(1)解三角形-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第三册&必修第四册同步周测卷（人教B版）

高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第四册· 高一同步周测卷/数学必修第四册（一） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) 9 ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 利用正弦定理求三 1 选择题 5 易 0.80 角形外接圆的周长 正、余弦定理的应用 选择题 5 易 0.75 (已知三边求角) 余弦定理，利用三角 3 选择题 5 易 0.72 形面积公式求高 利用余弦定理判断 4 选择题 5 中 0.65 三角形形状 利用余弦定理求线 选择题 5 段的长（古代数学文 中 0.55 化) 利用正、余弦定理解 6 选择题 中 0.35 决航海问题 7 正弦定理中的两解 选择题 中 0.50 问题 与三角形有关的方 8 选择题 6 中 0.30 案设计问题 正弦定理的应用（已 9 填空题 5 易 0.72 知两角及一边) 利用正、余弦定理解 10 填空题 5 中 0.40 锐角三角形 三角函数与解三角 11 解答题 13 中 0.60 形的综合 解三角形与基本不 12 解答题 15 等式的综合，三角形 V 中 0.45 的角平分线问题 测量距离问题，与函 13 解答题 20 中 0.35 数的综合 ·23· ·数学（人教B版）必修第四册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 ∠CDA为锐角，故∠CDA=60°，则此时灯塔C位于 1.B【解析】设R为△ABC外接圆的半径，由正弦定 渔船的北偏西30°方向，即渔船位于灯塔C的南偏东 理可知2R=a 8 sin A =8=8√2，故△ABC外 30°方向.故选A. sin4 接圆的周长为2πR=8√2π.故选B. 2.C【解析】因为sinA:sinB:sinC=4:7:9,所以最小 角为A,由正弦定理可设a=4k,b=7k,c=9k.由余弦 定理得cosA= F+c2-a2=49k2+81-16k 2bc 2×7k×9k 品故选C 3.C【解析】由余弦定理得BC= √1+(5)-2x1X5×cos晋=1，设BC边上 二、选择题 7.BD【解析】对于A,因为两边及其夹角唯一确定一 的高为h,则S=号AB·AC·sn否=合X1· 个三角形，所以A错误；对于B,由正弦定理得sinB 6,解得么-9放进C bsin A a 3X立区<1，又>a即B∈（告： 2 4.A【解析】由c<bcos A,可得c<十d.b,即 2bc 所以B=或B=红，故B正确：对于C,由正弦定理 3 a+c2<6,则cosB=a+c2-8 2ac <0,又B∈(0，π)， 2x号 则受<B<元，则△ABC的形状为钝角三角形.故 得sinC=csin B_ 6 =√3>1，无解，故C错误； 选A. 2X② 5.A【解析】由题可知在△DEF中，∠EDA=子，则 对于D,由正弦定理得sinA=asin b √√ ∠ADB=-,不妨设DF=3(k>0),由DF=3AF <1,又a>6,即A(子)，又易知smA- √3 知AF=k,则AD=4k,又因为△AFC与△BDA全 等，所以DB=AF=k,则在△ABD中，由余弦定理可 Sin工三2，则sinA=有两个解，故D正确.赵 4 2 知cOs∠ADB=AD+BD-AB 选BD 2AD·BD (4k)+-(32)=-1 8.BCD【解析】对于A,如果M,N两点与佛像底部不 ,解得k=3,所以DF 在一条直线上时，就不能测量出佛像的高度，故A不 2×4kXk 正确：对于B,如图1，设佛像高度为CD,在佛脚平台 =9.故选A. 上一点测得佛顶的仰角为∠CAD=a,再面对大佛前 6.A【解析】如图，由题意，在△ABD中，B=15°十30 行AB=S米，测得佛顶的仰角为∠CBD=B,在 =45°，AB=12√6，∠ADB=60°，由正弦定理得 ADAB12 L=24V2,所以AD=24,在 △CBD中，CB=品在△CAD中，CA=CD,所 tan a sin 45 sin60° √3 2 品品即5品品佛像 以CA-CB=CD、CD △ACD中，因为AC=12W3,∠CAD=30°，由余弦定 高度CD= 理得CD=AC十AD-2 ACX AD×cos30°= 11,故B正确：对于C,如图2，设 tan a tan 8 (125)）'+24-2×125×24×-=14,所以CD 2 佛像高度为CD,在△ABD中由正弦定理求AD,则 佛像的高CD=h十ADsin a,故C正确；对于D,如图 -AC 12,由正弦定理得s0=sm☑CDA’所以 3,在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角 sin∠CDA= 12×立- α，B,再测量A,B两点间距离和两点相对于大佛底部 12 号，因为AD>AC,故 的张角O,在Rt△ADC,Rt△BDC中用CD来表示 AC,BC,在△ABC中由余弦定理就可以计算出佛像 ·24· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第四册· 高度CD,故D正确.故选BCD. f0<A<受， △ABC是锐角三角形，所以 解得 0<-A< 吾<A<受，所以mA>号，所以0<< 3 35,从而s(停，25）月 2 四、解答题 1l.解：(1)由题意得f(x)=√3sinx-cosx-1 图1 =2sin(x-若）-l, (2分) 所以由f(B)=2sin(B-石)-1=0， 得sin(B-吾)= (4分) 又因为0<B<π， 所以一吾<B吾<， 所以B一吾=若，B=受 (6分) 图2 (2)因为6=√3，B=号且△ABC的面积为33， D 所以d+e-2 cos B=-6且Sax=2 acsin B=35, 即/a2+c2-ac=13 (10分) (ac=12 舞得化友0子 (12分) c=41 C 所以a-c=±1. (13分) a- 12.解：(1)由已知得bcos C十ccos B=2 acos A, 由正弦定理得sin Bcos C十sin Ccos B 图3 =2sin Acos A, 三、填空题 sin A=sin (B++C)=2sin Acos A, (3分) 9.2√2【解析】由B=105°，C=30°，得A=180°-B 又sinA≠0， C=45,由正弦定理得品AC即是 ② 2,解得 所以2cosA=1, 2 即c0sA=分， (4分) a=2√2. 又因为A∈(0，π)， 10.号(926） 【解析】由余弦定理得cosC 所以A=晋 (5分) +。兰=路合因为ce(o,登》，所以C一 (2)由余弦定理得a2=十c2-2 bccos A=+c2 2ab bc≥2bc-bc=bc=4,当且仅当b=c=2时取等号， (8分) 青由正装定理品A得6 b 2sin(经-A） 所以a2≥4，a≥2， sin A 则a的最小值为2. (10分) 2sin[x-(A+号）] 2sin(A+号） (3)由∠BAC的平分线与边BC交于点D, sin A ，所以S= 可得S△ABC=S△ABD十S△ADC, sin A 因为A=于，AD为∠BAC的平分线，且AD=1, 2ab·sinC= Esin(A+号） sin A ?十2anA,因为 所以nA=合c·AD·n吾+子b:AD: sin (13分) ·25· ·数学（人教B版）必修第四册· 参考答案及解析 可得3bc=b十c, 12 所以分+-，得证 (15分) 所以fa)=3x菱sina-os sin a +6x品 5 13.解：(1)在△MNP中，由tana=2, +32-os2(a<≤受) 5 (12分) sin a sin'ao十cos2aw=1 ②冷t= 2-cos a 得 sin a sin ao5 、c0sa0 -12 则tsin a十cosa=2, 则√P+Isin(a十g)=2, (14分) 解得sin ao= 13.cos ao -12 5 31 (2分) 1 则sin∠MNp=sin(平-a) 其中锐角p由sm9√行60g√行确定， -号×（货）器 于是sina十g）= 2 P+i1 MN MP 则有产， (16分) 由正弦定理得 sin∠NPMsin∠MNp' (4分) 所以M,N两点间的距离MN= × 而>0，解得>5，当且仅当。=晋9=晋时取等 _13(km. 号， (18分) 1/2 26 当MQ=号一位。-号-停时，a有最小价 tan a 5 3 (6分) 13 0+3. 6 (2)①在△MNQ中，由正弦定理得sni-a 所以总费用的最小值为(9+3)万元，此时MQ MQ _NQ sin(a-ao） 5 13 的K度为（号-号）km (20分) 解得VQ sin= 12sin a-cos a 5 (9分) sin a ·26·高一同步周测卷/数学必修第四册 (一)解三角形 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,bc,已知a=8,A=T,则△ABC外接 圆的周长为 A.4√2π B.8√2π C.8π D.163 元 3 2.在△ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA:sinB:sinC=4:7:9, 则△ABC中最小角的余弦值为 A员 且器 c号 D. 3.在△ABC中，若A=若，AB=1,AC-B,则BC边上的高为 A.1 B.√2 c. D.2 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c<bcos A,则△ABC的形状是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 5.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾 股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形 与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设DF=3FA,若AB= 3√J2I,则DF的长为 A.9 B.2√3 C.3 D.√3 数学（人教B版）必修第四册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东15°方向，距离为12√6海里，灯塔C 在A的北偏东60°方向，距离为12√3海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处 时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时渔船位于灯塔C的 A.南偏东30°方向 B.南偏西30°方向 C.北偏西60°方向 D.北偏西30°方向 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)》 7.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则根据下列条件有两解的是 A.A=F,b=1,c=2 BA=否b=3,a=月 C.B-5b=1c=2 D.B=平，b=√3，a=2 8.某校计划开展数学建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备 了三种工具：测角仪、米尺、量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量 出大佛高度的方案有 A.把两只佛脚底部看作M,N两点，分别测量佛顶的仰角α，3和 MN的距离 B.在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为α，再面对大佛前行S米，测得 佛顶的仰角为B C.高为h的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶 的仰角α，3 D.在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角α，3，再测量A,B两点间距离和 两点相对于大佛底部的张角日 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=105°，C=30°，c=2,则a 高一同步周测卷一 数学（人教B版）必修第四册第2页（共4页） 10.已知在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2+b一c2=ab,则C ,若a=2,则△ABC的面积S的取值范围为 ·(本题第一空2 分，第二空3分) 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=5sinx-2cos三，在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,且f(B)=0. (1)求B; (2)若b=√13，且△ABC的面积为33，求a一c. 12.(本小题满分15分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,且2 acos A-bos C.=G cos B (1)求A的大小； (2)若bc=4,求a的最小值； (3)若∠BAC的平分线与边BC交于点D,且AD=1,求证：方+-月. 数学（人教B版）必修第四册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通M,N两地，M地位于岸边东西方向的直 线AB上，N地位于海上一个灯塔处，在M地用测角器测得∠NMB的大小，设 ∠NMB=a,已知iana=是在M地正东方向号km的点P处，用测角器测得 ∠NPB=平.在直线AB上选一点Q,设∠NQB=a,且a<≤2，先沿线段MQ在 地下铺设电缆，再沿线段QN在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别 为3万元/km,6万元/km. (1)求M,N两点间的距离； (2)设铺设电缆的总费用为f(α). ①求f(a)的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时MQ的长度. 北 西 一东 南 高一同步周测卷一 数学（人教B版）必修第四册第4页（共4页）