(6)空间的几何体、平面-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（湘教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (六)空间的几何体、平面 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A. B. C. D. 2.如图，一个水平放置的△ABO的斜二测直观图是等腰Rt△A'B'O',若B'A'=B'O'= 2,那么原△ABO的周长是 y A.4√2+2 B.2+2√2+23 C.4√2+4 B D.4√2+8 3.已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为乏的扇形，则该圆锥的 母线长为 A B.3 c D.4 4.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1：4，已知 截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面间的距离为 A.12 B.9 C.6 D.3 5.已知在直三棱柱ABC一A1B1C1中，ABI AC,AB=AC=AA=1,P为线段A1B上 的动点，则AP十PC1的最小值为 A复 B.0 2 C.√5 D.W2+2 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，位于秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了2000年 的谜局，究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大 谜团”.在这些图案中，有一只身长50米的大蜘蛛（如图），现用视角为30°的摄像头（注： 当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时，该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头 的视角)在该蜘蛛图案的上方拍摄，使得整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域 内，则该摄像头距地面的高度的最小值是 A.50米 摄像头 B.25(2√2+√6)米 视角 拍摄区域 C.50(2+√3)米 摄像头的视角示意图 D.50(22+√6)米 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列判断正确的是 A.由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形的 几何体是正六棱柱 B.一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围 成的几何体是圆台 C.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线 D.一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封闭曲面围成的几何体是球 8.下列物体，能够被整体放入长、宽、高分别为2,1,1（单位：m)的长方体容器（容器壁厚 度忽略不计)内的有 A.半径为0.6m的球体 B.一组相对棱为1.4m,其余棱都为2m的四面体 C.底面半径为0.5m,高为1m的圆锥体 D.底面半径为0.005m,高为2.5m的圆柱体 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 高一同步周测卷六 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页）】 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.若圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面截圆柱所得的截面为 轴截面，则该圆柱的轴截面面积为 10.如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋 巢，将半径为√2的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋 巢底面的距离为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，在正六棱锥S一ABCDEF中，△SAD是面积为4√3的等边三角形.求： (1)该棱锥的高； (2)该棱锥的斜高； (3)该棱锥的底面积. D 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) (1)如图，已知a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证：直线a,b,c,l共面； A B (2)如图所示，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，E,F分别为AB,AA,上的点，且 D1F∩CE=M.求证：D,A,M三点共线. B1 D 13.(本小题满分20分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2+c2=23 absin C. (1)证明：△ABC为等边三角形； (2)若(1)中的等边△ABC的边长为2，试用斜二测法画出其直观图，并求直观图 面积. 注：只需画出直观图并求面积，不用写出详细的作图步骤 高一同步周测卷六 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（六） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ③④ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 平面图形的旋转 易 0.80 2 选择题 5 原图形的周长 易 0.76 3 选择题 5 圆锥的侧面展开图 易 0.72 棱台上、下面间的 4 选择题 5 中 0.55 距离 几何体表面上距离 5 选择题 5 中 0.45 和的最值 6 选择题 5 圆锥的结构特征 中 0.30 几何体的结构特征 选择题 6 易 0.75 (定义) 多面体以及旋转体 8 选择题 6 中 0.35 的放置问题 9 填空题 5 圆柱轴截面面积 易 0.71 球的截面性质的实 10 填空题 中 0.55 际应用 六棱锥的高、斜高、 11 解答题 13 中 0.65 底面积 点共线、线共面的 12 解答题 15 中 0.55 证明 13 解答题 20 斜二测画法 中 0.30 春考答案及解析 一、选择题 OB'=2,在Rt△AOB中，AB=√AO+OB=6,则 1.A【解析】A中图形旋转能得到一个圆台与一个圆 △ABO的周长为4√2+2+6=4√2+8.故选D. 锥的组合体，符合题意.故选A 2.D【解析】因为BA'=BO=2,由直观图可知， OA'=2√2，所以还原平面图形中，OA=4√2，OB= ·23· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 √3)，所以该摄像头距地面的高度最小值h=√a一产 =√5000(2+3)-(25√2)2=25√/14+83 =25√8+8√5+6=25(2√2+√6)米.故选B. 二、选择题 0 7.ABD【解析】有两个面是互相平行且全等的正六边 B 形，其他各面都是矩形，满足相邻两个矩形的公共边 3.D【解析】设母线长为1，由题意，可得受=2π×1， 都互相平行，且公共边必定垂直于底面，故该几何体 解得=4，即圆锥的母线长为4.故选D. 是正六棱柱，A正确；等腰梯形两底边中点的连线将 4.D【解析】：截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为 梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形 ,根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的 成半个圆台，故该几何体为圆台，B正确；当上、下底 平方，则3：h2=1:4,.h=6,.棱台的高为6-3= 面圆周上两点的连线与轴平行时才是母线，C错误； 3,即棱台的上、下底面间的距离为3.故选D. 一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封 5.D【解析】将△AAB沿AB折起到△AA'B的位 闭曲面围成的几何体是球，D显然正确.故选ABD. 置，使得平面AA'B与平面A1BC共面，当P为线 8.BC【解析】对于A,半径为0.6m的球体的直径为 段A'C与AB的交点时，A'P+PC=A'C最小， 1.2m>1m,故不能整体放入长、宽、高分别为2,1,1 即AP+PC最小，则有AC=A'A1,又：AB⊥AC, (单位：m)的长方体容器内，A错误；对于B,由于在棱 AB=AC=AA,=1,.易得△A1AB与△A1BA'均为 长分别2m,1m,1m的长方体ABCD-AB1C1D 等腰直角三角形，.∠A'A1B=45°，A1B=√1十1 中，如图，设底面为边长为1m的正方形，高为2m, =√2，在Rt△ABC中，BC=√+1F=√2，在 则AC=BD=√2m>1.4m,AD=CD=AB:= CB1=√5m>2m, R△BCC中，BC=√(2)+1=5，则AB+ D C AC=BC,∴∠BAC=90°，.∠A'A1C=90°+ A 45°=135°，利用余弦定理可知最小值为A'C1= √1+1-2X1X1Xcos135=√/2十√2.故选D. B 故一组相对棱为1.4m,其余棱都为2m的四面体， 可被整体放入长、宽、高分别为2,1,1（单位：m)的长 B 方体容器内，B正确：对于C,由于长方体底面的长、 6.B【解析】依题意，要使整个蜘蛛图案落在边长为 宽分别为2m,1m,故底面半径为0.5m的圆可放在 50米的正方形区域内，则拍摄区域的圆的直径最小 该底面内，又圆锥的高为1m,与长方体的高相等，故 为2，=50√2，若所成圆锥的母线长为a,此时由余弦 该圆锥体可放入长方体容器内，C正确；对于D,由于 定理得，2a2-2a2·cos30°=5000，即a2=5000(2+ 长、宽、高分别为2,1,1（单位：m)的长方体的体对角 ·24· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 线长为√2+1十1严=√6m,而2.5m>√6m,故底 所以SH=√SO+O开=√I2+3=√I5, 面半径为0.005m,高为2.5m的圆柱体不可被整体 即棱锥侧面的高为√15. (8分) 放入长、宽、高分别为2,1,1（单位：m)的长方体容器 (3)该棱锥的底面积即为正六边形ABCDEF的 内，D错误.故选BC. 面积， 三、填空题 而正六边形ABCDEF的面积为S=6S△OAB=6X 9.20【解析】由题可知轴截面为矩形，两边长分别为5 和4，故轴截面的面积为5×4=20. 20Asm60=3×2×9-6 2 10.3E+6 【解析】由已知蛋巢的底面是边长为2 即该棱锥的底面积为6√3 (13分) 2 12.解：(1)因为a∥b,所以a和b确定一个平面a, 的正方形，所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面 因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈a. 截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为√2，且蛋巢的高 故lCa. 度为号，又球的半径为厄，所以球心到裁面的距离 又a∥c,所以a和c确定一个平面B. 同理1CB. 为4=√2一-放鸡蛋最商点与蛋巢底面的 即l和a既在平面a内又在平面B内，且l与a 距离为反++号-35 相交， 2 故平面a,B重合，即直线a,b,c,l共面. (8分) 四、解答题 (2)因为D1F∩CE=M,且DFC平面AD1DA, 11.解：(1)设底面ABCDEF的中心为O,连接SO, 所以M∈平面ADDA, 设SA=a, 同理M∈平面ABCD, 1 则△SAD的面积为S=2 SA'sin60= 从而M在两个平面的交线上， 43, 因为平面ADDA∩平面ABCD=AD, 解得a=4, (2分) 所以M∈AD. 所以D,A,M三点共线. (15分) 所以s0=5Asin60°=4×5=23， 2 13.解：(1)由题及余弦定理知，a2十b2=23 absin C-c2 即该棱锥的高为2√3. (4分) =23absin C-(a2+b2-2abcos C), (2分) 即a2+b=ab(√3sinC+cosC) =2 absin(C+F)≤2ab, (6分) 又因为a2+b≥2ab, 所以a+6=2ab,即a=b,C=号 B 因此，△ABC为等边三角形. (10分) (2)取BC的中点H,连接OB,OH,SH, 则线段SH为棱锥侧面的一条高， (2)画法：①如图1，在等边△ABC中，取BC所在直 线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，两轴相交于 OH=OBsin60°=2x5=5, 2 点O, ·25· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 边△ABC的直观图A'B'C‘(图3). (15分) (注：学生解答时只需画出直观图即可) 0 B' 图1 因为△ABC是边长为2的正三角形， 所以AB=BC=2,BC边上的高为h=√3， 在△A'OC中，∠A'0'C'=45°， 图2 所以BC-C=2,Ao=A0- 2· BC'边上的高'=A'o'sin∠Ao'C'=× 2 2 B 图3 6 4 在图2中，画相应的x'轴与y轴，两轴相交于点O, 故S△ABC= 使∠x'0'y=45°； ②在图2中，以O为中点，在x轴上取B'C'=BC, 故直观图△ABC的面积为。 (20分) 在y轴上取O'A'=0A: ③连接A'B',A'C,擦去辅助线x轴和y轴，得到等 ·26·