常考大题解析几何(B)-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学专项分组练(湖南专版)

常考大题解析几何(B) (限时60分钟) 1.已知第丽C号十芳-1a≥6>≥0)的左右顶点分 2.已知椭圆E的中心为原点，且与抛物线x2=4y有 相同的焦点F,E上的点与点F的距离的最小值 别为A,B,上顶点为T,离心率为2巨，A才.T店= 3 为1. 8,点M,N为椭圆C上异于A,B的两点，直线 (1)求E的方程； AM,BN相交于点P. (2)过点F的直线1交E于A,B两点，过点B作 (1)求椭圆C的方程； 直线y=4的垂线，垂足为H,直线AH与y轴交 于点M,求△MAB面积的最大值. (2)若点P在直线x=号上，求证：直线MN过 定点 数学第55页（共58页） 3.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三4.已知双曲线C的对称中心为原点O,两条渐近线 角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线 分别为l1:y=x,l2:y=一x,其右焦点为（√2,0） 围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛 (1)求C的方程； 物线C:x2=2y(>0)的焦点为F,直线l:y=2 (2)直线l:y=2x-4与C交于A1,B1两点(A1在 过点F,过x轴下方的一点P作C的两条切线1， B上方)，过点A1,B1分别作2,1的平行线相交 2,且1，l2分别交x轴于点A,B,交l于点M,N. 于点P1,过点P作l的平行线交C于A2,B2两 (1)求C的方程； 点(A2在B2上方)，再过点A2,B2分别作12，L1的 (2)若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN; 平行线相交于点P2,…,这样一直操作下去，可以 (3)证明：切线三角形PAB的外接圆过定点. 得到一系列点P1,P2,…,Pn(n≥3，n∈N*). (i)证明：P1,P2,…,Pn共线； (ⅱ)证明：OP,2-|PP:+12为定值，1≤i≤ n-1,i∈N*. 数学第56页（共58页）参考答案及解析 整理得y2=5x2-16x十12=(5x-6)(x-2)= 5(x-号)x-2)· 则一 .y。=5, -2 所以存在点G(号，0），使得直线EG与直线EH的 斜率之积为定值5. 常考大题解析几何(B) 1.解：(1)依题意，A(-a,0),B(a,0),T(0,b),AT=(a, b),TB=(a,-b), =22 a 3 a=3 则有{a2-b2=8,解得b=1 a2=b2+c (c=2√2 a>b>0 所以箭圆C的方程为号+了=1。 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x号十9y=9,x:≠ ±3，y≠0(i=1,2). ①当直线MN垂直于y轴时， 由对称性，直线AM,BN交于y轴，不合题意，舍去 ②当直线MN不垂直于y轴时，设其方程为x= tym. 联立工y十m ,得(t十9)y2+2y十m2-9=0. x2+9y2=9 依题意，t十9≠0，△>0→t十9-m2>0, 十为=+号0 -2tm 所以m≠士3. 因为A(-3,0),B(3,0), 所以直线AM方程为y-牛3红+3)， 直线BN方程为y=产-3》. 依题意，设P(号p),因为P为直线AM,BN的 交点， 所以斗（号+3）=y=产（号-3）， 所以5y x1十3 x-9 -9y =十3 -9y2 所以45y1y2+十x1x2十3(x1十x2)+9=0, 所以45y1y2+(ty1+m)(ty2+m)+3(ty+m+ty2+ m)十9=0， 所以(+45)y2+t(m十3)(y+y2)+(m+3)2 ·72 数学 =0, 所以(4+45)-9+t(m+3)二2+(m十3=0. t2+9 t2+9 因为m≠士3， 所以(t十45)(m-3)-2tm十(m十3)(t+9)=0. 所以54m-108=0,m=2,满足△>0， 所以直线MN的方程为x=ty十2. 所以直线MN过定点(2,0) 2.解：(1)由题得F(0,1), 所以椭圆E的一个焦点为F(0,1), 设椭圆E:号+若-1(0>60)则c=1, 因为椭圆E上的点与点F的距离的最小值为1， 所以a一c=1,则a=2, 所以6=a2-c2=3, 所以辅圆E的方程为号+号-1. (2)由题意知直线1的斜率存在，F(0,1). 设直线：y=kx十1，A(x,y1),B(x2,y2),则 H(x2,4), (y=kx十1 联立义+女=1得(3张十4)x+6kx9=0, 则△=144(k2+1)>0, 所以x十=一3次千4x4=3干 6k 直线AH的方程为y-4=”一4 (x-x2), x1一x2 令x=0,得w=4-(二4)=4红二业 x1一xg x1一xg 4x1-x(k十1)=4x1-kx1x2一2. x1-x2 x1一2 3 因为kx1=立（x十x), 所以= 4知-号(x十)-= 3 5 2(x1-x2) x1一xg x1一x2 则M(o,号)， 3 所以点M到直线I的距离为d= V√+k1 又|AB|=√1+k|x1-x2 =+飞V√（十x)-4x1双=12k+1 3k2+4 所以Sm=令1AB·d=安·2+ 3k2十4 3 2 9/1+k 9 /1+反3k+43√I十R+ 1 √/1+ 数学 因为1十k≥1， 所以3√/个十产十 1 =≥4，当且仅当k=0时等号 √/1十 成立， 9 所以SAMAB≤4' 所以△MAB面积的最大值为号， 3.