海岸2025-2026学年 九年级自主招生考试数学模拟（1) 一、单选题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）》 1.(本题4分)在解一元二次方程x2+x-6=0时，运用因式分解法将其变为x+3)(x-2)=0,即 x+3=0或x-2=0,这个过程中蕴含的比较突出数学思想是() A.类比 B.转化 C.特值 D.数形结合 2.(本题4分)期末学校组织体育测试，现任意抽出60名同学的体育测试分数，并对其进行统计，如 图所示.关于这60名同学的分数，下列说法正确的是() 不人数 21------- 12 7580859095分数 A.中位数是21B.平均数是80C.极差是15 D.众数是85 3.(本题4分)有下列四个算式：@-列+(到=8；②1+-2×=1，®12*3=2：@ 3*（到-9：⑤-2-(-)=3其中正确的有() A.①②⑤ B.①②③ C.④⑤ D.③④ 4.(本题4分)已知a=5,b=2,且a<0,b>0,则a+b的值为() A.7 B.3 C.-3 D.-7 5.(本题4分)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 BC,BD于点，F,再分别以点，F为圆心，大于F长为半径画面弧（饭所在圈的半径相等）。两 弧相交于点P,作射线BP,过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M,N,垂足为O,则MN的长为 () 1/6 A.2V5 B.4V5 C.5 D.2 5 5 6.(本题4分)如图中的图象（折线ABCDE)描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发 地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在行驶途中停留了0.5h; ②汽车共行驶了300km: ③汽车回来时的平均速度是去时的2倍；④汽车自出发后2h至3h之间的行驶速度为60km/h. 其中正确的说法有() 本s(km) D 150------- BC 90 E 1.523 4.5t(h) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7.(本题5分)数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直 观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”将两个正方形纸片按照如图的方式摆放在一 起，使B,C,E三点在同一条直线上，连接BD,DE,DF.若阴影部分的面积之和是17，△DCE的面积为 11,则线段BE的长度为 G D B C 8.(本题5分)如图是某公园中的植物迷宫，游客游玩迷宫时，每遇到一个岔路就随机向前或转弯继续 前行（不走回头路），如果规定走进死胡同算失败，那么游客走出这个迷宫的概率为 2/6 卤 9.(本题5分)如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E, PF⊥CD于点F,连接AP,EF,则EF的最小值为 D B E 10.(本题5分)在锐角ABC中，LBAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD.有 以下结论：①EF=FD,②ADAB=AE:AC,③△DEF是等边三角形，④BE+CD=BC,⑤当LABC=45 时，BE=√2DE,其中一定正确的是 (填写正确的序号). 11.(本题5分)如图所示，在ABC中，DE∥BC,AQ平分∠BAC,交DE于点P,如果DE=6, BC=8,AQ=12,那么AP的长是 P Q 12.(本题5分)如图，边长为1的正方形OABC的顶点B在O0上，顶点A、C在⊙0内，OA的延长 线交⊙0于点D,则图中阴影部分的面积为 3/6 三、解答题（本大题共4小题，共46分） 13.(本题10分)【知识技能】 材料1：小明在学习一元二次方程解时，发现：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实 数根为x,x2和系数a,b,C有如下关系： +=名6后 a 材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,在不解方程的情况下，求 m2n+mn2的值 解：：一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,m+n=1,mn=-1,则 m2n+mn2=mnm+n=-1×1=-1. 【数学理解】 (1)若一元二次方程4x2-x-2=0的两个实数根为X1,x2,则x+x2= ,xX2= 【拓展探索】 (2)已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根分别为5，t,在不解方程的情况下，求s2+t2的值. 14.(本题10分)如图，点C为矩形ABCD和正方形CEFG的公共顶点，点E,F在矩形的边AD,AB 上 G B D (I)求证：AE=CD: (2)连接GE,若CD=4,F是AB的中点，求GE的长； 4/6 (3)在(2)的条件下，猜想FH和GH的数量关系，并说明理由. 15.(本题12分)综合与实践 【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层。 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情 况相同.如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系： 购物车数量 x/辆 车身总长y/ 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 米 素材2：如图，该超市的扶梯竖直高度AC=3.5米，水平宽度BC=12米.为了安全起见，该超市员工在 利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域 AB内. B 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的关系式为 ； (②)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过 计算说明理由 16.(本题14分)如图，已知二次函数y=x+bx+c(bc为常数)的图象交x轴于4B两点，交y轴 3 于点C,点B的坐标为9,0)，点C的坐标为(0，-3)，连接AC,BC. 5/6 B 0 备用图 (1)求抛物线的解析式. (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC,当∠PCB=∠OBC时，求点P的横坐标 (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点？，使△BCQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不 存在，请说明理由. 6/6