第8章 四边形 单元复习 2025—2026学年青岛版数学八年级下册

第8章四边形 一、选择题 1.如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，AB=BE,连接AE并延长交DC的延长线于 点F,∠F=70,则∠D的度数为（) C A.30 B.40o C.50o D600 【答案】B 【详解】如图所示， A D 四边形ABCD是平行四边形， .AB∥DC,∠B=∠D, ∴.∠1=∠F=70°. .'AB=BE, .∠1=∠3=70°， ..∠B=40°， ∴.∠D=40°. 2如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,则下列结论正确的是() 一1 D A.AB=CD B.OA=OD C.AD=CD D.AC⊥BD 【答案】A 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,OA=OC,AD=BC,对角线互相平分，但不一定垂直， .所以A正确，B、C、D错误. 3矩形、正方形、菱形都具有的性质是() A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线长度相等 D.一组对角线平分一组对角 【答案】B 【详解】解：A、只有正方形和菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，不符合题 意； B、矩形、正方形、菱形的对角线都互相平分，符合题意； C、只有矩形和正方形的对角线长度相等，菱形的对角线长度不一定相等，不 符合题意： D、只有正方形和菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组 对角，不符合题意： 4如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,下列条件：(1) ∠1+∠DBC=90°，(2)01=OB,(3)I=∠2，其中能判定平行四边形ABCD是菱形的 条件有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2 【答案】C 【详解】.四边形ABCD是平行四边形， .OA=OC,OB=OD,AD∥BC, .∠1=∠BC0, (1)若∠1+∠DBC=90°时，则∠BC0+∠DBC=90°， .∠B0C=90°， .AC⊥BD, ∴.四边形ABCD是菱形；(1)能判定平行四边形ABCD是菱形； (2)若OA=OB,则AC=BD, ∴.四边形ABCD是矩形；(2)不能判定平行四边形ABCD是菱形： (3)若∠1=∠2，则∠2=∠BC0, ∴.AB=CB, .四边形ABCD是菱形；(3)能判定平行四边形ABCD是菱形： 5如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于点E,∠DCE=4∠BCE,则∠ACE的度数为() D B A52 B 540 D 58o 【答案】B 【详解】，四边形ABCD是矩形， .∠DCB=90°，OC=OD, .'∠DCE=4∠ECB, ∴.∠DCE=5×90°=72°， ∴.∠ECB=18 .∴.∠EBC=∠ACB=90°-∠ECB=72 .∠ACE=∠ACB-∠ECB=72°-18=54°. 3 6,知图，在四边形BCD中，1B∥CD,BC∥D,且4D=DC,则下列说法：①四边形 ABCD '是平行四边形：②A8-C:③AC L BD,@1C平分∠BMD,⑤若1C=6BD=8 ABCD ,则四边形 的面积为24.其中正确的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】D 【详解】解：，AB∥CD,BC∥AD, '.四边形ABCD是平行四边形，故①正确： .AD=DC, ∴.平行四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC,AC⊥BD,AC平分∠BAD,故②③④正确： .AC=6,BD=8, .S菱形ABCD =4C-BD=x6x8=24 故⑤正确： .正确的个数有5个. 7.如图，己知菱形ABCD的两条对角线分别为10和24，M、N分别是边BC、CD的中点，P 是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是() A.13B.10C.24D.12 【答案】A 【详解】解：作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时PM+PN的值 最小， 四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,∠QBP=∠MBP, 即Q在AB上， .MQ⊥BD, ∴.ACII MQ, M为BC中点， ∴.Q为AB中点， N为CD中点，四边形ABCD是菱形， ∴.BQ‖CD,BQ=CN, ∴.四边形BQNC是平行四边形， .'NQ=BC, .四边形ABCD是菱形， .CP=AC=5,BP=jBD=12, 在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=VCP2+Bp2=52+12=13, 即NQ=13, .MP+NP=QP+NP=QN=13, 8.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件， 下列添加的条件正确的是() .∠A+∠D=180°， D 100° ∴.AB∥CD, 又()， 1△80 ∴.四边形ABCD是平行四边形 A.∠B+∠C=180° B.AB=CD C.∠A=∠BD.AD=BC 5 【答案】B 【详解】解：添加∠B+∠C=180°后可得AB∥CD,仅一组对边平行，无法证明四边形ABCD 是平行四边形.故A选项不合题意： 添加AB=CD后可得AB=CD,AB∥CD,满足一组对边平行且相等，可证四边形ABCD是平 行四边形.故B选项符合题意； 添加∠A=∠B后，∠A=∠B=80°，四边形ABCD为等腰梯形，不是平行四边形.故C选项不 合题意； 添加AD=BC后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形ABCD是平行四边 形.故D选项不合题意： 二、填空题 9.如图，当AO=OC,BD=6cm,那么OB=cm时，四边形ABCD是平行四边形， A 【答案】3 【详解】BD=6Cm,根据题意，当OB=3时， :①=BD-B=6-3=3 ..OB=OD .A0=0C, .四边形ABCD是平行四边形， 1O.如图，如果要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C,连接AC,BC, 点D、E分别是1C,BC的中点，测得DE的长为10米，则B的长为 米. 6 【答案】20 【详解】解：连接AB, :点D、E分别是 CBC的 中点， .DE是△ABC的中位线， .DE的长为10米， ∴.AB=20米， 11.