第4讲 向量的数量积(复习课）(学霸满分练)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

第4讲 向量的数量积 题型一 平面向量数量积的运算 1．已知，，，若，则x等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】运用向量的坐标运算规则进行求解. 【详解】解：由题意可得，，所以，， 所以，解得x＝4. 故选：C. 2．已知向量和的夹角为，，，则等于（　　） A．15 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据向量数量积运算求解即可. 【详解】∵向量和的夹角为，，， ∴. 故选：B. 3．已知平面向量，，向量与的夹角为． (1)求与； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）代入向量数量积，以及模的计算公式，即可求解； （2）要证明向量垂直，转化为证明. 【详解】（1）由题意，， ； （2）证明：由（1）得，所以， 故． 4．在边长为3的菱形ABCD中，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的运算性质、定义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为，， 菱形ABDC边长为3，， 所以， 故选：C 5．如图，在四边形ABCD中，AD=3，BC=4，E，F分别是AB，CD的中点，P，Q分别是AC，BD的中点，则 ． 【答案】/1.75 【分析】可连接，根据题意即可得出四边形为平行四边形，从而可得出，然后进行数量积的运算即可． 【详解】如图，连接， ∵为的中点，为对角线的中点， ，， ∴四边形为平行四边形， ，， ，， 故答案为： 6．如图，在中，，E是AD的中点，设，. (1)试用，表示，； (2)若，与的夹角为，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解； （2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以. 因为E是AD的中点， 所以 . （2）因为，与的夹角为， 所以， 由（1）知，，， 所以 . 7．已知等边的边长为，分别是的中点，则 ；若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】第一空：通过展开整理，带入数据计算即可；第二空：设，通过展开整理，带入数据然后配方求最值. 【详解】   ; 若是线段上的动点，且，不妨设点相对更靠近点， 设， ， 当时，取最小值，且为. 故答案为：；. 8．平面四边形是边长为4的菱形，且．点N是DC边上的点，满足．点M是四边形内或边界上的一个动点，则的最大值为（    ） A．13 B．7 C．14 D． 【答案】C 【分析】当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大，由，，求可得答案. 【详解】如图， 由数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积，及点M是四边形内或边界上的一个动点，则当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大， 因为， 又， 所以 ， 所以的最大值为. 故选：C. 题型二 数量积的运算律 9．【多选】下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 【答案】AD 【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项. 【详解】，， 可得，故选项A正确； 由可得， 又，可得或， 故选项B错误； , 所以不一定成立， 故选项C错误； 由向量数量积运算的分配律可知选项D正确； 故选：AD. 10．【多选】已知、、是三个向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】AB 【分析】根据数量积的运算律判断A、B，根据数量积的定义及几何意义判断C、D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：因为表示与共线的向量， 表示与共线的向量， 若与不共线则与不一定相等，故C错误； 对于D：若，即， 当时，即与在方向上的投影相等，故D错误； 故选：AB 11．【多选】下面给出的关系式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】 根据向量数量积的运算性质求解. 【详解】对A：由可得，而，故A说法正确； 对B：取，则成立，但不一定成立，故B说法错误； 对C：表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以不一定成立，故C说法错误； 对D：，故，故D说法错误. 故选：BCD 题型三 利用向量的数量积判断几何图形的形状 12．在中，若，则三角形ABC为 三角形.（填“锐角”､“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】根据数量积的性质，判断出A的范围，可得结论. 【详解】解：因为， 故，而A为三角内角，故A为钝角，所以是钝角三角形. 故答案为：钝角. 13．（22-23高一下·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 【答案】D 【分析】 根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状， 故可为任意三角形. 故选：D 14．若O是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算可以得出，进而得到，由此可判断出的形状. 【详解】∵，， ∴，两边平方，化简得∴. ∴为直角三角形. 因为不一定等于，所以不一定为等腰直角三角形. 故选：D. 题型四 向量的垂直问题 15．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可. 【详解】因为， 所以， 解得， 故选：A. 16．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以. 故选：D 17．若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题意先分别算出的值，然后将“与垂直”等价转换为，从而即可求解. 【详解】由题意有， 又因为与垂直， 所以， 整理得，解得. 故选：B. 18．已知向量，，其中，，，若，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】利用向量数量积的运算律及向量垂直的表示列方程求参数即可. 【详解】， 又，则 故答案为： 19．已知向量，满足，，且，的夹角为. (1)求； (2)若，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，得到，结合数量积的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，，且，的夹角为，可得， 则. （2）解：因为，所以， 即，即， 可得，即，解得. 20．已知平面向量满足与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可； （2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可. 【详解】（1）因为与的夹角为， 所以， 所以 . （2）因为， 所以 ， 化为，解得. 题型五 向量的模 21．已知向量，，若，则 . 【答案】 【分析】利用共线向量的坐标表示及模的坐标表示计算即得. 