常考大题解析几何(A)-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学专项分组练(湖南专版)

常考大题解析几何(A) (限时60分钟) 1.已知点F(0,1),动点M在直线l:y=-1上，过点 已知椭圆E:名十1(Q>0>0)的两个焦点和 M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线 交于点P,记点P的轨迹为曲线C. 两个顶点四点共圆，且与直线x一√6y一4=0只有 (1)求曲线C的方程； 一个公共点. (2)已知O为坐标原点，圆x2+(y十2)2=4的 (1)求E的方程； 条直径为AB,延长AO,BO分别交曲线C于S,T (2)过点(0,1)且斜率为k的直线与E交于C,D 两点，求四边形ABST面积的最小值 两点，线段CD的垂直平分线交y轴于点Q,点Q 关于直线CD对称的点为P,若四边形PCQD为 正方形，求k的值. 数学第53页（共58页） 3已知双曲线C:若-若-1(a>0,b>0)过 4如图，椭圆D:无+兰=1与r:无+-1(m>n 20272 n m P1(2,0),P2(0,4),P(-2√10,3)，P(2√10， >0),D的右顶点为H(2,0),和T2的四个交 3)四个点中的三个点. 点为P1(1,1),P2(-1,1),P(-1,-1),P(1,-1). (1)求双曲线C的方程； (2)若直线1与双曲线C交于A,B两点，且P1A P2 ⊥P1B,求证：直线1经过一个不在双曲线C上的 定点，并求出该定点的坐标 22 94 (1)求T1与2的方程； (2)过点P1作直线MN交T1于点M,交C2于点 N,记直线PM的斜率为k1,直线P,V的斜率为 :,求会的值：上述各点均不重合) (3)若Q1是T上的动点，直线QP交Γ2于点 Q2,直线Q2P2交D于点Q,直线QP交T2于 点Q4,直线QP4与直线Q1P1交于点E,试问是 否存在点G,使得直线EG与直线EH的斜率之积 为定值？若存在，求出点G的坐标：若不存在，请 说明理由.（上述各点均不重合） 数学第54页（共58页）数学 则 pi.n=√5x十y-√5x=0 BC.n=-√3x+y=0 取x=1,得y=√3，z=2, 所以n=（1,w3,2). 设直线BE与平面PBC所成的角为B, 则sin0=cos(B2,m=BE·n BE -3-5+5=14 V4+是x22 38 所以直线BE与平面PBC所成角的正弦值为√四 38 4.解：(1)取AC的中点O,连接OB,OA1,OC1, 因为AB=BC,所以OB⊥AC, 因为平面AACC⊥平面ABC,平面AAC1C∩平面 ABC=AC,OBC平面ABC, 所以OB⊥平面AACC, 又ACC平面AACC,所以OB⊥AC. 因为AC∥OA,AC=OA=AA, 所以四边形A1AOC为菱形，则AC1⊥OA1, 因为OA∩OB=O,OA,OBC平面OBA, 所以AC⊥平面OBA, 又ABC平面OBA1,所以A1B⊥AC. (2)取AC的中点M,连接OM,则OM⊥AC, 由(1)可知OB⊥平面AACC, 所以OB,AC,OM两两垂直， 以O为原点，OB,OC,OM所在直线分别为x,y,之轴 建立如图所示的空间直角坐标系， M C *X 设OB=a(a>0), 则B(a,0,0),A(0,-1w5),B（号，03) C(0,1w3), 所以A1B=(a,1,-5),AC=(0,2,0),BB= (-号0)： 设平面BAC的法向量为n=(x,y,z), A1C·n=2y=0 则 A,B·n=ax十y-√3x=0 ·69 参考答案及解析 取x=√3，得y=0,x=a, 所以n=(√3,0，a). 设直线BB,与平面BAC1所成的角为O, 则sin0=|cos<BB1,n)|= BB1·n BBn 3 3a +8·网 √(a+12)(a2+3) a 3 √/a+15a+36 /a+15+36 √15+2Va. 3, a 当且仅当。-即a=后时取等号， 所以当直线BB,与平面BAC所成的角最大时，OB =√6， 所以三棱台ABC-ABC的体积V=号(Sae十 S45+√SaM49)·0M=号×(z× 4X+×2×9+√合×4xw5××2x ×3=7 2 常考大题解析几何(A)》 1,解：(1)由题意知，点P到点F(0,1)的距离等于其到 直线y=-1的距离， 则点P的轨迹为以F(0,1)为焦点，以y=一1为准 线的抛物线， 则曲线C的方程为x2=4y (2)由题意知，AB为圆x2十(y十2)2=4的直径，则 OA⊥OB. 由题意知直线OA斜率存在且不为零，设为k(k≠0)， 则直线OB的斜率为-名 又OA所在直线为y=kx, 联立子=y,解得=0或=， y=kx 则不妨取S点横坐标为x2=4k, x2+(y+2)2= 联立《 4,解得=0或x=1十及， 一4k y=kx 则不妨取A点横坐标为x,=1十， -4k 参考答案及解析 所以|AS|=√+|x2-x4|=√I+· 」4k(k2+2)⊥_4k(k2+2) 1+k9 /1十 同理可得|BT= 4[()》'+2 +(-) =4(2k2+1) k2√1十k 四边形ABST的面积S=号|AS·1BT1- 8(2+k2)(2k2+1)_8(2k+5k2+2) (k+1) k十 8(2w+是+5)8[2(I1+)广+] 1k十 Ik十T灯 令=|k|+TTte[2,+∞)， 则s=821D-8(2+): t 因为S=8(2+)在∈[2，十∞)上单调递增， 所以当t=2时，S有最小值36. 即当k=士1时，四边形ABST面积取得最小值 为36. 2.解：(1)因为椭圆E的两个焦点和两个顶点四点 共圆， 所以b=c则a2=6十c2=26, 所以椭网E的方程为云+若-1， x-√6y-4=0 ,得4y2+46y十8-6=0， 因为椭圆E与直线x一√6y-4=0只有一个公共点， 所以△=(4√6)2-16(8-)=0，解得6=2， 所以a2=4, 所以韩圆E的方程为号+苦=1。 (2)由题得直线CD的方程为y=kx十1，k≠0， 设C(x1,y),D(x2,y2),线段CD的中点为M, (y=kx+1 铁立+y=1,得(2k十1)x十4x-2=0, △'=16k2+8(2k2+1)=32k2+8>0, 一4k -2 所以x十x=2干x1=2k十1' 则M=西十立=一2k 2 2k2+1 代入y=kx十1，得M=2k+1' 70 数学 一2k11 所以M(2k干行2+ 所以线段CD的垂直平分线的方程为y一 2k2+1 令x=0,得%= 1 2k2+1 1 即Q(0,2+） 因为线段PQ和线段CD互相垂直平分， 所以四边形PCQD为菱形， 要使四边形PCQD为正方形，则需QC⊥QD, 又a-(++）,Qi-(+斤） 所以Q0.Qi-x+(y+20+)(+26+)】 =十(k+1+)+1+) 1 =(k2十1)x1x2 2k(k2+D+x2+(26+2) 2k+1 (2k2+1) 一4k ==2(k十1)+ 2k(k+1)·2E+立+4(k十1) 2k2+1 2k2+1 (2k2+1)2 -2(4k+3k2-1)=0, (2k+1) 即（发+1）(4-1)=0，解得k=士子 3.解：(1)根据双曲线的对称性可知P（一2√10,3)， P(2√0,3)关于y轴对称， 所以P,P,必同时在双曲线上，而P2(0,4)不可能 在双曲线罗一y a一-1上. 则双南线还经过点户(2,0)，则号-若=1， 将点P(-210,3)代入，可得=1. 所以双曲线C的方程为号-少=1. (2)(i)当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y=kx十，A(x,y), B(x2y2), 联立y=虹十m {-4y=4:整理得，1-4k)2-86mx 4m2-4=0. 数学 11-4k2≠0 由 △=（-8km)2-4(1-4k2)(-4m2-4)>0 得 11-4k2≠0 (), 1-4k2+m2>0 8km -4m2-4 且x1十x=1-4k1=1=4k, 因为P1(2,0), 所以P1A=(x1-2,y),P1B=(2-2,y), 因为PA⊥PB, 所以P1A·P1B=0, 即(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, 所以x12-2(十x2)十4十(kx1十m)(kx2十m)=0, 即(1十k2)x1x2+(km-2)(x十x2)十4+m2=0, 所以(1+)+(m-2) 8km +4+m =0, 化简得3m2+16km十20k2=0, 即(3+10k)(m十2k)=0, 所以m=一号：或m=一2k,且均满足() 当m=-2k时，直线1的方程为y=k(x一2)， 直线1过定点(2,0)，即点P1,不符合题意，舍去； 当m=-号k时，直线1的方程为y=k(x一号)， 直线1过定点(9,0)，符合题意。 (ⅱ)当直线（的斜率不存在时，设l的方程为x= n(nl>2), 由/xn A=IB=n x2-4y=4:解得 暖=呢=牙-1 依题意，因为P1A⊥PB,P1(2,0), 所以|ya|=|n-2|,即y=(n-2)2, 所以号-1=i-4n+4,即3m-16n+20=0, 解得0=2会)或n=号， 所以直线1的方程为x=号，直线1过点（号0） 综上所述，直线（经过一个不在双曲线C上的定点， 定点的坐标为（号0）。 4.解：(1)由题意得m=4, 因为点P(1,1)在椭圆Γ上， 所以子十日=1，解得n=子 4 所以椭圆八的方程为二十兰=1， 44 3 1 参考答案及解析 椭圆工的方程为二+号-1， 3 (2)设M(x,y1),N(x2,y2),1,x2≠±1， 则如，w…knw=二.十1=f-1 x1-1x1+1x-1' 因为+生-1，所以=（1-)= 4 4 3 4一父一1 3 则kP,M·kP,M= 1 x-1 3 同理可得kP,N·kP,N=一3， 又k,M=k,N,所以2=9. k (3)设直线QQ2,Q2Q,QQ,Q:E的斜率分别为k3, k4,k,k6,k3≠1， 则直线QQ2:y-1=k(x-1), 与号+兰-1联立， 得(k号十3)x2十2k3(1-k3)x十k一2k3-3=0, 则△=4k号(1-k:)2-4(k号+3)(k号-2k:-3) =4(k3十3)2>0，得k1≠-3， 所以xQg·x1= k3-2k:-3 k十31 则xQ2= k3-2k-3 k号+3 代入y-1=(x-1D,得0，=二6+3 k号十3 则k,=0,=二2好-6-+3 xQ。+12k-2k,-1-k 令= 则经过P,P,的两直线的斜率满足k:=f(k:), 将直线QQ:,QQ:绕原点顺时针旋转受后也会分别 经过点P,P2, 所以 k 1 1十k 1 则k:= 1-3k 同理将直线QQ,Q,E绕原点顺时针旋转π后也会 分别经过点P,P2, 6十3石十2十33k,+5 所以k:=f(k:) 1-k1十k十2 1 k3十3 x一ik1 设E(x,),则=y二 x-11 3.y-1+5 所以十1 x-1 x-1 +3 参考答案及解析 整理得y2=5x2-16x十12=(5x-6)(x-2)= 5(x-号)x-2)· 则一 .y。=5, -2 所以存在点G(号，0），使得直线EG与直线EH的 斜率之积为定值5. 常考大题解析几何(B) 1.解：(1)依题意，A(-a,0),B(a,0),T(0,b),AT=(a, b),TB=(a,-b), =22 a 3 a=3 则有{a2-b2=8,解得b=1 a2=b2+c (c=2√2 a>b>0 所以箭圆C的方程为号+了=1。 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x号十9y=9,x:≠ ±3，y≠0(i=1,2). ①当直线MN垂直于y轴时， 由对称性，直线AM,BN交于y轴，不合题意，舍去 ②当直线MN不垂直于y轴时，设其方程为x= tym. 联立工y十m ,得(t十9)y2+2y十m2-9=0. x2+9y2=9 依题意，t十9≠0，△>0→t十9-m2>0, 十为=+号0 -2tm 所以m≠士3. 因为A(-3,0),B(3,0), 所以直线AM方程为y-牛3红+3)， 直线BN方程为y=产-3》. 依题意，设P(号p),因为P为直线AM,BN的 交点， 所以斗（号+3）=y=产（号-3）， 所以5y x1十3 x-9 -9y =十3 -9y2 所以45y1y2+十x1x2十3(x1十x2)+9=0, 所以45y1y2+(ty1+m)(ty2+m)+3(ty+m+ty2+ m)十9=0， 所以(+45)y2+t(m十3)(y+y2)+(m+3)2 ·72 数学 =0, 所以(4+45)-9+t(m+3)二2+(m十3=0. t2+9 t2+9 因为m≠士3， 所以(t十45)(m-3)-2tm十(m十3)(t+9)=0. 所以54m-108=0,m=2,满足△>0， 所以直线MN的方程为x=ty十2. 所以直线MN过定点(2,0) 2.解：(1)由题得F(0,1), 所以椭圆E的一个焦点为F(0,1), 设椭圆E:号+若-1(0>60)则c=1, 因为椭圆E上的点与点F的距离的最小值为1， 所以a一c=1,则a=2, 所以6=a2-c2=3, 所以辅圆E的方程为号+号-1. (2)由题意知直线1的斜率存在，F(0,1). 设直线：y=kx十1，A(x,y1),B(x2,y2),则 H(x2,4), (y=kx十1 联立义+女=1得(3张十4)x+6kx9=0, 则△=144(k2+1)>0, 所以x十=一3次千4x4=3干 6k 直线AH的方程为y-4=”一4 (x-x2), x1一x2 令x=0,得w=4-(二4)=4红二业 x1一xg x1一xg 4x1-x(k十1)=4x1-kx1x2一2. x1-x2 x1一2 3 因为kx1=立（x十x), 所以= 4知-号(x十)-= 3 5 2(x1-x2) x1一xg x1一x2 则M(o,号)， 3 所以点M到直线I的距离为d= V√+k1 又|AB|=√1+k|x1-x2 =+飞V√（十x)-4x1双=12k+1 3k2+4 所以Sm=令1AB·d=安·2+ 3k2十4 3 2 9/1+k 9 /1+反3k+43√I十R+ 1 √/1+