常考大题三角函数与解三角形-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学专项分组练(湖南专版)

第二部分常考大题 常考大题三角函数与解三角形(A) (限时45分钟) 1.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 3.在①sinA cos Bcos Csin B-cos B- 2a2 已知acosC+b=0,6= 4c. 2b一4这两个条件中任选一个，补充在下面的向 (1)求cosC; 题中，并解答问题 (2)若△ABC的面积为子，D为BC边上一点，且 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b, ∠ADB=,求CD的长. c,且 (1)求角C; (2)若点D在AB边上，且BD=2AD,osB=号， 求tan∠BCD的值. 2.已知函数f(x)=sin(2x-否)-2cos(x+平)， sin(x+f)月 4.在四边形ABCD中，AB∥CD,∠ABC=45°，AB=4, (1)求f(x)的单调递增区间； AC=√/5BC (②)若画数y=)-k在区间[舌，告]上有 (1)求sin∠ACB: 且仅有两个零点，求实数k的取值范围. (2)若AD=√17，求四边形ABCD的面积. 数学第41页（共58页） 常考大题 三角函数与解三角形(B) (限时45分钟) 1.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b, 已知b-a=2 acos C. c,且2a-c=2 bcos C. (1)证明：C=2A; (1)求B; (2)若D为AB边上一点，CD平分∠ACB,CD= (2)若点D为边BC的中点，点E,F分别在边 1,且△ACD的面积是△BCD面积的2倍，求a. AB,AC上，且∠EDF=号，b=G=2.设∠BDE= a,△DEF的面积为S,将S表示为关于a的函数， 并求S的取值范围. 2.已知偶函数f(x)=Msin(w.x+p)(M>0,w>0, |≤)的部分图象如图所示，A,B,C为函数 f(x)的图象与x轴的交点，D为图象上的一个最 4.从①asin B-√5 bcos Bcos C=√5ccos2B; 高点 ②(sinA-sin C)2=sirB-sin Asin C,③5inA 1+cos B a这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中， 并解答问题， 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,且 (1)证明：2 ADsin∠ADB=CDsin∠BDC; (1)求角B; (2)若AD=2万，CD=2,∠BDC=5,求f(x)的 (2)若△ABC为锐角三角形，c=1,求a2+b2的取 值范围。 解析式 数学第42页（共58页）参考答案及解析 11.ACD【解析】对于A,因为C上的点E(2,y)到焦 点F的距离为3，根据抛物线的定义可知号+2=3， 所以p=2,所以A正确，对于B,易知C:y=4x,设 直线'的倾斜角为0，如图所示，作AA⊥1于点A,, 作BB⊥I于点B1, y P A0 则|AA|=p+IAF|cos9=|AF|,可得|AF|= 1-6Os同理可得|BF=1+s所以|AB- AFcos01c 2p 品。令品品。益。号则sm0=是因为0e 0,x),所以sm0-,可得9=告或9=三，所以B 3 3 错误：对于C,易知直线'斜率不为0，因为焦点 F(1,0),所以可设直线1的方程为x=my+1,即 x-my-1=0,设A(x1y),B(x2y2),联立 (x=my十1 整理得y2-4y-4=0,△>0，则y1十 y2=4x, y2=4,y1y2=-4,所以x1十x2=2+4m2,所以 M(1十2m,2),则yp=2,代入抛物线C:y2= 4x,得xp=m2,即P(m2,2m),则|PM= |1+2m2-m2|=1+m2,|PV|=|m2-(-1)= 1+m,所以|PM=|PN|,1PM-|PN|=0, 故C正确；对于D,结合选项C可得点P到直线'的 距离为m_2m二1=√个十m,点0到直线' √1+ 的距离为 元，所以△追= 1+m S△AB =1十m2 /1十 1 √1十m ≥1，即S△PAB≥S△oB,故D正确.故选ACD. 三、填空题 12.0.76【解析】A球员担当中锋时，不输球的概率为 0.2×(1一0.4)=0.12：A球员担当边锋时，不输球 的概率为0.5×(1-0.2)=0.4；A球员担当前腰 时，不输球的概率为0.3×(1-0.2)=0.24，所以当 数学 A球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率 为0.12+0.4十0.24=0.76. 13.一号【解析】因为0s(20+号)=c0s(20-号+ 3 元）=-cos(20-）=2sim2(0-5）-1,又 sim(g-吾)=5，将其代入可得c0s(20+受) 2×-1=- 14.(0,1)【解析】令g(x)=f(x)-lnx-e,因为 f(1)=e,所以g(1)=f(1)-e=0,当x>0时， f(x)<+e,所以g()=了()-子-e<0, 即g(x)在(0，+∞)上单调递减，由(x)一nr> er 1,可得f(x)-lnx-e>0,即g(x)>g(1),所以0 x1. 第二部分常考大题 常考大题三角函数与解三角形(A) 1.解：(1)因为acos C+b=0, 所以由余弦定理得a·。+C+h=0, 2ab 即a2+362-c2=0, 因为6-号所以4=26， 所以a2+362-86=0,故a=√5b, 所以cosC=一b=一-5 a 5 (2)由(1)可知cosC=-5 则sinC=√/1-cosC- √-(-， 5 因为S=号nC=怎， 所以ab=5 4Γ 由(1)可知a=√5b,c=2√2b, 故a 1 登，b=c=E. 数学 因为D为BC边上一点，且∠ADB=3π 4 所以∠CAD=3F-C,∠ADC=于， f所以sin∠CAD=sin(3-C）=sin3 cos C anc-号×(-)+×25-e 5 10 则在△ACD中，由正弦定理可得sn∠ADC CD sin∠CAD1 故cn-C是x厘 10 sin∠ADC 10 2 D 2.解：(1)f(x)=sin(2x-晋）-2cos(z+平）· sin(x+5平）) =sin(2x-若)+2cos(x+平)sin(x+平） 9n2xas2ztn(2rt号） 3. -号sin2x-号0s2x+eos2z -9n2+o2=sn(2r+吾）， 令-受+2km≤2x+若≤受+2kr,k∈Z, 解得-于十k≤x≤否十kπ，k∈Z, 所以∫(x)的单调递增区间为 [-号十，吾+km],k∈Z. (2)函数y=f(x)-k在区间[-吾，光]上有且仅 有两个零点， 即曲线y=sin(2x+石)与直线y=k在区间 [-晋，]上有且仅有两个交点。 由xe[-晋，]，得2x+吾∈[-吾2]， 令4=2x+晋∈[-晋，2x], ·55 参考答案及解析 则y=sim[-1,1门，且sin(-吾）=- 若要使曲线y=sint与直线y=k在区间 [-晋，2x]上有且仅有两个交点， 则-1<k<-号或0<k<1, 所以实数k的取值范围为(-1，一)儿(0,1). 3.解：(1)选择①：因为snA 2a2 cos Bcos C a2+c-b' 且cosB=a+c2-6 2ac 所以sinA 2a2 cos Beos C-2ac·cosB 所以加A-a cos Cc 则由正弦定理可得sinA=sinA」 cos C sin C' 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0， cos Csin C,即tanC=1, 所以1 1 又C∈(0，π)， 所以C=平 选择②：因为sinB-cosB=②b-4, c 所以由正弦定理得sinB一cosB=√2sin B-sinA, sin C 即sin Bsin C-cos Bsin C=√2sin B-sinA, 又sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C +cos Bsin C, 所以sin Bsin C-cos Bsin C=-√2sinB-sin Bcos C- cos Bsin C, 所以sin Bsin C=√2sinB-sin Bcos C, 又B∈(0，π)，所以sinB≠0， 所以sinC=√/2-cosC, 所以sinC+cosC=2sin(C+平)=E, 所以sin(c+平)=1， 因为C∈(0，π)， 所以C+妥∈（冬，平）· 所以C+受=受， 所以C=平 参考答案及解析 (2)设∠BCD=0,则∠ACD= -8. 因为cosB=号，Be(0,x), 所以sinB=-os'B-√1-（号）=告， 所以sinA=sin[元-(B+C)]=sin(-B）= 2cos B+2 sin B= 2 10 在△ACD中，由正弦定理得CD AD sin Asin,∠ACD' 7√2 10 "AD sin(年-g） CD 5 在△BCD中，同理得B部-sn9' 因为BD=2AD, 72 4 10 所 2sin(t-） sin a' 7 即 10 5 2cos9-sin日sng整理得an0= 8 即1an∠BCD的值为号 4.解：(1)在△ABC中，AB=4,AC=√5BC,∠ABC =45°， 由余弦定理得AC=BC十AB-2BC· ABcos∠ABC, 即5BC°=BC+16-4√2BC, 即BC+√/2BC-4=0, 解得BC=2或BC=-2√2（舍）， 则AC=√5BC=√I0, AB AC 则由正弦定理得sin∠ACB-sinZABC, 即 4 10 in∠ACE 2 解得sin∠ACB=2 5 D 5 数学 (2)因为AB∥CD,所以∠DCA=∠BAC, 由(1)可得BC=√2，AC=√0， 则在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC= AB+AC -BC310 2AB·AC 10 故cos∠DCA=3Y@ 10 在△ACD中，由余弦定理得AD=AC十CD-2AC ·CDcos∠DCA, 即17=10+CD2-6CD, 即CD2-6CD-7=0, 解得CD=-1(舍)或CD=7. Sar=ZAB·BCsin45=合X42×9-=2, 1 2 义AB/CD.所以5am-器·Sax=子X2=子， 7 故网边形A8CD的面积为2+名-号 常考大题三角函数与解三角形(B) 1.解：(1)因为b-a=2 acos C, 所以由正弦定理得sinB一sinA=2 sin Acos C, 所以sin(A+C)-sinA=2 sin Acos C, sin Acos C+cos Asin C-sin A=2sin Acos C, 所以sinA=sin Ccos A-cos Csin A, 即sinA=sin(C-A), 又0<A<π，0<C<π，-π<C-A<π， 所以A=C-A或A十C-A=C=π（舍）， 所以C=2A. (2)因为CD平分∠ACB, 所以∠ACD=∠BCD, 因为△ACD的面积是△BCD面积的2倍， AC·CDsin.∠ACD 1 所以△D= S△D BC.CDsin∠BCD A=2 B 2 即b=2a. 由(1)可知∠ACB=2∠DAC, 所以∠ACD=∠DAC,则AD=CD=1, 又∠ADC=π-∠BDC, AD·CDsin∠ADC 1 所以△= AD =2, S△CD BD,CDsin∠BDC BD 2 则BD=合AD= 1 因为cos∠ADC=cos(π-∠BDC)=-cos∠BDC, 所以AD+CD-AC=-BD+CD-BC 2AD·CD 2BD·CD一· 6 数学 即2-(2a)'=-5十d,解得a= 2 4 2 2,解：(I)在△ABD中，由正弦定理得AD=sin∠ABD AB sin.∠ADB 在△BCD中，由正弦定理得BC sin∠BDC CD sin,∠DBCi 又∠ABD+∠DBC=π， 所以sin∠ABD=sin∠DBC, 所以AD,BC=sin∠ABD.sin∠BDC AB'CD sin,∠ADB sin∠DBC =sin∠BDC sin∠ADB' 又BC=2AB, 所以2 ADsin∠ADB=CDsin∠BDC. (2)由(1)可得2 ADsin∠ADB=CDsin∠BDC, 因为AD=27,CD=2,∠BDC=受， 所以sin∠ADB=CDsin∠BDC= 2AD 14 所以cos∠ADC=cos(∠ADB+变)=-sin∠ADB 141 则在△ACD中，由余弦定理得AC= √/AD+CD'-2AD·CDcos∠ADC=6, 所以T=BC=4-2,解得。=受 在Rt△BCD中，BD=√BC-CD=25, 又sin∠CBD=,0<∠CBD<受， 所以∠CBD=若， 所以n=BDsin-否=5， 所以M=√3，D(2,√5)， 所以fx)=5sin(受x十g), 所以f(2)=√3sin(π十g)=-√3sing=3, 所以9=-受十2kx,k∈Z. 又<受，所以p=-受， 所以f(x)=3sin(受x-受）=-Bcos牙x 3.解：(1)因为2a-c=2 bcos C, 所以2a-c=26.。+b-c=a2+B-c 2ab a 即a2十c2-b2=ac, 6 参考答案及解析 所以cosB=Q+c2-&=ac=1 2ac 2ac2, 因为B∈(0，元)，所以B=号 (2)由B=号及6=C=2,可知△ABC为等边三角形. D 因为∠EDF=号，∠BDE=a, 所以若<≤受 在△BDE中，∠BED=年-a, 3 由正弦定理得。nB一nZBED' DE BD 所以DE 5 2n(号-a】 在△CDF中，∠CFD=a, 由正弦定理得DF CD sin C sin,∠CFD' 5 所以DF=2sina 所以S=合DE·DFsin-号 3 8 sin(a)sin a ×sin号 3W3 (-a）sina 16sin（ 因为sin(号-a)na=(停ose叶sn)sne 1 =sin(2a-)+， 因为若<≤受， 所以2a吾∈[后，君]， 所以sim(2a-吾)∈[合，1]： 所以方sn(2a-吾)+子∈[3，子]， 参考答案及解析 所以16sin(写-a)sina∈[8，l2], 所以S= 33 「533 16sin(a)sina L4’8 即S的取值范围为「5,33 48」 4.解：(1)若选①： 因为asin B-√3 cos Beos C=√5ccos2B, 所以由正弦定理得sin Asin B=√3 sin Bcos Bcos C √3 sin Ccos2B, 即sin Asin B=√3cosB(sin Bcos C+sin Ccos B) √/3 cos Bsin(B+C), 又A十B十C=π， 所以sin Asin B=√5 cos Bsin A, 由A∈(0，π)，得sinA≠0， 所以sinB=√3cosB,即tanB=√3， 因为B∈(0，π)， 所以B=子 若选②： 因为(sinA-sinC)2=sin2B-sin Asin C, 所以sinA十sinC-sinB=sin Asin C, 则由正弦定理得a2十c2-b2=ac, 所以oBt- 2ac 因为B∈(0，π)， 所以B=受 若选③： 因为 =a, 所以由正弦定理得5 sin Bsin A=sinA, 1十cosB 所以W3 sin Bsin A=sinA(1十cosB), 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0， 所以wW3sinB=1十cosB, 所以sin(B-吾)=2， 因为B∈(0，π)， 所以B-晋∈(-晋，爱)， 所以B=吾 所以B=号 数学 (2)在△ABC中，由正弦定理ABC b a-csin A-sin Acsin B ③ sin C sin C sin C 2sin C' 所以a2+=c2+2 abos C=1+2sinA 5 sin C 2sin C' cos C =1+3sin A .cos C=1+3sin(BC).cos C sinC sin2C sin(+c) =1十 sin2C ·cosC =1+3cosC+3sin Ceos C 2sin2C =1 ac+=(c+)+ 因为△ABC为锐角三角形， {o<c<受 所以 ,解得C∈（名，受） 所以tm公9， anc∈(0，V3), 所以 所以a2+6∈(1,7)， 即a2十b2的取值范围为(1,7). 常考大题数列(A) 1.解：(1)设等差数列{an}的公差为d,首项为a, 由Sn有最大值，得d<0, 则数列{an}是递减数列， 因为a5十a12=a1十a1e=3,a?·a1o=一18， 解得a7=6,a10=-3或a,=-3,ao=6(舍去)， 则a1十6d=6,a1+9d=-3, 解得d=-3,a1=24, 所以am=24+(n-1)×(-3)=-3n十27. 令an=-3n十27=0，得n=9, 则当n≤9时，an≥0；当n>9时，an<0, 所以(S.)mx=S=S,=9×24+9X8×(-3)=108. 2 (2)由(1可得5.=2n+m21D×(-3)=-是r 2 当n≤9时，Tm=a1十a2十…十an=Sn=- 51 2n, 58·