【详解】向量，，，则，解得，即， 所以. 故答案为： 22．已知单位向量与单位向量的夹角为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】遇模平方，结合数量积的运算律可得答案. 【详解】由题意，，与的夹角为， 则， 所以， 故选：D. 23．已知向量，其中，，则 . 【答案】 【分析】 先算出，再运用向量的模的公式计算即得. 【详解】由，可得：， 则. 故答案为：. 24．已知，，与的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的数量积的定义，求得，结合，即可求解. 【详解】由向量，，与的夹角为，可得， 所以. 故答案为：. 25．平面向量与的夹角为，已知，，则 . 【答案】 【分析】首先求出，根据数量积的定义求出，再根据计算可得. 【详解】因为，所以， 又与的夹角为且， 所以， 所以. 故答案为： 26．已知向量，的夹角为，且，，则 . 【答案】3 【分析】根据数量积的运算律即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：3 27．若向量与的夹角为，，则等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据向量数量积运算化简已知条件，从而求得. 【详解】因为 ， ，解得（负根舍去）. 故选：C 28．【多选】已知平面向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】因为，两边平方可得，即可求得，从而可判断选项ABC，进而求得，从而可判断选项D. 【详解】因为，两边平方可得， 所以，即. 对于A，，解得，A正确； 对于B，因为，所以，B错误； 对于C，因为，则，C错误； 对于D，由选项A可知，所以，D正确. 故选：AD 29．已知向量，，，，与的夹角为，则的值最小时，实数的值为 . 【答案】/0.2 【分析】 根据向量的模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】， 由于， 故当时，此时取最小值， 故答案为： 题型六 向量的夹角问题 30．已知向量，，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】利用向量夹角的公式，代入计算，即可求解. 【详解】由题意设与的夹角为，， 所以，解得. 故答案为：. 31．设是两个单位向量，向量，且，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的定义和运算律求解即可. 【详解】由可得， 又因为是两个单位向量，所以， 所以，即， 解得，因为，所以的夹角为， 故选：A 32．设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先将等式两边平方，可得，再用平面向量的夹角公式计算即可. 【详解】 由等式，两边平方得：， 则，且，所以. ，即. 故选：B. 33．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，结合数量积的运算律可推出，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 即,即， 又，所以，即， 而，所以， 故选：B 34．设为非零向量，，则“夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 将模的关系平方得到，进而判断即可. 【详解】由， 平方得，， 即， 又因为，即， 所以，所以夹角为钝角或平角， 所以“夹角为钝角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 35．已知，，. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两个向量的数量积的运算法则，以及求向量的模的方法，求出； （2）设向量与的夹角的夹角为，根据两个向量的夹角公式，求出的值. 【详解】（1）已知，， ， ， ； （2）设向量与的夹角的夹角为， 则， 向量与的夹角的余弦值为. 36．已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据模长公式，结合数量积的运算律，即可由夹角公式求解. 【详解】由可得，所以， 同理由和可得所以， 故， 故选：D 37．如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 . 【答案】 【分析】如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，就是，的夹角，利用向量的夹角公式求解. 【详解】如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系. 则，，，， ，. 由于就是，的夹角. . 故答案为： 38．已知平面向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及垂直求解即可； （2）由题意可得且与不共线，进而根据平面向量数量积和共线的坐标表示求解即可. 【详解】（1）由， 所以， 设， 因为， 所以， 因为，所以， 解得，或， 所以的坐标为或. （2）由， 所以， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， ， 解得且， 即实数的取值范围为. 39．已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的数量积小于0，且不共线可得. 【详解】与的夹角为钝角， ， 又与的夹角为， 所以，即，解得， 又与不共线，所以， 所以取值范围为. 故选：D 题型七 投影向量 40．已知、为单位向量且夹角为，设，，则在上的投影向量为 . 【答案】 【分析】 首先利用数量积公式求得，再由投影向量的概念和公式求解在上的投影向量即可. 【详解】因为、为单位向量且夹角为，且，， 则， 所以，，且， 所以，在上的投影向量为. 故答案为：. 41．已知平面上两单位向量，，，则在上的数量投影为 . 【答案】/ 【分析】 根据向量投影的概念公式，即可得出答案. 【详解】根据题意：，为两单位向量，且， 所以在上的数量投影为. 故答案为：. 42．已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据已知求出.结合已知推得，求出，然后即可根据投影向量得出答案. 【详解】由已知可得，. 因为， 所以， 解得或（舍去），所以，， 所以，向量在向量方向上的投影向量为，坐标为. 故答案为：. 43．已知，，则向量在方向上的数量投影为 ． 【答案】/ 【分析】 利用数量投影的定义以及平面向量数量积的坐标运算可求得向量在方向上的数量投影. 【详解】因为，，则向量在方向上的数量投影为 . 故答案为：. 44．已知向量、满足，则在方向上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，再利用投影数量的定义可求得结果. 【详解】因为，则，， 则，可得， 所以，在方向上的投影. 故选：D. 45．已知满足，且，则在上数量投影的最小值为 ． 【答案】 【分析】据题意设，代入条件可推得点在以为圆心，半径为的圆上运动，再根据数量投影概念得出数量投影与有关，利用直线和圆的位置关系求得的范围，进而求出数量投影最小值． 【详解】设，则， 由，可得， 即， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又在上数量投影为， 令，则由直线与圆有公共点， 可得，即， 解得， 故在上数量投影的最小值为． 故答案为：． 19 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $