精品解析：湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三下学期4月阶段检测数学试题

湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三下学期4月阶段检测数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知复数，则=（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. T C. S D. Z 3. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 4. 在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则解释变量和响应变量之间的相关系数（　　） A. B. C. 0 D. 1 5. 在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A. B. C. 20 D. 30 6. 我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线上存在点，圆上存在点，使得，则实数的最大值为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知为单位向量，且，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 6 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求、若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分) 9. 如图所示，在棱长为2的正方体 中. M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（　　） A. 直线AM与BN 是平行直线 B. 直线 AB 与MN 有一个公共点 C. 直线 MN与AC 所成的角为60° D. 四边形 的面积为 10. 下列有关排列数、组合数的等式中，，正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第行白圈的个数为，其前n项和为，黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12. 不等式 的解集为_______. 13. 已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为___________． 14. 若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”． （1）求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 16. 如图，在平行六面体 中，棱 底面ABCD是边长为2的正方形，且 （1）求证:BD⊥平面 ACC1A1； （2）求平面AB1C与平面ACC1A1夹角的余弦值. 17. 中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 （1）证明： （2）求的内切圆半径r的取值范围； （3）若的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值. 18. . （1）若，求在零点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有三个极值点，求证：. 19. 在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆. （1）试判断3是否为抛物线的和谐数.若是，求出3的和谐圆；否则，请说明理由. （2）设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设点，记的面积为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三下学期4月阶段检测数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知复数，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， . 2. 已知集合，则（ ） A. B. T C. S D. Z 【答案】C 【解析】 【分析】分析可得，由此可得出结论. 【详解】任取，则，其中，所以，故， 因此，. 故选：C 3. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，由不等式的性质，可得成立，即充分性成立； 反之：若，则成立，即必要性成立， 所以是的充要条件，所以A不符合题意； 对于B，若，当时，可得；当时，可得，即充分性不成立； 反之：若，当时，可得；当时，可得，即必要性不成立； 所以是的既不充分也不必要条件，所以B不符合题意； 对于C，例如：当时，满足，此时，所以C不符合题意； 对于D，若，则，所以，可得，所以充分性成立； 反之：若，当时，可得，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，所以D符合题意. 4. 在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则解释变量和响应变量之间的相关系数（　　） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，样本数据所对应的点均在直线上，而直线的斜率， 说明解释变量和响应变量之间正相关，即，且线性相关程度达到最强，所以. 5. 在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A. B. C. 20 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】先分析出，然后由条件求出及的值，再根据在等比数列中仍构成等比数列，列出方程，即可求出. 