(10)用频率估计概率、随机事件的独立性-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（湘教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (十)用频率估计概率、随机事件的独立性 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.下列说法中正确的是 A.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B.在次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C.随着试验次数的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的 概率 D.某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率为0.7 2.从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g): 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在497.5g~501.5g之间的概率 约为 A.0.1 B.0.15 C.0.25 D.0.5 3.“五道方”是一种民间棋类游戏，甲、乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得 比赛.若每场比赛，甲胜的概率为了，乙胜的概率为子，每场比赛结果相互独立，则比 赛6场后甲赢得比赛的概率为 2 B.729 4 A.729 16 C.729 32 D.729 数学（湘教版）必修第二册第1页（共8页) 衡水金卷·先享题· 4.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员 三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定 1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮 结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952 683123436730257,据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A是 B吉 c D. 5.某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个 社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考 核的概率依次为了，m,”,且他是香通过每个考核相互独立，若他三个社团考核都通 过的概率为30，三个社团考核都没有通过的概率为5，则十n= 7 B.10 c号 D.3 6.如图，某电子元件由A,B,C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经 过反复剥试A,BC三种部件不能正常工作的概率分别为分·子，弓·各个部件是香正 常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是 B A器 7 .2函 64 C. 高一同步周测卷十 数学（湘教版）必修第二册第2页（共8页） 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取一 个球.事件M=“第一次取出的球的数字是1”，事件N=“第二次取出的球的数字是 2”,事件S=“两次取出的球的数字之和是8”，事件Q=“两次取出的球的数字之和是 7”,则 A.M与S互斥 B.S与Q互斥 C.N与S相互独立 D.M与Q相互独立 8.在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支 队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠 前，积分同者名次并列)，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0 分.若每场比赛中两队胜，平，负的概率都为，每场比赛结果相互独立，则在比赛结 束时 A.四支球队的积分总和可能为15分 、B.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 C.可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况 D.丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为号 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 数学（湘教版）必修第二册第3页（共8页） 衡水金卷·先享题 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了200次试验，发现正面朝 上出现了90次，那么出现反面朝上的频率和概率分别为 和 (本题第一空2分，第二空3分) 10.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算 盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上 珠)代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠表示的数的大小等于同组一 粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示 数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件 M=“表示的四位数能被3整除”，N=“表示的四位数能被5整除”，则P(MUN)十 P(MN)= 档 一上珠 梁 下珠 框 高一同步周测卷十 数学（湘教版）必修第二册第4页（共8页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的 人进行调查， 火车站 L2 调查结果如下： 所用时间（分钟） [10,20](20,30] (30,40](40,50] (50,60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 (1)试用频率估计概率，估计30分钟内不能赶到火车站的概率； (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在 允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率，通过计算说明，他们应如何选择各自 的路径. 数学（湘教版）必修第二册第5页（共8页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所 有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图， 根据图形，请回答下列问题： 频率 T组距 0.025 0.015 0.010 0.005 0405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中α的值.若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法 抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数； (2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数；（保留 两位小数) (3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为号，乙复 赛获一等奖的概率为号，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一 等奖的概率 高一同步周测卷十 数学（湘教版）必修第二册第6页（共8页） 13.(本小题满分20分) 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为号，甲、乙两人各投篮一 次且都命中的概率为号，乙、丙两人各投篮一次且都命中的概率为高，且任意两次投 篮互不影响. (1)分别计算乙、丙两人投篮一次命中的概率； (2)求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率； (3)若乙想命中的概率不低于0.9999，则乙至少需要投篮多少次？ 参考数据：lg2≈0.3010,1g3≈0.4771. 数学（湘教版）必修第二册第7页（共8页） 衡水金卷·先享题·高一同步周测卷十 数学（湘教版）必修第二册第8页（共8页）高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（十） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 频率与概率概念的 1 选择题 5 易 0.80 辨析 2 选择题 5 利用频率估算概率 易 0.75 求相互独立事件的 3 选择题 5 0.72 概率 易 利用随机数模拟 4 选择题 5 中 0.65 概率 利用方程思想解决 5 选择题 5 相互独立事件的 中 0.55 概率 电路图中的概率 6 选择题 中 0.35 计算 互斥事件、相互独立 7 选择题 6 中 0.50 事件的辨析 利用相互独立事件 8 选择题 6 的概率公式解决比 √√√ 中 0.30 赛问题 频率与概率的关系 9 填空题 5 易 0.72 及计算 10 填空题 5 概率的运算 中 0.40 利用频率估算概率， 11 解答题 13 利用概率解决方案 中 0.60 选择问题 频率分布直方图的 相关计算，相互独立 12 解答题 15 / / 中 0.45 事件的概率与统计 的综合 相互独立事件与互 13 解答题 20 中 0.35 斥事件概率的综合 ·43· ·数学(湘教版)必修第二册 参考答案及解析 参考答案及解析 一、选择题 $$\frac { 1 1 } { 3 0 } ，$$ ，所以 $$P \left( S \right) = 1 - P \left( \overrightarrow { M } \right) P \left( \overline { N } \right) = 1 - \frac { 2 } { 5 } \times \frac { 1 1 } { 3 0 } =$$ 1.C 【解析】频率与概率不是同一个概念，故A错误； 在 n 次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具 $$\frac { 6 4 } { 7 5 } ，$$ ，即该电子元件能正常工作的概率是 $$\frac { 6 4 } { 7 5 } .$$ ，故选C. 有随机性，故B错误；随着试验次数 n 的增大，一个随 二、选择题 机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概 7.ABD 【解析】依题意从中有放回地随机取两次球， 率，故C正确；某人打靶，射击10次，击中7次，那么 则可能结果有： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)， 此人中靶的频率为0.7，但概率不一定为0.7，故D错 (1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3， 误.故选C. 1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)， 2.C 【解析】在所给的数据中，在 497.5g∼501.5g 之 (4 3) ，( \left.{4，4})，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5， 间的数据有498，501，500，501，499共5个，所以数据 4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5) 在 497.5g∼501.5g 之间的频率为 $$\frac { 5 } { 2 0 } = 0 . 2 5 .$$ 用频率 (6，6)，共36个结果.事件M包含的基本事件有：(1 \left.1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6) 共6个；事件N 估计概率，则所求概率为0.25.故选 C. 包含的基本事件有： (1，2)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5， 3.B【解析】因连胜两场者赢得比赛，故要使比赛6场 2)，(6，2)共6个；事件S包含的基本事件有：(2，6)， 后甲赢得比赛，则在这六场比赛中，甲的情况依次为： (3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)共5个；事件 Q 包含的基 赢输赢输赢赢，故比赛6场后甲赢得比赛的概率为 本事件有： (1，6)，(2， 5)，(3 \left.{3，4})， ( \left.{4，3})，(5，2)，(6， ，1) $$\frac { 1 } { 3 } \times \frac { 2 } { 3 } \times \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 2 } { 3 } \times \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 3 } = \frac { 4 } { 7 2 9 } ，$$ .故选B. 共6个.对于A，显然事件M与事件S不可能同时发 4.A 【解析】依题意，该运动员三次投篮恰有两次命中 生，所以M与S互斥，故A正确；对于B，事件S与事 的结果有：137，271，436，共3个，所以该运动员三次 件 Q 不可能同时发生，所以S与 Q 互斥，故B正确 投篮恰有两次命中的概率为 $$\frac { 3 } { 1 2 } = \frac { 1 } { 4 } .$$ .故选A 对于C，因为 $$P \left( N \right) = \frac { 6 } { 3 6 } = \frac { 1 } { 6 } ， P \left( S \right) = \frac { 5 } { 3 6 } ， P \left( N S \right) =$$ 5，B【解析】因为三个社团考核都通过的概率为 $$\frac { 1 } { 3 0 } ，$$ $$\frac { 1 } { 3 6 } e P \left( N \right) \cdot P \left( S \right) ，$$ ，所以N与S不相互独立，故C错 $$\frac { 1 } { 3 } m n = \frac { 1 } { 3 0 } ，$$ $$且 m n = \frac { 1 } { 1 0 }$$ ，又因为三个社团考核都没有 误；对于D，因为 $$P \left( M \right) = \frac { 6 } { 3 6 } = \frac { 1 } { 6 } ， P \left( Q \right) = \frac { 6 } { 3 6 } = \frac { 1 } { 6 } ，$$ 通过的概率为 $$\frac { 4 } { 1 5 } ，$$ $$则 \left( 1 - \frac { 1 } { 3 } \right) \left( 1 - m \right) \left( 1 - n \right) = \frac { 4 } { 1 5 } ，$$ $$P \left( M Q \right) = \frac { 1 } { 3 6 } = P \left( M \right) P \left( Q \right) ，$$ ，所以M与Q相互独立， 故D正确.故选ABD. 整理可得 $$1 - \left( m + n \right) + m n = \frac { 2 } { 5 } ，$$ ，所以 m+n=1+mn 8.AC 【解析】四支球队共6场比赛，有甲乙、甲丙、甲 $$- \frac { 2 } { 5 } = \frac { 7 } { 1 0 } .$$ B 丁、乙丙、乙丁、丙丁，对于A，四支球队共6场比赛 例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分， 6.C 【解析】设上半部分正常工作为事件M，下半部分 乙、丙、丁各得2分，所以四支球队的积分总和可能为 正常工作为事件N，该电子元件能正常工作为事件 15分，故A正确；对于B，每场比赛中两队胜、平、负 s， $$则 P \left( M \right) = \left( 1 - \frac { 1 } { 5 } \right) \times \left( 1 - \frac { 1 } { 4 } \right) = \frac { 3 } { 5 } ， P \left( \overline { M } \right) = 1$$ 的概率都为 $$\frac { 1 } { 3 } ，$$ ，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 $$- P \left( M \right) = 1 - \frac { 3 } { 5 } = \frac { 2 } { 5 } ， P \left( N \right) = \left( 1 - \frac { 1 } { 5 } \times \frac { 1 } { 4 } \right) \times$$ $$\left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 3 } \times 2 \times \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 2 } { 3 } = \frac { 4 } { 3 ^ { 3 } }$$ ，故B错误；对于C，若甲胜 $$\left( 1 - \frac { 1 } { 3 } \right) = \frac { 1 9 } { 3 0 } ，$$ ，所以 $$P \left( \overline { N } \right) = 1 - P \left( N \right) = 1 - \frac { 1 9 } { 3 0 } =$$ 乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平，则甲、 · 44⋅ 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 乙、丙各得4分，丁得3分，出现三支球队积分相同且 个，所以P(N)=是=名，所以P(MUN)+ 和第四支球队积分不同的情况，故C正确：对于D,丙 队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分 PMN)=P(M)+P(N)=景+名-子 三队中选一队与丙比赛，丙输，概率为3×号，例如是 四、解答题 11.解：(1)调查的100人中，30分钟内不能赶到火车站 丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4 的有18+12+12+16+16+4=78（人）， (3分) 分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的 因此30分钟内不能赶到火车站的频率为78：100 分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁 =0.78, 已有3分，那么它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁 用频率估计概率，所以30分钟内不能赶到火车站的 中有一人得分不小于4分，不合题意；若丙与乙、丁的 概率为0.78. (5分) 比赛全赢（概率是（号）)时，丙得6分，其他3人分 (2)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分 数最高为5分，这时甲乙、甲丁两场比赛中甲不能赢， 钟内赶到火车站： 否则甲的分数不小于6分，只有全平或全输或一平 B,B:分别表示乙选择L1和L时，在50分钟内赶 到火车站， 输，①若甲一平一输，概率是2×（号），如平乙，输 6+12+18=0.6: 丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是号：②若甲两场 依题意，P(A)=60十60十60 4+1=0.5, (8分) 均平，概率是（号）广，乙丁这场比赛无论结论如何均 P(A2)=40十40 由P(A,)>P(A2),得甲应选择路径L1;(9分) 符合题意：③若两场甲都输，概率是（号），乙丁这场 p(a)-品+品+8+品 0.8, 比赛只能平，概率是子，综上，概率为3X子×（兮）】 Pa)=希+8+8=09. (12分) ×[2x(传)》'×号+(3)广°+(3)广×]-器 由P(B)<P(B),得乙应选择路径L2, 所以甲应选择路径L1,乙应选择路径L2. (13分) 故D错误.故选AC. 12.解：(1)由频率分布直方图可得10× 三、填空题 (0.010+0.015×2+a十0.025+0.005)=1， 9.0.550.5【解析】反面向上的频率为200一90 200 解得a=0.030. (2分) 0.55.因为硬币质地均匀，所以反面向上的概率为 [70,80)的频率为10a=0.3, 0.5. [80,90)的频率为10×0.025=0.25， 10. [90,100]的频率为10×0.005=0.05， (3分) ·【解析】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字 按分层抽样方法抽取12人的成绩，则12人中成绩 只表示1或5，因为个位、十位、百位、千位分别随机 0.05 拔动一粒珠子至梁上，所以所得的四位数的个数为 不低于90分的人数为12×0.3+0.25+0.05=1. 2=16个，能被3整除的四位数，数字1和5各出现 (5分) 2个，这样的四位数有：1155,1515,1551,5511， (2)该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为： 10×(45×0.010十55×0.015+65×0.015+75× 515,5151,共6个，所以P(M)=是=音，能被5 0.030+85×0.025+95×0.005)=71. (8分) 整除的四位数，个位数为5，则这样的四位数为： [40,70)的频率为10×(0.010十0.015+0.015)= 1115,1155,1515,1555,5555,5115,5155,5515,共8 0.4, ·45·