山东省青岛市青岛西海岸2025-2026学年上学期九年级自主招生考试数学模拟（2）

2025-2026学年青岛西海岸九年级自主招生考试数学模拟（2） 一、单选题 1．已知，，，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 2．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 3．对于一列数，已知，对于每一个都满足．有如下的4个结论：①的可能值为；②的可能值有2024个；③的最大可能值为6；④的最大可能值为5050．其中正确的结论个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．式子的值取到最小值时，满足（    ） A． B． C． D． 5．如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图1，在矩形中分别为边上的动点，点沿折线以每秒2个单位长度的速度运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点沿着运动，当点到达点时，点随之停止运动．连接，若的面积与运动时间之间的函数图象如图2所示．下列结论中：①边的长度为4；②四边形的面积为20；③当时，点与点的距离为4；④当时，．正确的序号为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，且，则的值为 ． 8．如图，在等边中，点是线段上一点，是边上的高，连接交于点，且，现随机在内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 9．如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ． 10．如图，O是对角线的交点，分别过点D、C作和的平行线相交于点E，若，，F是的中点，P是四边形边上的动点，则的最小值是 ． 11．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 12．四边形中，，点B在垂直平分线上，点F在边上，且与点D关于直线对称，若，，则 ． 三、解答题 13．关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根． (2)设，是方程的两个根，记，S的值能为2吗？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由． 14．如图，在中，，以为直径作，G为的中点，连接交于E点，过E点作，D为垂足，延长交于点F． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 15．嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为． (1)求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标． (2)若点G距离水平地面的高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度． (3)已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围． 16．拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C． (1)如图①，求点A，B，C的坐标； (2)点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标； (3)如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点． 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛西海岸九年级自主招生考试数学模拟（2） 一、单选题 1．已知，，，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】利用作差法，解答即可. 本题考查了通分，完全平方公式，作差比较大小，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键. 【详解】解：， 由，， 故， 由，，，， 得，，，， 故， 故， 故选：B. 2．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用列举法求概率．先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出反应生成的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，总共有6种等可能的结果，其中，反应生成的结果有2种， 则反应生成的概率是， 故选：B． 3．对于一列数，已知，对于每一个都满足．有如下的4个结论：①的可能值为；②的可能值有2024个；③的最大可能值为6；④的最大可能值为5050．其中正确的结论个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】题目主要考查数字的规律探索，绝对值的化简，有理数的加法运算，理解题意，找出相应规律是解题关键． 根据已知条件和得出相应规律，逐项分析序列的可能取值和的最大值，依次判断即可． 【详解】解：∵， ∴或， 若，则， ∴或； 若，则， ∴或； 若，则， ∴或； 若，则， ∴； ∴或； ∴的可能值为，故正确； 由此得的可能值有个，的可能值有2025个，结论错误； ∵要使得最大化， ∴当时，；其他情况均， ∴最大可能值为6，结论正确； 根据题意得：，且当且时取得等号， ∴， 当时，，结论错误； 综上，正确结论为①和③，共2个， 故选：B． 4．式子的值取到最小值时，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的最值问题，将原式提取公因式，绝对值的和在x等于加权中位数时取得． 【详解】解：原式 ， 绝对值的和在x等于加权中位数时取得， 零点为，权重分别为：3，5，7，9，11，13， 当累计权重达总权重的一半（24）时，对应区间为， 故选D． 5．如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过A、B作轴于E，轴于F，如图： ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义等，综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 6．如图1，在矩形中分别为边上的动点，点沿折线以每秒2个单位长度的速度运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点沿着运动，当点到达点时，点随之停止运动．连接，若的面积与运动时间之间的函数图象如图2所示．下列结论中：①边的长度为4；②四边形的面积为20；③当时，点与点的距离为4；④当时，．正确的序号为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查动点问题及函数图象，平行四边形的判定与性质，根据图象得出是解题关键． 根据函数图象得时，面积最大为10，确定，再结合题意依次计算判断即可． 【详解】由函数图象可知，当时，点与点重合， ∵点的运动速度为每秒1个单位长度， 四边形为矩形， ， 当时，， 解得， ，故结论①正确； 点的运动速度为每秒2个单位长度， 当时，， ， ，故结论②错误； 当时，点的运动路径长为6， 点在边上， ， ，故结论③正确； 当时，点的运动路径长为， 点在边上， 四边形为平行四边形， ，故结论④正确． 故选C． 二、填空题 7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】先利用根与系数关系，得到关于的一元二次方程求解，再根据根的判别式，求得的范围，从而可确定的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：， ∴不符合条件， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，根据判别式判断一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解法，解一元一次不等式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 8．如图，在等边中，点是线段上一点，是边上的高，连接交于点，且，现随机在内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求概率，平行线分线段成比例， 作，连接，先根据等边三角形的性质及平行线的性质得进而说明，即可得，再设，可表示，， 然后说明，接下来可求出，即可求出阴影部分的面积，最后根据概率公式可得答案. 【详解】解：过点E作，交于点G，连接， ∵是等边三角形，且是高线， ∴. ∵， ∴， 则. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴. 根据等边三角形的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 所以针尖落在阴影区域的概率是. 故答案为：. 9．如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 过点D作于点F，根据弧长公式可求出弧的长；根据等腰直角三角形的性质求得，从而求得，最后由结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴弧的长为，，， ∴ ． 