如图，菱形ABCD的周长为I6,P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD 的垂线段PE、PF,若PE+PF=3,则菱形1BCD的面积为 AF P 【答案】12 【详解】解：如图，连接AP, A F P 7 “菱形 BCD 的周长为16， .AB=AD=16÷4=4, :PE⊥AB,PF⊥AD .S.o-S.aw+S.ow-]AB.PE+AD.PF-x4PE+PF)-2x3=6 2 2 ·S菱形BCD=2SMBD=2×6=12 12如图，矩形纸片ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=9,将矩形纸片翻折，使点C 恰好落在点O处，折痕为BE,点E在边CD上，则BE的长为· 4 【答案】6 【详解】解：四边形ABCD是矩形， .0B=0C,∠BCD=90°， 由翻折性质可知：BC=BO,∠OBE=∠CBE, .BC=OB=OC, aOBC是等边三角形， .∠0BC=60°， ∠BDC=30°，∠CBE=30°，则∠EBD=∠BDE=30 ’BE=DE’ C+D9 .BE=6, 13.在平面直角坐标系x0y中，点A,C的坐标分别是(4,0)，(L,3),若以点A、B、C、O为 顶点的四边形为平行四边形，则顶点B的坐标是 【答案】63引或-3,3刃或8，-3) 【详解】解：点 A(4,0),C1,3) 以点4B,O,C 为顶点的四边形是平行四边形，如图，分三种情况： B B B 当OA BC,OC∥AB 时， 四边形OABC 平行四边形， 一点8的坐标是5,3) 当O1MBC,OBI AC 时，四边形O1CB是平行四边形， 点“的坐标是（3,3) 当OB∥AC,0C∥4B 时，四边形OBAC是平行四边形， ·点的坐标是③，-3) 故答案为：5,3》或-3,3》或6，-3) -9 14如图，在正方形ABCD的对角线BD上取点E使BE=BA,连接AE,过点E作EF⊥AE交 BC于点F,则∠EFC的大小为 【答案】67.5 【详解】解：，四边形ABCD是正方形，EF⊥AE, ∴.DA=BA=BC=DC,∠BAD=∠AEF=∠C=90°， ∴.∠DAE+∠BAE=90°，∠BEF+∠BEA=90°， ∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°， .'BE=BA, :DA=BE,∠BAE=∠BEA=x180-45°=67.5°， ∴.∠DAE=∠BEF, 在△DAE和△BEF中， ∠DAE=∠BEF DA=BE ∠ADE=∠EBF ∴.△DAE≌△BEF ASA, ∴.∠AED=∠EFB, ∴.∠EFC=180°-∠EFB=180°-∠AED=∠BEA=67.5°， 15如图，在口ABCD中，∠C=120°，AB=2,点P是BC边上的动点，连接AP,DP,E是 AD的中点，F是PD的中点，则EF的最小值是 10 第8章 四边形 一、选择题 1.如图，是平行四边形ABCD边上一点，，连接并延长交的延长线于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．AB＝CD B．OA＝OD C．AD＝CD D．AC⊥BD 3矩形、正方形、菱形都具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．一组对角线平分一组对角 4 如图，平行四边形ABCD中，对角线，相交于点，下列条件：（1）；（2）；（3），其中能判定平行四边形ABCD是菱形的条件有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5 如图，矩形中，于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6.如图，在四边形中，，且，则下列说法：①四边形是平行四边形；②；③；④平分；⑤若，则四边形的面积为24．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7.如图，已知菱形的两条对角线分别为10和24，、分别是边、的中点，是对角线上一点，则的最小值是（   ） A．13 B．10 C．24 D．12 8.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） ∵， ∴， 又∵（      ）， ∴四边形是平行四边形．    A． B． C． D． 二、填空题 9.如图，当AO＝OC，BD＝6cm，那么OB＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形． 10.如图，如果要测量池塘两端、的距离，可以在池塘外取一点，连接，，点、分别是，的中点，测得的长为10米，则的长为____________米． 11. 如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为________． 12如图，矩形纸片的对角线，相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边上，则的长为 ________．   13. 在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别是，若以点A、B、C、O为顶点的四边形为平行四边形，则顶点B的坐标是_____． 14如图，在正方形的对角线上取点E使，连接，过点E作交BC于点F，则的大小为 _____．    15 如图，在中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是_____ ． 16如图，在正方形中，，对角线上的有一动点（点不与点、点重合），以为边作正方形． 在点运动过程中，点始终在射线上； 在点运动过程中，可能为； 若是的中点，连接，则的最小值为； 为等腰三角形时，的值为或． 以上结论正确的是    三、解答题 17.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC和AD上的点，BD和EF相交于点O，且OE＝OF．求证：四边形AECF为平行四边形． 18.如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 19.如如图，过边的中点，作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接，，若平分，于点． (1)求证：． (2)四边形是矩形． 20如图，在三角形中，点O是边上一动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到何处时，四边形会变成矩形？并证明你的结论： (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 21.如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求线段的长． 22如图，在中，，过点A作，且，连接，过点D作，交于点E． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长． 23如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 24如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒． (1)则CQ的长度为 　 　（用含t的式子表示）； (2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值； (3)当点O在线段AP的垂直平分线上时，求t的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $