分层作业(16)均值不等式及其应用(一)-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册分层作业（人教B版）

000□00] 口口口口1■ 分层作业（十六） 学 22222 年级： 33333 均值不等式及其应用（一） 信 4□44□4口4☐ 班级： 父 5□5口5☑55☑ (满分：100分) 6]66]6■6 姓名： 7刀7□7□7□7 8☐8□8☐8□8 9☐9□99☐9 ·基础对点练· 知m=a士(a>0),n=(1 1.(6分)（多选）下面四个推导过程正确的有( (-1<x<1),则m,n之间的大小关系是() [A]m>n [B]m≥n [A]若a,b为正实数，则 +8≥2 b.a=2 a b [c]m<n [D]m<n 8]若u∈R,a≠0，则+a≥2合a=4 4 6.(5分)下列不等式的推导过程正确的 是 ·(填序号) [c]若x,y∈R,xy<0,则+义 ①若x>1,则x+≥2 x·1=2 -（)()】≤ ②若x<,则x+=-【(-0+(】≤ 2()()=-2 E若a<0,b<0,则a2十 -2-x)(-)=-4 ∠ab 2.(5分)不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 若a6∈R,则+8≥2·号-2 () 11 9876543210+0.5 [A]a=±1 [B]a=1 7.(10分)已知a,b,c是互不相等的正数，且a十 [c]a=-1 [D]a=0 b+=1,求证++> 3.G6分)如果0<a<6<1,p-,Q=V, M=√a+b,那么P,Q,M的大小关系是 [A]P>Q>M [B]M>P>Q [c]Q>M>P [D]M>Q>P 4.(6分)（多选）小王从甲地到乙地往返的速度分 别为a和b(a<b),其全程的平均速度为v,则 () [A]a<v<√ab [B]v=√Jab [c]/ab<v<at6 2ab 2 [o]v= a+b 37 19876543210+0.5 12.(5分)已知a≥0，b≥0，且a+b=2,则() 8.(12分)已知a,b,c均为正数，a,b,c不全相 [A1ab≤2 9io6≥号 等求证g号2a61 [c]a2+b2≥2 [D]a2+b2≤3 1 9876543210+0.5 13.(12分)某工厂第一年的产量为A,第二年的 增长率为a,第三年的增长率为b,试比较这两 年的平均增长率：与端长率的半均值士的 大小关系 能力提升练· 9.(5分)下列不等式中正确的是 ( Aa+4≥4 [B]a2+62>4ab 19876543210+0. [o]Vab≥a+b 2 r+是26 14.(12分)已知a,b,c∈(0，+∞)，且a+b+c= 10.(6分)（多选）若x,y满足x2+y2-xy=1,则 1,求证a2+6+e≥号 () [A]x+y≤1 [B]x+y≥-2 [c]x2+y2≤2 [D]xy>1 11.(6分)（创新拔高题）（多选）下列函数中最小 值为2的是 () [A1y=2x+2x 1 [B]y=√x+1+ 1 =(x>-1) /x+ 1 [c]y=√x2+3+ √x2+3 4 [D]y=x+- +2x>-2) 389.(-√2一1，√2-1)[根据定义，不等式(x+m)⊙2x<1, 所以y<0对1≤m≤3恒成立等价于y的最大值小于0， 即为(x+m)(2-2x)<1, 即(x-x+1Dx3-6<0台x-x-1<0台15<z 整理得2x2十(2m-2)x一2m十1>0对一切实数x恒成立， 2 则只需(2m-2)2-8(1-2m)<0, <+6 整理得m2+2m-1<0,解得m∈(-√2一1，√2-1).] 2 10.(-∞，-8)[因为2x>x2+a,所以a<2zx-x2, 所以的值范为5<<4到 2 因为2x一x2=-(x-1)2+1在x∈[-2,3]的最小 值为一8， 分层作业（十六） 所以a<一8，所以实数a的取值范围为（一∞，一8）.门] 11.(一o∞，一6]U[2,+∞)[不等式x2一ax-a≤一3变形为 答案速对 x2-ax十3-a≤0， 因为不等式有解，所以方程x2一ax十3一a=0的判别式 1 3 4 9 10 11 12 △≥0，即a2-4(3-a)≥0， AC B B AD A D BC BD 解得a≤-6或a≥2， 故实数a的取值范围是(-∞，-6]U[2,十∞).] 6.② 12.解：令y=x2+mx+4, 试题精析 因为y<0在1≤x≤2上恒成立， y 1.AC[对于A,因为a,6为正实数，所以会号为正实数符 合均值不等式的条件，故选项A正确； 1 2 对于B,因为a∈R,a≠0，不符合均值不等式的条件，故选项 x B错误； 所以方程x2十mx十4=0的根一个小于1，另一个大于2. 对于C,由<0，得宁，兰均为负数，但在推号过程中清签 如图，可得m+5<0, 4+2m+4<0, 体（货+）凝出廣号后，子， ，兰均卖为正教，#合均值 解得m<-5, 不等式的条件，故选项C正确； 所以实数m的取值范围是(mm<-5}. 13.解：因为x2-2x十3=(x-1)2+2>0, 对于D,对任意的a,6∈R,都有a2+6≥2ab,即a十b 2≥ab, 所以4x十m≥2(x22x+3)能成立， 故选项D错误.故选AC.] 所以m≥2x2-8x十6能成立， 2.B[当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时，等号成立.] y=2x2-8x十6=2(x-2)2-2≥-2， 3.B[根据题意，0<a<b<1, 所以m≥一2，所以m的取值范围为[一2，十∞) 则P>0,Q>0,M>0, 14.解：不等式x2+px>4x十p一3对于0≤p≤4的一切实数 恒成立，即(x-1)p十(x2-4x十3)>0，设y=(x-1)p十 P-v历=Q,即P>Q (x2一4x十3)，此函数是以力为自变量的函数，则0≤p≤4 时，y>0恒成立， a+6,P=(告 中生0 则M2-p2= a+6)(4-a-b)>0, 4 则M>P,故M>P>Q.故选B.] 解得x<-1或x>3. 4.AD[设甲、乙两地之间的距离为s, 所以x的取值范围是{x|x<一1或x>3}. 15.解：法-：y<0→mx2-mx-6+m<0(x2-x+1)m-6<0 则会程所需的时间为十言 因为1≤m≤3， 所以= 2s 2ab 所以x3-x十1<分恒成立，只需-工十1小子 m的最小 值，即x2-+1<2台x-x-1<0=1,5<<1+5 因为6>a>0,由均值不等式可得Vab<a十b, 2 2 2 所以x的取值范围为x 所以0=2ab<2ab=Vab a+b 2Vab 2 2 法二：设关于m的函数y=mx2-x一6十m=(x2-x十1)mm-6. 由题意知y<0对1≤m≤3恒成立， 另-方面0=2ab __atb a+b a+b 2 因为x2-x+1>0, +6a-6-a、 2ab v一a= 所以y是关于m的一次函数，且在1m3上随m的增大 2一62方——○ 而增大， 所以v>a,则a<u<√ab.] 551■ 5.A[因为a>0,所以m=a+≥2√a·=2,当且仅当 a a 11D[对于Ax=号时y=-2,故选项A错送， a=即a=1时，等号成立， 对B=币+行2， 金千2， 因为-11，所以n-1-1+(1+)”= 当且仅当√十I= 1 ，即x=0时等号成立，故选项B x+1 1,当且仅当1一x=1十x,即x=0时，等号成立.所以m>n.故 正确； 选A.] 6.②[④中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x=,即 对于C,y=+3+1≥2 x √x2+3 +3. 1 √x2+3 2=1时x+上≥2等号成立，因为>1，所以z十>2回 =2,由于√x+3= 1 时，x2十3=1，x2=-2无解， √x2+3 中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件.] 所以等号不成立，故选项C错误； 7.证明：因为a,b,c∈R,且a>0,b>0,c>0,a十b十c=1, 所以1+1+1=a+b+c+a+6+c+2+b+c 对于Dy=x十，千2=x+2+ 4 x+2-2≥ a c =3+++8+后+2+2 2c+2·千2-2=2，声当+9=3 t十2，即x=0 时等号成立，故选项D正确.故选BD.] =3+(台+8)+（后+）+（后+） 12C[国为a≥06≥0，且a+6=2,所以ab≤（生）°-1， ≥8++后+后日 而4=(a十b)2=a2+b2十2ab≤2(a2十b2), =3+2+2+2 所以a2+b2≥2.] =9. 13.解：用两种方法求出第三年的产量分别为A(1十a)(1十b), 当且仅当a=b=c时，等号成立.又a,b,c互不相等， A(1+x)2, 所以++>. 则有(1十x)2=(1十a)(1十b). 所以1+x=0+a1+D≤1+a+1+b=1+a+b 8.证明：因为a>0,b>0,c>0, 2 21 abc? 所以+g≥2=2 所以<士的，当显仅雪=6时，等号减主 fa bc=2a + 所以长中 14.证明：因为a,b,c∈(0，+c∞)，a十b+c=1, +≥ lacb2 =2b, 所以1=(a+b十c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. a 因为2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+c2=2(a2+ 当且仅当a=b=c时，上式等号均成立. b2+c2). 又a,b,c不全相等， 所以a2+b2+c2+2(a2+b2+c2)≥1， 所以c++b>a十b+c. a b c 即a2+6+e2>了，当且仅当a=6=c=}时，等号成立. 9D[若a<0,则a十2≥4不成立，放A错误 分层作业（十七） 若a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错误； 若a=4,b=16,则Va6<a十6， 2 故C错误； 答案速对 由均值不等式可知D项正确.] 0c[国为a0≤()<告6abe。 1 23 45 6 711 1213 D C B C BC CD 所以x2+y2-xy=1可变形为(x十y)2-1=3xy≤ 3(),解得-2x十3≤2， 8.2 9.2-2√210.56 当且仅当x=y=一1时，x十y=-2, 当且仅当x=y=1时，x十y=2,所以A错误，B正确； 试题精析 由2+y-y-1可度形务+y-1-w<,解 1 1,D[因为x>0,y>0,且x+y=3, 得x2+y2≤2，当且仅当x=y=士1时取等号，所以C 正确； 所以≤（告）=6含且仅当x=y=后时取等号， 由x2+y2-xy=1可变形为x2+y2=xy+1≥2xy,所以 xy≤1，所以D错误.] 所以y的最大值为36] 156