精品解析：湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三下学期月考(七)数学试题

长沙市一中2025届高三月考试卷（七） 数学 一、选择题 1. 已知复平面内坐标原点为，复数对应点满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算易求出，再根据复数的几何意义即可得. 【详解】由可得； 所以可得，即； 即. 故选：C 2. 如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值可说明充分性不成立；根据不等式的性质可说明必要性成立，由此可得结论. 【详解】若，则取，满足，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 若，设，则， 所以，所以，所以， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 天然钻石是在地球深部高压、高温条件下形成的一种由碳元素组成的单质晶体，随着科技发展，人工钻石也在不断涌现，目前已合成的有白钻、黄钻、绿钻及蓝钻.钻石常见外形有圆形、椭圆形、榄尖形、心形、梨形、方形、三角形等！现有一款雕琢后的钻石，其形状如图所示，可看作由正六棱台 和正六棱锥 P-ABCDEF组合而成，其中 若该组合体的外接球存在，且外接球的体积为36π，则AA₁ 的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由组合体的外接球的体积可求得半径，因为，可得球心的位置，记正六边形的中心为，可求得，进而可求得. 【详解】因为组合体的外接球的体积为，设球的半径为，所以 所以外接球的半径，因为，所以球心O与正六边形 的中心重合， 记正六边形的中心为，因为 所以 所以. 故选：D. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，则的值为 A. 26 B. C. 52 D. 【答案】D 【解析】 【详解】设MN与双曲线的交点为点P，由几何关系结合三角形中位线可得： ， 则：， 点P位于双曲线的左支，则：. 本题选择D选项. 点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验． (2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上． 5. 定义，设函数，若 在区间 上单调递减，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先找出与的交点，确定的表达式，求得单调区间，再结合给定区间的单调性列出关于的不等式组求解. 【详解】令，即，则，解得. 与的周期均为. 当时，在一个周期内，根据与的大小关系来确定： 当时，，,单调递增； 当时，，，单调递减区间为； 当时，，，单调递减区间为. 所以函数的单调递减区间为和. 因为在区间上单调递减，对其进行分类讨论： 情形1.，解得. 由得,. 由，解得 所以或, 所以或; 情形2.，解得, 由得，解得, 由,解得, 所以, 所以. 综上，的取值范围是， 故选：A. 6. 如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列．已知数列为：，记事件A：，且互不相同；事件B：为“局部等差”数列，则条件概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出事件与事件的基本事件的个数，用=计算结果. 【详解】由题意知，事件共有个基本事件， 对于事件，其中含1，2，3的“局部等差”数列的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的“局部等差”数列的同理也有3个，共6个； 含3，4，5的和含5，4，3的与上述相同，也有6个； 含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个；含4，3，2的同理也有2个； 含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个； 含5，3，1的同理也有4个， 所以事件AB共有24个基本事件， 所以． 故选：C. 7. 定义：若存在n个正数，使得，则称函数为“n阶奇性函数”.若函数是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，方程有且只有两个正根，即有且只有两个正根，因此转化为函数与在y轴右侧的图像有两个交点，然后画出两函数的图像，利用图像求解即可 【详解】依题意，方程有且只有两个正根， 即有且只有两个正根， 方程可以化为：，因此转化为 函数与在y轴右侧的图象有两个交点， 先研究函数的图象，因为， 当时，；当时， 且当x=1时，y=0，y'=1，在x=1处切线的斜率是1，简图如图所示： 直线过点(1，0)斜率为m，由图像有两个交点，可以得到m>0且. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查数学转化思想和数形结合的思想，解题的关键是将问题转化为方程有且只有两个正根，即有且只有两个正根，因此转化为函数与在y轴右侧的图像有两个交点，从而利用函数图像求解，属于中档题 8. 设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】要想n的值大，则特征值要尽可能的小，，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，不妨令是只有1个元素的非空真子集，则，是含有两个元素的非空真子集，则时能保证n的值最大，同理可得：，以此类推，利用等差数列求和公式列出方程，求出n的最大值. 【详解】由题意，要想n的值大，则特征值要尽可能的小，可令，，，，，则，解得：或（舍去）. 故选：C 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】结合选项，利用等比数列单调性分析判断即可. 【详解】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值； ，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值； ，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零， 所以等比数列有最大值，也有最小值； ，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值， 偶数项为正无最大值. 故选：BC 10. 在平面直角坐标系中，已知点，若将点绕原点按顺时针旋转弧度，得到点，记，，则下列结论错误的有（ ） A. B. 不存在，使得与均为整数 C. D. 存在某个区间，使得与的单调性相同 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出点的坐标，进而可得出与的表达式，结合三角函数恒等变换与三角函数的基本性质可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，，即为角终边上一点，， ，， ，A对； 对于B选项，当时，，，，都为整数，B错； 对于C选项， ，C错； 对于D选项，， 由，可得，在上单调递减 由，可得，所以，在上单调递减， 因为，所以，当，时，与都在上单调递减，D对. 故选：BC. 11. 如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面垂直，，点在线段EF上（包含端点）．下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得直线平面ACF B. 存在点，使得直线平面ACF C. 直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是 D. 三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】当点为线段中点时，利用线面平行的判定定理即可判断A，假定存在点，使得直线平面ACF，推理导出矛盾即可判断B，利用线面角的定义转化列式计算即可判断C；将几何体放入长方体，利用正弦定理求外接圆半径，进而求出外接圆面积即可判断D. 【详解】 对于A，取EF的中点，连接DG，令，连接FO，FD，如图， 在正方形ABCD中，为BD的中点，BDEF是矩形，则且， 故四边形DGFO是平行四边形，则，又平面ACF，平面ACF， 故平面ACF，则当点与重合时，直线平面ACF，故A正确． 对于B，假定存在点，使得直线平面ACF，而平面ACF，则， 又，从而有，因，点在线段EF上（包含端点）， 则，产生矛盾，故假设不成立，故B错误． 对于C，平面平面ABCD，平面平面， 则在平面ABCD上的射影在直线BD上，故是直线DP与平面ABCD所成角， 在矩形BDEF中，当与不重合时，，而， 则；当与重合时，， 因此，，故C正确． 对于D，因平面平面ABCD，平面平面， 且平面， ，故平面， 如图，将三棱锥放入长方体中，则三棱锥的外接球即长方体的外接球， 又四边形是矩形，则点为长方体的一个顶点，此时三棱锥的外接球被平面ACF截得的截面即的外接圆. 由，在中，，且， 则， 由正弦定理得的外接圆直径 则，其面积为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线过点，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】由直线过点，可得，从而有，展开后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】解：因为直线过点，所以， 因为 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8 故答案为：8 【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题 13. 已知平面向量、、满足，，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，，作，，，则，求出线段的中点的轨迹方程为，可得出，设点，由结合向量模的三角不等式可求得的取值范围. 【详解】如图，设，，，作，，，则， 则，，， 令，即， ， 整理得， 故点的轨迹方程为，， 设点，圆的方程为，半径为， 因为，且，， 所以，，. 即，即. 故的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量模的最值的求解，对于较为复杂的题型，可以考虑将向量特殊化、坐标化来处理，利用解析法结合平面几何的相关知识、向量模的三角不等式来求解. 14. 若正四棱锥的体积，则正四棱锥的表面积的最小值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】设正四棱锥的底面正方形边长为，侧面等腰三角形底边上的高与底面所成角为，结合体积公式将表面积表示为的函数，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】正四棱锥的底面中心为，线段的中点为，连接， 设，则，， 由正四棱锥的体积，得，则， 因此正四棱锥的表面积， 则 ，当且仅当，即时取等号， 解得，所以正四棱锥的表面积的最小值为4. 故答案为：4 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守.某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7个星期(用x=1表示第1个星期，用x=2表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数y(人)的统计数据. x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 14 20 37 74 108 203 （1）根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型，试建立y与x的回归方程（精确到0.01）； （2）为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层抽样抽取了男生30人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均数和方差分别为161.5和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差. 参考数据：，其中； 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1） （2）平均数为167.5，方差为42.6 【解析】 【分析】（1）利用对数变换将非线性回归模型转化为线性回归模型，再根据给定参考公式求出线性回归方程的系数，进而得到与的回归方程； （2）根据分层抽样的性质，利用平均数和方差的计算公式来求解全体学生身高的平均数和方差. 【小问1详解】 已知，两边取常用对数可得， 设，，，则回归方程变为. 先计算，，，. 根据参考公式，，将，，，代入可得： . . 则， 因为，，所以，则；，则. 所以与的回归方程为. 即 【小问2详解】 全体学生身高的平均数. 根据方差公式（其中为各层人数，为各层方差，为各层平均数，为总平均数）. 将，，，，，，代入可得： 则全体学生身高的平均数为167.5，方差为42.6. 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，不是直角且. （1）证明：； （2）若是正三角形，，求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证线线垂直，可以从线面垂直入手，证得AC⊥平面，进而得到； （2）利用空间坐标系的方法，求得两个面的法向量，通过向量的夹角的计算得到二面角的大小. 【小问1详解】 过点B1作A1C的垂线，垂足为O，如图所示： 由平面平面，平面平面， 平面，，得平面， 又平面，得， 由，，得， 平面，又，得平面， 又平面，得. 【小问2详解】 以C为坐标原点，,的方向为x轴，y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz, 由是正三角形，，可得， 所以，，， 设是平面的一个法向量，则 即，令，则有， 得， 设是平面ABC的一个法向量，则 ，即，令，则有， 得， 则， 又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为. 17. 如图，在平面直角坐标系中，和是轴上关于原点对称的两个点，过点倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且． （1）若为的焦点，求证：； （2）过点作轴的垂线，垂足为，若，求直线的方程． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）将转化为(坐标表示),从而求出点的坐标即可解答；或者由，可看作是以为直径的圆与抛物线交点，从而求出的坐标即可解答； （2）由，易得，即，所以点必在中垂线上，联立直线与抛物线方程，再结合即可求解. 【小问1详解】 法一： 由题可知，， 设，， 则，． 因为，故， 解之得，． ， ． ． 法二： 由题可知，， 设点，因为，故点在圆上， 又因为点也在上，联立与得 ． 解之得． 因为，故． 故，． ． ． 【小问2详解】 因为，， 所以，故． 所以点必在中垂线上． 方法一： 设，直线的方程为，，． 将代入 得： ，，． 因为点在中垂线上，故． 所以，即，左右两边同时除以得，解得：或，又因为 所以，． 因为，所以即． 所以，，，． 所以直线的方程为 即． 方法二： 设，直线的方程为，，， 将代入 得： ，，． 因为点必在中垂线上，且, 所以点为的中点，故，． 因为，所以即． 所以，，． 所以直线的方程为． 即． 18. 已知函数f(x)= xlnx. （1）求f(x)的单调区间； （2）若 恒成立，求实数m的取值范围； （3）若正实数a，b满足证明： 【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）解不等式和即可； （2）构造函数，再研究方程的根即可分类得出的单调性； （3）先用三角换元设出，再构造函数，再研究其单调性，求其最小值即可. 【小问1详解】 依题意，的定义域为，， 得；得， 故区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 由，即对恒成立， 设，，则， ， 当时， ，则在上单调递增， 故，符合题意； 当时，令，则，因，则该一元二方程存在两个根，又，则， 则得；得， 则在区间上单调递增，在区间上单调递增减， 则当时，不符合题意， 综上可知，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 令，， 令， 则 ， 设，，则，则在上单调递增， 当时，，则，； 当时，，则，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 由（2）可知，当时，，则 综上可知，. 19. 对于有穷正整数列，记，若数列满足：，使得，则称为平滑数列. （1）已知数列，判断是否为平滑数列，并说明理由； （2）若平滑数列是公差为的等差数列，求的最大值； （3）若平滑数列的项数为5，求的最大值. 【答案】（1）是，不是，理由见解析 （2）2 （3）121 【解析】 【分析】（1）根据题意给出的平滑数列的定义，即可得出答案； （2）由平滑数列的定义和反证法先证，再由数学归纳法证可以取到2，即可求出求的最大值； （3）由平滑数列的定义先证，再证可取到121，即可求出的最大值. 【小问1详解】 是平滑数列，不是平滑数列. 理由： 对于，又.符合平滑数列的定义. 对于，考虑到， 因此9无法被表示 【小问2详解】 的最大值为2. 先证.假设：因为，于. 则，即. 因为，于是. 所以 ， 可以得到，与假设矛盾，因此假设不成立，即. 再证可以取到2：构造数列.