故答案为：； 10．如图，O是对角线的交点，分别过点D、C作和的平行线相交于点E，若，，F是的中点，P是四边形边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线，找准有最小值时的点位置是解题的关键．先判定四边形为菱形，找出当垂直于菱形的一边时，有最小值．过点作于，过点作于，则，利用平行四边形的面积求解的长，再利用三角形的中位线定理可求解的长，进而可求解． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ， ，， 四边形为菱形， 点是的中点，点是四边形边上的动点， 当垂直于菱形的一边时，有最小值． 过点作于，过点作于，则， ，， ， 即， 解得， 为的中点，， 为的中位线， ， 故的最小值为． 故答案为：． 11．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，分当时，当时两种情况画出对应的图形，讨论求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，则， 由折益的性质可得， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， 由折叠的性质可得，,， ∴， ∴三点共线， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴，解得：， ∴， 综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 12．四边形中，，点B在垂直平分线上，点F在边上，且与点D关于直线对称，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理，过点作于，于，由轴对称的性质可得，，，，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，从而可得，再由勾股定理可得，由线段垂直平分线的性质可得，求出，得出，，进而可得，最后求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，于， ， ∵，点与点关于直线对称， ∴，，，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∵点B在垂直平分线上， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根． (2)设，是方程的两个根，记，S的值能为2吗？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)S的值能为2，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，分式的化简，一元一次方程，完全平方公式的应用，提公因式，熟练掌握与系数的关系以及根的判别式是解题的关键． （1）分类讨论：①当，②当，逐项分析判断即可； （2）先由根与系数关系 分别表示出与的值，然后将代入表示为k的代数式，最后化简变形为关于k的一元二次方程进行判断即可． 【详解】（1）证明：①当，即时，原方程化为 ， 解得， ②当，即时，关于的方程为一元二次方程， ∵， ∴， ∴当时，方程总有实数根； 综上所述，无论k为何值，方程总有实数根； （2）S的值能为2，理由如下： ∵，是方程的两个根， ∴， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， 解得． ∵， ∴， 即当时，符合题意． 故的值能为2． 14．如图，在中，，以为直径作，G为的中点，连接交于E点，过E点作，D为垂足，延长交于点F． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明是的切线，需证明，通过连接OE，利用三角形的性质和平行线的性质来推导； （2）作交于M．利用切线长定理、中位线定理和含角的直角三角形的性质，逐步推导求出BC的长度 【详解】（1）证明：如图，连接． 为斜边的中点， ． ， 为等边三角形， ． ， 是等边三角形， ． ． 是的半径， 是的切线． （2）解：，O为的中点， 为的中点． 如图，作交于M． 为的中点， 为的中位线， ． 是的切线， ． 是含角的直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定与直角三角形的性质，掌握切线的判定方法，结合等边三角形、中位线、切线长定理和含角的直角三角形性质求解线段长度是解题的关键． 15．嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为． (1)求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标． (2)若点G距离水平地面的高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度． (3)已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，点D的坐标为 (2)9米 (3) 【分析】（1）先求出，再设滑道所在抛物线的解析式为，将代入，求出，即可得出抛物线的解析式，再求出点D的坐标即可； （2）先求出直线的解析式为，再求出点，求出抛物线的解析式为，然后求出顶点坐标，即可得出答案； （3）先根据题意得出点M的坐标为，然后求出当点M，N的高度相同时，点N在点F上方，，再求出当点M，N的高度差为2时，点N在点F下方，此时，最后求出d的取值范围即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴， 设滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得，解得（负值已舍去）． ∴滑道所在抛物线的解析式为， 把代入得： 解得：或， ∴点D的坐标为． （2）解：由题意知点G的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 对于，当时，， ∴， ∴滑道所在抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 对于，当时，， ∴， 答：车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度是9米． （3）解：由题意知点M的坐标为，点N的横坐标为， 由题意知，当点M，N的高度相同时，点N在点F上方，， 当点N与点F重合时，， 解得：， 当时，点M的纵坐标为， ∴点M，N的高度差为， ∴当点M，N的高度差为2时，点N在点F下方， 对于，当时，， 令， 解得：（不合题意的值已舍去）， 分析可知，符合题意的d的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次函数的性质． 16．拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C． (1)如图①，求点A，B，C的坐标； (2)点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标； (3)如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点． 【答案】(1)，， (2)或2 (3)见解析 【分析】本题考查了抛物线与面积、特殊四边形的综合问题，涉及二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，以及定值定点问题． （1）根据抛物线的解析式求得时x的值，和时y的值，即可得点A、B、C的坐标； （2）求得的表达式为，设，过D点作轴，交于F点，则，由可求得m的值，即D点的横坐标，根据，即可求得E点的横坐标； （3）设，然后求出直线的表达式为，直线的表达式为，直线的表达式为，直线的表达式为，可得直线经过定点，则得到，而直线过点，代入得到，同理，将，代入，得到，最后把代入直线，整理得：，则当时，，此时，即可确定过定点． 【详解】（1）解：由得， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴； （2）解： 设的表达式为， 则，解得， ∴的表达式为， 过D点作轴，交于F点， 设， 则， ∴， ∵由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 解得（舍去），， 当时， 解得， ①当时，D点在第三象限，如图： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得； ②当时，D点在第四象限，如图： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得， 综上，点E的横坐标为或2； （3）证明：设， 设直线的表达式为 ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 同理可求直线的表达式为， 直线的表达式为， 直线的表达式为， ∵直线， ∴直线经过定点， 将点代入直线：， 则， ∴， ∵直线过点， ∴， ， ∴ 同理：， ∴， 将，代入，则， 化简得：， 把代入直线， 整理得：， ∴当时，，此时， ∴直线经过定点． 第2页，共24页 第3页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $