(8)几种简单几何体的表面积和体积-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（湘教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (八)几种简单几何体的表面积和体积 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.若圆锥的底面直径和高都等于2R,则该圆锥的体积为 L号R B.2πR3 c专k D.4πR3 2.金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三 角形组成的如图所示的正八面体.若某金刚石的棱长为2，则它的表面积为 A.8 B.82 C.83 D.16W3 3.一个长方体容器ABCD一A1B1C1D1中盛有水，侧面ABCD为正方形且AA1=16.如 图，当平面ABB,A,水平放置时，水面的高度恰好为AD,那么将平面ABCD水平 放置时，水面的高度等于 C A.4 B.8 B1 C.10 D.12 A1 4.《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台） 建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象 成ABCD一ABC1D1的正四棱台（如图所示)，其中上底面与下底面的面积之比为 1:16,方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为5673，则该方亭的表面 积约为（√2≈1.4，√3≈1.7，√5≈2.2） A.380m B.400m2 C.450m2 D.480m2 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题 5.如图，已知多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE, △BCF均为正三角形，EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为 A 3 4 4 6.已知圆锥PO的顶点为P,其三条母线PA,PB,PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥 PO的内切球表面积与圆锥侧面积之和为 A.12(10-3√6)π B.24(20-7√6)π C.60(8-3√6)π D.3(40-7√6)π 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆 形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园 林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥. 已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为0，这个角接近30°，若取0=30°，侧 棱长为√21米，则 A.正四棱锥的高为√3米 B.正四棱锥的底面边长为3米 C.正四棱锥的侧面积为24√3平方米 D.正四棱锥的表面积为12√3+36平方米 8.如图，在正方体ABCD一A1B1CD1中，P为线段A1C1的中点，Q为线段BC1上的动 点，则 D A.存在点Q,使得PQ∥BD A B B.存在点Q,使得PQ⊥平面AB,C1D C.三棱锥Q一APD的体积不是定值 D D.存在点Q,使得PQ⊥AC 高一同步周测卷八 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页） 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知圆柱的底面半径为4，侧面面积为16π，则该圆柱的母线长等于 10.在公元前4世纪中叶，中国天文学家有一套测定天体球面坐标的仪器称作浑仪，比 古希腊早了近60年.浑仪是由两个重重的同心圆环构成，整体看上去，近似一个球 体.它的运行制作原理可以如下解释，同心圆环的小球半径为r,大球半径为R,大球 内安放六根等长的金属丝（不计粗细），使小球能够在金属丝框架内任意转动，若R =√，则r的最大值为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图所示的圆锥，顶点为O,底面半径OA=4cm,用一与底面平行的平面截得一圆 台，圆台的上底面半径为2cm,这个平面与母线OA交于点B,线段AB的长为 8 cm. (1)求圆台的体积和圆台的侧面积； (2)把一根绳从线段AB的中点M开始沿着侧面绕一圈到点A,求这 根绳最短时的长度， B .01 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 如图，在棱长为a的正方体ABCD一AB,C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的 中点 (1)证明：平面EB1D1∥平面FBD: D C (2)求平面EB,D1与平面FBD之间的距离. B1 13.(本小题满分20分) 如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到点D'的位置，连 接BD,O为AC的中点. (1)若平面D'AC⊥平面ABC,求点O到平面D'BC的距离； (2)不考虑点D与点B重合的位置，若二面角A-BD'-C的余弦值为-号求BD 的长度 高一同步周测卷八 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（八） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 圆锥的体积 易 0.85 选择题 正八面体的表面积 易 0.75 棱柱体积的实际 3 选择题 5 中 0.65 应用 4 选择题 5 方亭的表面积 中 0.55 割补法求组合体的 5 选择题 5 中 0.45 体积 圆锥的内切球表面 6 选择题 5 中 0.35 积及圆锥侧面积 棱锥的面积问题（数 7 选择题 6 中 0.65 学文化) 选择题 立体几何中的动态 8 6 0.28 问题 9 填空题 5 圆柱的侧面展开图 易 0.75 棱锥的外接球问题 10 填空题 5 中 0.45 (数学文化) 圆台的侧面积与体 11 解答题 13 中 0.55 积、最值问题 面面平行的判定，求 12 解答题 15 0.45 面面距 求点面距，由二面角 13 解答题 20 中 0.32 的大小求参 ·33· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 考答案及解析 一、选择题 VE-ADG +VF-BCH +V AGD-BHC =2VE-ADG +VAGD-BHC 1.A【解析】由圆维的体积公式得，V= ·Sh= 号×号××2+×1号故选且 34 4 合×R·2R=号R.故选A 6.C【解析】因为PA,PB,PC两两互相垂直且长度均 为6，所以△ABC为圆锥底面圆的内接正三角形，且 2.C【解析】根据题意，设等边三角形的高为h,所以h 边长AB=BC=CA=6√2，由正弦定理得底面圆的半 =√2一1严=√3，所以每个边长为2的等边三角形的 1 6√2 面积为2×2×B=尽，所以正八面体的表面积为 径R=立·0=26，所以圆维的高P0= √/62-(2√6)2=2√3.如图， 8√5.故选C 3.A【解析】设正方形ABCD的边长为a,则水的体积 为16aX冬=4a,将平面ABCD水平放置时，设水面 的高度为h,则有ah=4a,解得h=4.故选A. 4.C【解析】设方亭相应的正四棱台的上底面边长 AB=a,则AB=4a,棱台的高h=3a,所以V=号 3 ×3a(a2+16a2+√/a2X16a)=567,解得a=3,所 以正四棱台的上底面边长为3m,下底面边长为 圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半 12m,棱台的高为9m,所以方亭的斜高为 √(2a-号)+(3a)=3,由于各侧面均为全 径，轴截面三角形面积为分×4V6×2厅=号×(6 2 十6+4√6)·r,所以内切球的半径r=6√2-4√，则 等的等腰梯形，所以S4-a+4aX3e 内切球的表面积为4π(6√2-4√3)2=4π(120 2 2 155a,所以方亭的表面积S=a+16a+4× 486),圆锥的侧面积为号×6×2m×26=126x, 4 所以其和为60(8-3√6)元.故选C 155d=17a2+155a≈450m.故选C 二、选择题 4 7.AC【解析】 5.B【解析】如图，分别过点A,B作EF的垂线，垂足 分别为点G,H,连接DG,CH, E G H D O 如图，在正四棱锥S-ABCD中，O为正方形ABCD 容易求得EG=HF=子，AG=GD=BH=HC- 的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB,OH⊥AB,由 二面角的定义，故∠SHO=30°.设底面边长为2a,所 取AD的中点O,连接G0,易得G0=号，则SAcD 2 以0H=AH=a,OS=5a .SH=2 3a.在Rt△SAH S△BC=2 ,所以多面体的体积V 2 4 巾+(2。)广=21，所以4=3，底面边长为6米， ·34· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高0-=0H=B米，侧面积s=专X6X2后X4 所以Q在线段BC1上运动时，Q到平面APD的距离 不是定值，又△APD的面积为定值，故三棱锥 243平方米，表面积S=24√3+6=24√3+36平方 Q一APD的体积不是定值，C正确；对于D,因为AC 米.故选AC. ⊥BD,AC⊥BB1,BD,BB:C平面BDD1B,BD∩ 8.BCD【解析】对于A,在正方体ABCD一ABCD BB=B,所以AC⊥平面BDDB,又BPC平面 中，BB∥DD,BB=DD,则四边形BBDD为平 BDDB,所以AC⊥BP,所以若点Q与点B重合，则 行四边形，所以BD∥BD,而P为线段A1C的中 PQ⊥AC,D正确.故选BCD. 点，四边形ABCD为正方形，所以P为BD1的 中点，所以BD∩PQ=P, D P B D B(O) 三、填空题 若存在点Q,使得BD∥PQ,且B:D、PQ不重合，又 9.2【解析】由题意可知圆柱的底面周长C=2π×4= BD∥B1D1,所以PQ∥B1D,这与BD1∩PQ=P矛 8π，所以根据圆柱的侧面面积公式S=C,可知，该圆 盾，假设不成立，A错误：对于B,若Q为BC1的中点， 则PQ∥AB,而AB⊥AB:,故PQ⊥AB,又AD⊥ 柱的母线长1=名-1=2 C8π 平面ABB1A1,A1BC平面ABB1A1,则A1B⊥AD,故 10.1【解析】由题意，小球与正四面体的各条棱相切， PQ⊥AD,因为AB∩AD=A,AB、ADC平面 大球为正四面体的外接球，即可保证，最大，如图所 ABC1D,则PQ⊥平面ABCD,所以存在Q使得 示，设正四面体的棱长为a,E为△BCD的中心，O PQ⊥平面ABCD,B正确； 为圆心，可得AE⊥平面BCD,因为CEC平面 D BcD.则AB⊥CE,且CE=号×号a- 3 3a,所以 B AE=VAC-CE-,在R△0E中.O 0E+CE,可得)=(5a-)+(a), D 解得a=2√2，过O点作OF⊥AC,垂足为F,在 Rt△OCF中，可得OF=√OC-CF= 对于C,在正方体ABCD-ABCD中，AB∥ CD,AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边 √R-(9)=V)P-(=1,即小球的最 形，则BC1∥AD,而AD∩平面APD=A,故BC 大半径为r=1. 与平面APD不平行， A D D 、 B ·35· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 四、解答题 由DF寸平面EB1D1, 11.解：(1)由已知圆台下底面半径R=4cm,上底面半 则DF∥平面EBD, (5分) 径r=2cm,可得OB=AB=8cm, 又正方体中BD∥B,D, ∴.圆台的高h=√82-(4-2)F=2√15cm, 则同理BD∥平面EBD, (6分) (2分) 又DF∩BD=D,DF,BDC平面FBD, 故平面EB:D,∥平面FBD. (8分) ·圆台的体积V=3π(R+r+R)h=3πX (2)由(1)知，平面EBD1与平面FBD之间的距离 (16+4+8)×2√15=56Y压 等于B1到平面FBD的距离h, (4分) 3 连接B1F,BD, 圆台的侧面积S=π(R十r)·AB=π×(4十2)X8 则VB,-FBD=VF-BDB1, =48πcm2. (6分) (2)作出圆锥侧面展开图，由已知绳子最短时的长度 而FD=FB=汽，BD=Ea 为侧面展开图中MA'的长度. 由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为2×π 故△FBD巾BD边上的高为停。， ×4=8π， (11分) 而Sa,=之XaXFa--竖a,F到平面BDD,B 2 B 的距离为号。 所以号×-×。×。可得6 4 3 2 3, 8 M 故平面EB,D与平面FBD之间的距离为5。 3a. ·侧面展开图的圆心角为=8买=买 (10分) (15分) 16 2 13.解：(1)连接OD,OB,则OD'⊥AC, 则在△M0A中，∠AOM=艺 则MA'=√/OA+O哑=√/16+12=20cm, 即这根绳最短时的长度为20cm. (13分) 12.解：(1)取G为BB:的中点，连接FG,AG, 又F是CC的中点， A 所以FG∥BC∥AD,FG=BC=AD, 平面DAC⊥平面ABC,平面DAC∩平面ABC 故四边形AGFD为平行四边形， =AC,OD'C平面DAC, 所以AG∥DF, .OD'⊥平面ABC, 又E是AA,的中点，易知AG∥EB, 又OBC平面ABC, D ∴.OD'⊥OB. (4分) 又正方形ABCD的边长为√E, .OD'=OB=OC=1,BD'=BC=DC=√2，(6分) 设点O到平面D'BC的距离为h, 则Vp-oc=Vo-vx, D :×分×号×xx1=号×x(2) 4 ·h, 所以EB:∥DF, (3分) h= 3 ·36· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 即点O到平面D'BC的距离为 由题可知△ABD≌△CBD', 3 (10分) 在△AEC中，AC=2,AE=CE,cos∠AEC= (2)取DB的中点E,连接AE,EC, 、2 AE2 +CE2-AC D' 2AE·CE 3 :.AE=CE2=- 6 5 DE=AD-AE=2-号=台， BD'=2D'E45 AB=AD'=BC=D'C=√2， ∴.AE⊥BD',EC⊥BD, 即BD的长度为4y5 (20分) 5 ∴.∠AEC为二面角A一BD一C的平面角， os∠ABC=-号 (15分) ·37·