【详解】在等比数列中,若，则， 由，知显然不成立，故. 将代入，解得，进而可得. 设，在等比数列中，因为仍构成等比数列， 所以，即， 整理可得，即，解得或. 因为，所以. 6. 我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为，根据椭圆的性质以及离心率得出“嫦娥四号”到月球表面最远的距离. 【详解】椭圆的离心率，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为 则 故选：B 7. 若直线上存在点，圆上存在点，使得，则实数的最大值为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】设点和，根据题意，得到，代入圆的方程，整理得到关于的一元二次方程，结合，列出不等式，即可求解. 【详解】因为点在直线上，不妨设点，且， 又因为向量，可得 ，解得， 因为点在圆上，可得， 整理得， 该方程是关于的一元二次方程，存在实数解的充要条件为， 即，整理得， 即，解得，所以实数的最大值为. 8. 已知为单位向量，且，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值. 【详解】由题意知， 则， 得，则， 故， 因为， 所以， 则， 当且仅当与方向相反时“”成立， 所以的最小值为. 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求、若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分) 9. 如图所示，在棱长为2的正方体 中. M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（　　） A. 直线AM与BN 是平行直线 B. 直线 AB 与MN 有一个公共点 C. 直线 MN与AC 所成的角为60° D. 四边形 的面积为 【答案】CD 【解析】 【详解】选项A，，平面就是平面， ，平面，平面， 平面，， 由异面直线的判定定理得到与是异面直线， 故选项A错误； 选项B，M，N分别为棱，的中点，平面， ，平面，平面，平面， 与不平行，与是异面直线，直线 AB 与MN 没有公共点， 故选项B错误； 选项C，取的中点，连接，则， 则是直线 MN与AC 所成的角或其补角， 正方体的棱长为，， ， ， ，， ，， 直线 MN与AC 所成的角为，故选项C正确； 选项D，，， ，是等腰梯形， 分别过作的垂线，交于点， 则，， 则， 故四边形的面积为，故选项D正确. 10. 下列有关排列数、组合数的等式中，，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用组合数性质判断A；利用排列数阶乘公式判断B；利用组合数性质计算判断C；利用组合数性质及二项式定理计算判断D. 【详解】对于A，由组合数性质知，，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C， ，C正确. 对于D，因为， 所以 ，D正确. 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第行白圈的个数为，其前n项和为，黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意得，再利用裂项相消法可求出，，然后逐个分析判断，即可求解. 【详解】由于每一个白圈产生下一行的1白1黑两个圈，一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈， 第n行白圈的个数为，黑圈的个数为，所以，所以B错误， 所以由，得，，，所以A正确， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以 ， 所以，所以，所以D正确， 因为，所以， 因为，，所以， 所以，所以C错误. 三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12. 不等式 的解集为_______. 【答案】 【解析】 【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解． 【详解】因为 则，解得， 所以不等式 的解集为. 13. 已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的三条边，再利用是锐角三角形，结合余弦定理求出双曲线离心率的取值范围． 【详解】 关于原点对称，双曲线焦点关于原点对称， 四边形是平行四边形，则， ，， 设点在左支，根据双曲线定义得：， 联立可得， 的三条边：，， 是锐角三角形， 的三个内角均为锐角，即 ：，则； ： ，不等式恒成立； ：，则， 双曲线的离心率的取值范围为：． 故答案为： 14. 若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先对函数求导，然后根据参变分离，将问题转化为图象交点问题，利用导数的性质分析函数的单调性，进而确定极值点的情况，从而求出实数a的取值范围. 【详解】因为只有1个极值点，所以，， 由，得， 则直线与的图象仅存在一个交点（变号零点）， 设，则， 由，得；由，得或； 则在和上单调递减，在上单调递增， 又，，当时，，当时，， 故其函数图象如图： 当时，直线与的图象仅在有1个交点，符合题意； 当时，直线与的图象在上以及处各有1个交点， 但仅在上存在1个变号零点，符合题意； 当时，直线与的图象有3个交点，不符合题意； 当时，直线与的图象无交点，不符合题意， 所以当时有唯一极值点， 综上，实数的取值范围是. 四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”． （1）求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1），， （2） X 0 1 2 3 4 P . 