以下用归纳法证明对于任意， 该数列是平滑数列.根据等差数列的性质，有. 首先，由（1）知为平滑数列. 假设为平滑数列，即， 使得 那么对于，由归纳假设，此时若令，可以表示中的任意数； 若令，可以表示中的任意数. 因为时，，所以上述两集合包含了从1到中的所有自然数. 所以为平滑数列.因此合题意. 所以的最大值为2. 【小问3详解】 的最大值为121.先证. 对于平滑数列，对于， 考虑的所有可能情况，共有种. 当时，此时和为零，于是非零的情况至多有242种. 又对于每一组，都可取与之对应， 此时， 因此和为正数的情况至多有种. 因此. 再证可取到121. 构造数列.由于及上面的论证， 只需证明对于不同的各不相同. ，设，有， 若满足， 即. 若，此时不是3的倍数，但是3的倍数，矛盾.因此； 若，此时不是9的倍数，但是9的倍数，矛盾.因此； 同理可证均等于零. 因此若，必有.得证. 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性.抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析；计算特性是将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市一中2025届高三月考试卷（七） 数学 一、选择题 1. 已知复平面内坐标原点为，复数对应点满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 天然钻石是在地球深部高压、高温条件下形成的一种由碳元素组成的单质晶体，随着科技发展，人工钻石也在不断涌现，目前已合成的有白钻、黄钻、绿钻及蓝钻.钻石常见外形有圆形、椭圆形、榄尖形、心形、梨形、方形、三角形等！现有一款雕琢后的钻石，其形状如图所示，可看作由正六棱台 和正六棱锥 P-ABCDEF组合而成，其中 若该组合体的外接球存在，且外接球的体积为36π，则AA₁ 的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，则的值为 A. 26 B. C. 52 D. 5. 定义，设函数，若 在区间 上单调递减，则ω的取值范围为（ ） A B. C. D. 6. 如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列．已知数列为：，记事件A：，且互不相同；事件B：为“局部等差”数列，则条件概率（ ） A. B. C. D. 7. 定义：若存在n个正数，使得，则称函数为“n阶奇性函数”.若函数是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 10. 在平面直角坐标系中，已知点，若将点绕原点按顺时针旋转弧度，得到点，记，，则下列结论错误有（ ） A. B. 不存在，使得与均为整数 C. D. 存在某个区间，使得与的单调性相同 11. 如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面垂直，，点在线段EF上（包含端点）．下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得直线平面ACF B. 存在点，使得直线平面ACF C. 直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是 D. 三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面面积是 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线过点，则的最小值为________． 13. 已知平面向量、、满足，，，则的取值范围为______． 14. 若正四棱锥的体积，则正四棱锥的表面积的最小值为_______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守.某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7个星期(用x=1表示第1个星期，用x=2表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数y(人)的统计数据. x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 14 20 37 74 108 203 （1）根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型，试建立y与x的回归方程（精确到0.01）； （2）为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层抽样抽取了男生30人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均数和方差分别为161.5和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差. 参考数据：，其中； 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，不直角且. （1）证明：； （2）若是正三角形，，求二面角的大小. 17. 如图，在平面直角坐标系中，和是轴上关于原点对称的两个点，过点倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且． （1）若为的焦点，求证：； （2）过点作轴的垂线，垂足为，若，求直线的方程． 18. 已知函数f(x)= xlnx. （1）求f(x)的单调区间； （2）若 恒成立，求实数m的取值范围； （3）若正实数a，b满足证明： 19. 对于有穷正整数列，记，若数列满足：，使得，则称为平滑数列. （1）已知数列，判断是否为平滑数列，并说明理由； （2）若平滑数列是公差为等差数列，求的最大值； （3）若平滑数列的项数为5，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $