2025-2026学年山东省青岛市西海岸新区自主招生考试数学-专题六、不等式（1）

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题六、不等式（1）（适中版） 一、单选题 1．对于正整数，设是最接近的整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于任意自然数．不是整数，所以，对于正整数．一点不是整数． 设是最接近的整数，则，． 已知：当时，． 于是可知：对确定的正整数，当正整数满足时，是最接近的整数， 即，所以，使得的正整数的个数为． 注意到．因此，，…，中，有：2个1，4个2，6个3，8个4，……，26个13，18个14． 所以． 2．若实数、、满足，则的最大值为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，不等式的性质，解一元二次方程，掌握绝对值不等式的性质是解答本题的关键． 根据由，，，当且仅当，，时，取等号，得出，根据已知条件，求得，由此得到答案． 【详解】解：由， ， ， 将三式分别相加，得到 ， 当且仅当，，时，取等号， 又， 时，取等号， ， 的最大值为：． 故选：． 3．已知，则的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值不等式，根据绝对值不等式，将原式化为，当且仅当时取等号，再由计算出，即可得解，熟练掌握是解此题的关键． 【详解】解：， 当且仅当时取等号， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：C． 4．如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序数对共有（    ）． A．17个 B．64个 C．72个 D．81个 【答案】C 【详解】解  因中x的整数值仅为1，2，3，所以即， ，故a可取1，2，…，9这9个值，b可取25，26，…．32这8个值，所以有序对 有个．故选C． 5．若不等式的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解  由得，且已知，所以，． 又不等式的整数解是1，2，3，4，所以，且解得 且，故，所以选C． 6．若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值为（    ）． A．100 B．112 C．120 D．150 【答案】B 【详解】由已知不等式得．因由已知条件，与之间只有 唯一一个整数k，所以解得．当时，，存在唯一，所以n的 最大值为112．故应选B． 7．设，且，则满足此等式的不同整数对有（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】选C．理由：由，得． 又，故可将改写成 ， 即． 因此，满足条件的整数对为．共有3对． 8．已知点，，在抛物线上，且，则m的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质结合二次函数的对称轴找出不等式是关键． 根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为，分两种情况讨论，根据图象上点的坐标特征，得到关于m的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：抛物线， 对称轴为， 点，，在抛物线上，且， 当，则且，不存在； 当，则， 解得或 故选：C． 二、填空题 9．已知实数x，y满足且，则的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【详解】． 又所以． 故当时，取最小值；当时，取最大值 所以应填． 10．设a，b为正整数，且则b取最小值时 【答案】17 【详解】由已知条件得．令，则A，B均为正整数，解出．当时等号成立，故b的最小值为10，这时， ．故应填17． 11．已知二次函数的图象与轴交于不同的两点、，顶点为点，且，则代数式的取值范围是 ． 【答案】 【分析】用根与系数关系，与顶点纵坐标表示出，代入，即可求解，本题考查了根与系数关系，根的判别式，解不等式，解题的关键是：列出的代数式． 【详解】解：设点，， 则是方程的两个不同的实根， ，，， 又， ， ，即：， ， 故答案为：． 12．若不等式对任意实数都成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，根据题设借助绝对值的几何意义得有最小值为6，又由得出当时，的最小值为6，然后由不等式恒成立即可求解． 【详解】解：， ∴ 当时，有最小值为6， ∵， ∴当时，的最小值为6， ∴， ∴解得， ∴的最大值为， 故答案为：． 13．无论取何值，都成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分类讨论求出不同情况下的取值即可求出的取值范围． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 综上，， 则当时，恒成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是求一元一次不等式的解集、化简绝对值、含绝对值的一元一次不等式，解题关键是对含绝对值的不等式分类讨论求解． 14．若化简的结果为，则满足条件是x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由， 得即．故填． 三、解答题 15．设正数a，b，c，x，y，x满足，证明； ． 【答案】见解析 【详解】因 ． 又，所以． 16．已知，证明： 中至少有一个不大于． 【答案】见解析 【详解】因，同理三式平方后相乘得 故中至少有一个不大于． 17．求满足下列条件的最小正整数n，使得对这样的n，有唯一的正整数k，满足． 【答案】15 【详解】因n，k为正整数，所以． 由题中不等式得，即 所以，故． 令，可解出． 又因为A，B均为正整数，，所以． 当且仅当时n取最小值15，这时k有唯一值． 故所求n的最小值为15． 18．证明：对任意实数x及任意正整数n有． 【答案】见解析 【详解】设，则，于是存在小于n的正整数r，使 故， 故当时，， 故 当时，， 故， 于是 ①． 又因为，所以②． 由①及②便知要证等式成立． 19．解不等式： ． 【答案】或或． 【详解】解  移项，通分整理得； 不等式两边除以（不等号方向改变），得： （Ⅰ） ，或（Ⅱ）． 将数轴分为4个区间，逐一判断分式符号： ：分子负，分母（负×负）正，分式负，不满足； ：分子负，分母（负×正）负，分式正，满足； ：分子负，分母（正×正）正，分式负，不满足； ：分子正，分母（正×正）正，分式正，满足； ：分子为0，分式=0，满足。 综上所述得，原不等式的解为或． 20．解不等式 【答案】 【详解】解  首先，由得． 原不等式化为．① 数上式两边均非负（当时），两边平方后，整理得 ，② 于是，即 结合得． 并且②式两边平方，得，整理得 ．③ 因方程的两根为， 所以③的解为或 结合得原不等式的解为． 试卷第8页，共9页 试卷第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题六、不等式（1）（适中版） 一、单选题 1．对于正整数，设是最接近的整数，则（    ） A． B． C． D． 2．若实数、、满足，则的最大值为（        ） A． B． C． D． 3．已知，则的最大值为（   ）． A． B． C． D． 4．如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序数对共有（    ）． A．17个 B．64个 C．72个 D．81个 5．若不等式的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值为（    ）． A．100 B．112 C．120 D．150 7．设，且，则满足此等式的不同整数对有（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知点，，在抛物线上，且，则m的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 9．已知实数x，y满足且，则的最大值是 ，最小值是 ． 10．设a，b为正整数，且则b取最小值时 11．已知二次函数的图象与轴交于不同的两点、，顶点为点，且，则代数式的取值范围是 ． 12．若不等式对任意实数都成立，则的最大值为 ． 13．无论取何值，都成立，则的取值范围是 ． 14．若化简的结果为，则满足条件是x的取值范围是 ． 三、解答题 15．设正数a，b，c，x，y，x满足，证明； ． 16．已知，证明： 中至少有一个不大于． 17．求满足下列条件的最小正整数n，使得对这样的n，有唯一的正整数k，满足． 18．证明：对任意实数x及任意正整数n有． 19．解不等式： ． 20．解不等式 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $