(4)向量的数量积-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第三册&必修第四册同步周测卷（人教B版）

高一同步周测卷/数学必修第三册 (四)向量的数量积 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知a=2,|b=4,向量a与b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影的 数量为 A.-3 B.-2 C.2 D.-1 2.已知向量a=(1,m),b=(m,4),满足a·b=ab,则实数m= A.2 B.-2 C.±2 D.0 3.已知向量a=(3,2),b=(-1,x),则“x=2√3”是“(a+b)L(a-b)”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在△ABC中，AB=3,AC=4,A=60°，D为边BC的中点，则AD的长为 A.3 B.69 2 2 C.37 D.47 2 2 5.已知函数y=tan(平x-罗)的部分图像如图所示，则(OA+Oi)·A的值为 A.-4 B.4 C.-8 D.8 数学（人教B版）必修第三册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 6.铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形 ABCD的边长为4，圆O的半径为4√2，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动 点P在圆O上，且AP=入AB+4AD,则入十4的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知a,b,c是三个非零向量，则下列结论不正确的是 A.(a·b)·c=a·(b·c) B.若|a+bl=a-b|,则a⊥b C.若a·c=b·c,则a=b D.(b·c)a-(a·c)b不与c垂直 &设点M在△1C的边C上，且清花-（高十高-文=应，侧下 列结论正确的是 A.△ABC是等腰三角形 B.若Mi.M店=M·MC,向量A店，BC的夹角为 C.直线AM是角A的角平分线 暗+A 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知向量a=(1,1),向量b在向量a方向上的投影向量的模长为2a,且向量b在x 轴上的坐标为，则向量b的坐标可以为 .(写出一个即可) 高一同步周测卷四 数学（人教B版）必修第三册第2页（共4页） 10.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=1,O为AB的中点.当点P沿着BC,CD与DA 边运动时，AB·OP的最小值为 D C A 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 在△ABC中，AM=M心，BN=2NC,设AB=a,AC=b: (1)用a,b分别表示AN,BM; (2)若AB=2,AC=10,cos∠BAC=0,求AV.BM. 数学（人教B版）必修第三册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 12.(本小题满分15分) 已知向量a=(3,2),b=(x,一1). 1)若向址a与b的夹角的余袋值为要求x的值： (2)当(a+2b)⊥(2a-b)且x>0时，求a-b; (3)当c=(一8，一1)，a与b十c的夹角为钝角时，求x的取值范围. 13.(本小题满分20分) 设平面内两个非零向量m,n的夹角为0，定义一种运算“⑧”：m☒n=mn sin0. 试求解下列问题： (1)已知向量a,b满足a=(5,√2)，b=4,a·b=8,求a☒b的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点A(-1,-2),B(-4,一1)，C(-3,1),求AB☒BC 的值； （)已知向最a=(aaw=(品)e∈o,到求ab的最小值 cos a'sin a) 一同步周测卷四 数学（人教B版）必修第三册第4页（共4页）】高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第三册· 高一同步周测卷/数学必修第三册（四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢN V VI ①②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 向量的投影的数量 易 0.80 向量平行与数量积 2 选择题 5 易 0.72 的综合 向量垂直与充要性 3 选择题 5 易 0.70 的综合 坐标法解决几何 4 选择题 5 中 0.55 问题 正切函数与向量的 5 选择题 5 中 0.45 综合 平面向量基本定理 6 选择题 5 中 0.30 的应用 向量数量积的相关 选择题 易 0.75 概念 向量线性运算、数量 8 选择题 6 中 0.45 积的综合 9 填空题 5 投影向量 易 0.71 10 填空题 求数量积的最值 0.35 平面向量基本定理 11 解答题 13 中 0.60 与数量积的综合 利用坐标法解决向 12 解答题 15 中 0.45 量模长及夹角问题 13 解答题 20 向量的新定义题 中 0.40 套考答案及解析 一、选择题 3.A【解析】向量a=(3,2),b=(-1,x),由(a十b)⊥ 1.D【解析】向量a在向量b方向上的投影的数量为 (a-b),得(a十b)·(a-b)=a2-b2=(32+22)-(1 |acos(a,b)=2Xcos120°=-1.故选D. 十x)=0,解得x=土23，显然当x=2√3时，有(a十 2.C【解析】由|a·b|=|a|b|可知a∥b,所以1× b)⊥(a-b)成立，所以“x=2√3”是“(a十b)⊥(a 4-m2=0,解得m=士2.故选C. b)”的充分不必要条件.故选A ·15· ·数学（人教B版）必修第三册· 参考答案及解析 4.C【解析】因为D为边BC的中点，所以AD b)c,a·(b·c)=a|b||c|cos(b,c),所以(a·b)·c 2(A店+AC),所以A市=(AB+2AB,AC+ 与a·(b·c)不一定相等，故A错误；对于B,若 |a十b|=|a-b|,两边平方得a2+2a·b+b=a2- AC)=子×(3+2×3x4×号+4)=平，所以 2a·b十b,则a·b=0,则a⊥b,故B正确；对于C,若 a·c=b·c,则|a·|cl cos(a,c)=|bl·|cl· |=区，即AD的长为受故选C cos(b,c),c是非零向量，故a|cos(a,c〉=|b|· 5.D【解析】函数y=tan(牙x-受)，当y=1时，有 cos(b,c),故a,b不一定相等，故C错误；对于D, [(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)(a·c)- 牙x-受=平+x(k∈Z),解得x=3十4k(k∈Z), (a·c)(b·c)=0,则(b·c)a-(a·c)b与c垂 直，故D错误.故选ACD. 当)=-1时，有至x一受=一牙十k红（∈），解得 4 8.CD【解标】根据题意设正=A市，A0 x=1十4k(k∈Z),当k=0时，结合图像可得 IABI =A, A(1,-1),B(3,1),则OA=(1,-1),OB= 因此AD,AE即为AB,AC方向的单位向量，令AD+ (3,1),AB=(2,2),所以(OA+O范)·AB A立=A方，可知四边形ADFE为菱形，如下图所示： (4,0)·(2,2)=8.故选D. 6.C【解析】如图： 所以AF即为角A的角平分线；又易知AM 〔高斋)一-症博4三夹线浙 以直线AM是角A的角平分线，可知C正确；没有条 选择{OA,Oi)为基底，由A市=xA馆+aAD→O币 件能说明△ABC是等腰三角形，即A错误；若MA· OA=λ(oi-OA)+4(oi-OA),因为oi=-Oi. Mi=MA·M花，可得MA·Mi-MA·M心-MA· 所以O市=(a-)O+(1-λ-)OA.因为1OA|= (Mi-MC)=Mi·C苏=0，即MA⊥C克，又直线AM 是角A的角平分线可知|AC|=|AB|,即△ABC是 1o=22,0A·Oi=0,所以1o12= 等腰三角形，又|BC=2|A,所以△ABC是等 [(A-4)Oi+(1-λ-4)OA]→32=8（入-u)2十 8(1-入-r)2,整理得2(2十)-2(A十)-3=0. 腰直角三角形，所以向量A店，B心的夹角为3开，可得B 又λ2+2≥2λ以→2(a2+)≥a+2以+2 错误：易知 AB AC IABIACI 分别表示A言，AC方向的单 (入十)2（当且仅当A=4时取“=”）.所以（入十）2 AB 2(A十)-3≤0→（λ十H-3)(1十4十1）≤0→-1≤ 位向量，即 十≤3（当A=以=号时取=”）.故选C 惑)·（惑）-（惑》 二、选择题 7.ACD【解析】对于A,(a·b)·c=a||b|cos(a, (斋》-高斋 =0,即D正确， ·16· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第三册· 故选CD. =-8=6+200=31. (13分) 6 三、填空题 9.(,4一m)或(m,-4-m)(答案不唯一，写出任意 12,解：(1)根据题意得a,b 3x-2 a而=3×F+ =26 26 一个即可)【解析】设b=(m,n),则根据条件有 7 22=21a=1a:1-m+ml,即1m十m=4.从 解得x=1或x=7: (5分) a (2)2a-b=(6-x,5),a+2b=(3+2x,0), 而只要b=(m,n)满足m十n=4或m十n=一4 由(a+2b)⊥(2a-b)可得(a+2b)·(2a-b) 即可， =(6-x)(3十2x)=0, 10.-2【解析】以A为原点建立平面直角坐标系， 由于x>0,故x=6, 此时a=(3,2),b=(6,-1), D 故a-b=(-3,3), C 则|a-b|=√/32+3=32 (10分) (3)c=(-8,-1),b十c=(x-8,-2), 0 由a∥(b十c),可得3×(-2)-2×(x-8)=0, 则A(0,0),O(1,0),B(2,0),当点P在BC上时，设 解得x=5, 点P(2,c),则AB.OP=(2,0)·(1,c)=2;当点P 由a·(b+c)=3(x一8)-4<0，可得x< 在AD上时，设点P(0,b),则AB·OP=(2,0)· (-1,b)=-2;当点P在CD上时，设点P(a,1)(0 故当a与6十c的夹角为镜角时，则<号且x≠5， <a<2),则AB.Op=(2,0)·(a-1,1)=2a-2, 即x的取值范围为(-©，5)U(6,）): (15分) 因为0<a<2,所以-2<2a-2<2,即AB.OP∈ (-2,2,综上可知，AB.OP的最小值为-2. 13.解：1)由已知可得，|a=√(W3)+(W2)2=√5. 四、解答题 又|b=4,a·b=8, 11.解：(1)由AM=M心，BN=2NC, a·b 8=25 cos(a,b)-ab545 所以A成=合A衣，B时-号C-号(A心-A, 又〈a,b)∈[0，π]， 所以A=A店+B=AB+号(AC-Ai 所以sin(a,b》=V-cos'(a,b-5 =号Ai+号AC=了a+号b, 所以a8b=ina,b)=后X4x后-=4 B脑=Bi+Ai=-A筋+合AC=-a+之，(6分) (6分) (2)由已知可得，Ai=(-3,1),BC=(1,2), (2)因为a=2,b=10,cosa,b=0 所以有|AB|=√0，|BC=√5，AB.BC=-3× 所以a·6=2×10×0-=2, 1+1×2=-1, 则cos<AB,BC)= AB.BC 所以A.Bi=(号a+号)·(-a+2b) IABIBCI -1 =6(-2a2-3ab+2b) 2 √10X√5 10 ·17 ·数学（人教B版）必修第三册· 参考答案及解析 又0≤(AB,BC)≤π， sina十cos2a+9(sin2a十cos2a) cos a sina 所以sin(AB,BC)=√1-cos2(AB,BC sin'a9cosa+10 =√-(--， cos'a sina =an2a+,9+10. (16分) 所以AB8BC=|AB1|BC1sin(AB,BC)=√/I0X tana 6×语=7 因为a∈(0，)， (13分) 所以tana>0. (3)由已知可得a·b=一 cos a 令1=1ame>0,则+9+10≥2区亭+10 =16, 所以a⊥b, 当且仅当1=号，>0，即1=3时等号成立， 则a,b=受，sina,b)=sin受=l 所以ame+品。十1D的最小值为16， 11==Va)+(a) 所以a⑧b的最小值为16. (20分) 所以a⑧b=|a|b|sin(a,by =()广'+（品》=。+品。 ·18·