解：1)由题意得号-2，则p=4, 所以抛物线C的方程为x2=8y. (2)因为△PMN为阿基米德三角形， 所以(1，l2分别与抛物线C切于点M,N, 不妨设点M在y轴左侧，则M(-4,2),N(4,2). 由=8y,得y=日，则=子 所以的斜率为一1,2的斜率为1， 所以1⊥l2, 所以∠MPV=90 (3)由(1)可知抛物线C:x2=8y, 设4山分别与抛物线C切于点Q(西，答)R(x, 琴）函0， 由(2)可知直线PQ的斜率为子，直线PR的斜率 为子 所以直线PQ的方程为y一专-号(x-),即y 平-君 直线PR的方程为)y一菩=孕(x一.即y=号： 8 所以P(士产，爱)A(臣，（号） 设△PAB外接圆的圆心为G(m,n), 则圆心G在线段AB的垂直平分线上， 所以m=十型 4 则圆G的半径为GA=√(-)+元 √(2）广+， 所以圆G的方程为(x-十巫)+(y一) 4 (）'+, 又点P在圆G上， 7 参考答案及解析 所以(5）‘+（色g-)=(臣）+， 即4+x-=0,所以n=十16 A 64 4 16 所以()+() =()+(洁)， 整理得r-产十y-1,+华-0， 2 4 即r+y-2y-严x+2(1-告)=0， 2 (x2+y2-2y=0 令x0 ,得x0 1-=0 y=2' 所以△PAB的外接圆过定点(O,2), 年解：1)依题意可设双曲线C,苔-芳 1(a>0,b>0), {c=√2 由题可得么=1 ,解得a=b=1, a a2+62=c2 .双曲线C的方程为x2-y2=1. (2)(i)设过点P:-1且平行于l的直线为y=2x+ m,2≤i≤n十1，i∈N”,与C交于A,B,两点， 联立=2x+m x2-y2=11 得3x2十4mx十m+1=0, △=4m-12>0 则十=一合>0，解得<一后 4·g=m+1 3 由题得直线A,P:的方程为y-A,=一(x一xA,), 又yA,=2xA,十m, ∴直线A,P,的方程为y=一x十3xA,十m:, 同理可得直线B,P:的方程为y=x十xB,十m:, 联立=一x+3x4十m y=x十xB,十m: 户(，，+小 2 由十%=一，得m=3十3鱼. 3 4 .yr,= 3x,十x形_3x,十34=3一 2 4 4 1 v, 1 P,P…,P.都在直线y=2x上， 参考答案及解析 即P,P2,…,Pn共线。 (i)油(i)可设P(s,)）,1<i<m-1,eN, slop=子， 且过点P,的直线A+1B,+的方程为y=2x- 2x, 3 由(1)可知m+1=一之x, xA+1十x+1= 一4山=2x,x+1·xB+1 3 +1十1_9x号十4 3 12 x+1= 3x一x:L, 2 PP+1=号(x+1-) 2 =子(x1-1) =号[(x1十1)”-4红1+1门 =(x-3x-÷)=子云-吾 ·OP-P,P+1=号，为定值. 常考大题函数与导数(A) 1.解：(1)若a=-2,则f(x)=(-2x十1)e-1, 所以f(x)=(-2x+1)e-2e=(-2x-1)e, 令f(x)>0,得<-： 令了()<0，得>- 所以∫(x)在(-，-)上单调递增，在 (-合，+∞)上单调递减， 所以f(x)的极大值为f(-号)=2e寸-1，无极 小值 (2)若Hx∈[0，十∞)，f(x)≤(a十1)x, 则对Hx∈[0，+∞)，(a十1)x-(ax十1)e+1 ≥0， 7 数学 令g(x)=(a十1)x-(ax十1)e+1,x≥0， 则g'(x)=a十1-(ax十a十1)e, 令u(x)=a十1-(ax十a十1)e,x≥0， 则u(x)=-(ax十2a十1)e, 当a≤-之时，2a+1≤0，则ar+2a+1≤0， 所以u(x)≥0， 所以u(x)即g'(x)在[0，十∞)上单调递增， 则g'(x)≥g'(0)=0, 所以g(x)在[0，十o)上单调递增， 所以g(x)≥g(0)=0,符合题意. 当-<a<0时，令(x)<0,得0≤r<-2a a 则u(x)即g(x)在[0，-2十1)上单调递减， a 所以当x∈0，-2a+1)时，g(x)≤g(0)=0, 则g(x)在[0，-2a+)上单调递减， a 所以当x∈[0，-2a+1)时，g(x)≤g(0)=0,不符 合题意。 当a≥0时，t(x)<0, 所以u(x)即g'(x)在[0，十∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(0)=0, 则g(x)在[0，十∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(0)=0,不符合题意. 综上a的取值范周为(-0，一之] 2.解：(1)因为f(x)=alnx十x2-(a十2)x(a>0), 该函数的定义域为(0，十∞)， f(x)=g+2x-(a+2)=2x2-(a+2)x+a x =(2x-a)(x-1) x 因为a>0,由f(x)=0得x=或x=1 ①当号=1，即a=2时，了(x)≥0对任意的x>0恒 成立，且f(x)不恒为零， 此时，函数f(x)的增区间为(0，十∞)，无减区间； ②当号>1，即a>2时，由f(x)>0得0<x<1或 >受：由fx)<0得1<<号 此时，函数f(x)的增区间为(0,1)、（受，十），减 区间为(1，号)： ⑧当号<1，即0<a<2时，由f(x)>0得0<x<