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的特征、百分位数、平均数的计算公式计算即可； （2）根据分层抽样的法则先确定两组抽取到的人数，再由离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图知， 设第70百分位数为x，前两组所占频率为， 前三组所占频率为，则x位于第三组数据中， 所以， 平均数 ； 【小问2详解】 由（1）知分数在，内的两组学生分别有 人， 所以各自抽取的人数分别为人， 显然“特优选手”有4人， 故X可取，， ， 所以其分布列为： X 0 1 2 3 4 P . 16. 如图，在平行六面体 中，棱 底面ABCD是边长为2的正方形，且 （1）求证:BD⊥平面 ACC1A1； （2）求平面AB1C与平面ACC1A1夹角的余弦值. 【答案】（1）在平行六面体中，令，，， 由正方形边长为2，得，而，， 则， ， 因， 则，则，即， 又底面ABCD是边长为2的正方形，则 ， ， 平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量数量积运算证明，再利用线面垂直的判定推理得证. （2）利用空间向量数量积的运算求出平面 的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 设平面 的法向量， 则， 不妨取，得，则， 由（1）知平面的法向量， 又， ， ， 故， 所以平面 与平面夹角的余弦值为. 17. 中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 （1）证明： （2）求的内切圆半径r的取值范围； （3）若的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值. 【答案】（1） 由​，得​，​，结合已知， 由余弦定理得，化简得​， 所以 要证，即证， 因为，等价于，即， 又，即，解得， 所以 ，故成立，得证； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出和的值，再用表示，进而得到的表达式，整理证明即可； （2）先利用和得到关于的表达式，通过函数关系确定的取值范围； （3）先求出的值，再建立坐标系，将内切圆方程表示出来，设出点的坐标，利用两点间距离公式表示出，结合圆的方程求其最大值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 三角形面积​，内切圆半径​， 代入化简得​，， 是开口向下的二次函数，对称轴​，最大值为​，且， 故的取值范围是； 【小问3详解】 当​时，得​，​，三边长满足， 则为直角三角形，为直角，内切圆半径， 建立坐标系，如图所示 则，，，内心， 内切圆方程：， 设，则，即， 平方和， 展开化简得​， 由内切圆的范围​，当时最大，最大值为. 18. . （1）若，求在零点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有三个极值点，求证：. 【答案】（1） （2） 当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减； 当时，在单调递减，单调递增，单调递减； （3） ， 因为有3个极值点，由（2）可知，记， 则在递减，递增，递减， 由于，故，因此是的极小值点，记为， 由于在上递增，故， 当时，，故在内有唯一零点， 即为的极大值点， ，而， 因此为的极大值点，即， 故当时，有3个极值点，且， 由于在上递增， 故. 【解析】 【分析】（1）求导函数，利用导函数的几何意义求得切线斜率，利用零点定义求出零点，代入点斜式直线方程求解即可； （2）记，求导函数，然后按照、和分类讨论研究单调性； （3）由（2）可知，记，则 ，求得，，然后利用对勾函数单调性及放缩法证明即可. 【小问1详解】 当时，函数为，求导得， 令，得，解得，即零点为， 又切线斜率为，所以切线方程为； 【小问2详解】 ，记，则， 记，分情况讨论： ①当时，，故在上单调递增； ②当时，为开口向下的二次函数，对称轴， 1）若，即时， ，即，在上单调递减； 2）若，即时，有两个正根， 当时，，即， 当时，，即， 则在单调递减，单调递增，单调递减， 综上，当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减； 当时，在单调递减，单调递增，单调递减； 【小问3详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆. （1）试判断3是否为抛物线的和谐数.若是，求出3的和谐圆；否则，请说明理由. （2）设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设点，记的面积为，证明：. 【答案】（1）是， （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：显然点为抛物线的焦点，∴， 易知，且，∴为等腰三角形， 易知的面积， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴不等式得证. 【解析】 【分析】（1）先假设3是抛物线的和谐数，进而结合题意求解即可； （2）（ⅰ）不妨设，由为抛物线的和谐数，可得的和谐圆为，进而结合（1）得到，，进而结合题意可得，进而得到数列是等差数列，进而求解； （ⅱ）由题意可得，，，可得为等腰三角形，可得的面积，进而放缩得到当时，，结合裂项相消法求证即可. 【小问1详解】 假设3是抛物线的和谐数，则3的和谐圆为， 由对称性，不妨设圆与抛物线有公共点， 显然抛物线在点处的切线，即曲线在点处的切线， 易知该切线的斜率为， ∵圆与抛物线在点处有相同的切线， ∴，解得， ∴圆与抛物线有公共点， ∴和谐圆的半径为 ∴3是抛物线的和谐数，且3的和谐圆为. 【小问2详解】 由对称性，只需考虑，，…，均在轴上方的情形，不妨设， （ⅰ）∵为抛物线的和谐数， ∴的和谐圆为， ∴由（1）可知，，解得， ∴， ∵在圆上，∴， ∵，圆与外切，且， ∴，即， ∴， ∴数列是等差数列，其公差为2，首项为， ∴，即， ∴数列的通项公式为. （ⅱ）略 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $