(9)随机事件与样本空间、概率及运算-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（湘教版）

高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（九） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢW ③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 随机事件的辨析 易 0.80 2 选择题 5 事件的关系和运算 易 0.75 互斥事件与对立事 3 选择题 5 中 0.65 件的综合 古典概型与对立事 选择题 5 中 0.60 件的概率的综合 古典概型与不等式 5 选择题 5 中 0.55 的综合 6 选择题 利用互斥事件求参 中 0.50 互斥事件、对立事件 选择题 6 的辨析 易 0.85 统计与古典概型的 选择题 6 中 0.55 综合 9 填空题 5 样本点个数的计算 易 0.72 10 填空题 5 利用古典概型求参 中 0.40 11 解答题 13 游戏的公平性 分 0.60 古典概型的概率 12 解答题 15 中 0.45 计算 频率分布直方图与 13 解答题 20 中 0.35 古典概型的综合 叁考誉案及解析 一、选择题 3.C【解析】因为A,B是两个互斥事件，故P(A十B) 1.D【解析】A为必然事件，BC为不可能事件，对于 =PA)+PB)=合+号=品则PA+)=1 D,抛掷一枚骰子时，可能出现3点，也可能不出现3 点，故此事件为随机事件，故选D. P(A+B)=六故选C, 2.C【解析】“恰有一个不发生”是指三个事件中只有 4.D【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有6× 一个不发生，同时另外两个发生，C符合题意，故 6=36种基本事件，设事件A为抛掷一枚质地均匀的 选C. 骰子两次，得到的点数分别为，n,且“m=2n”,则A ·39· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 中共有基本事件3种：(2,1)，(4,2)，(6,3)，P(A) 7×27 31 的概率为2入0=60，故C正确：对于D,甲组的平 品=立所以P(a)=1-立0故m≠m的 均成绩为2×(244十245十245+246+248+251+ 概率为是故选D, 251+253+254+255+257+263)=251厘米，乙组 5.B【解析】取a=-4,b=-3,得a2>b,故①错误； 的平均成绩为×(239+241+243+245+245+247 因为a<b<0,所以两边同时乘以a,得a2>ab,故② +248+249+251十252)=246厘米，所以将甲组中 错误：因为a<6<0,则户>0，号>0，所以合十号≥ a 跳远成绩为248厘米的成员调派到乙组后，甲、乙两 2√会·号=2，当且仅当a=6时取等号，显然等号 组的跳远平均成绩都有提高，故D正确.故选BCD, b 三、填空题 无法取得，故③正确：因为4<b<0,所以名<1<号， 9.8【解析】因为是有放回地随机摸3次，所以随机试 验的样本空间为2={（白，白，白），（白，白，黑），（白， 故④错误，故四个命题中有一个是正确的，设事件“所 黑，白)，（白，黑，黑），（黑，白，白），（黑，白，黑），（黑， 选2个不等式都不成立”为事件A,则从4个不等式 黑，白)，（黑，黑，黑）}共8个. 中选2个的所有可能结果有：①②，①③，①④，②③， 10.4【解析】由于总资金100元，每次在对一张卡片 ②④，③④，共6个，其中事件A包含的结果有： 刮码前下注已有资金的一半.刮第1张卡前，下注 ①@，00，@，共3个，所以P(A)=号=合故 50元：若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25 元，不管是否中奖，资金必减少；若中奖，还剩150 选B. 元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少，中 0P(A)<1 奖资金增加，所以要使资金增加，则必须2次刮出中 6.B【解析】由题意可知0<P(B)<1 ,即 奖，否则资金减少，所以5张卡片中取到2张“中奖” P(A)+P(B)≤1 (02-a<1 卡的概率大于2即可，由5张卡片中任取2张的方 0<4a-5<1,解得气<a<专故选B 4 法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有 3a-3≤1 二、选择题 少种，所以>号→am-1D>10且2 2 20 7.AC【解析】对于A,由于事件A与事件B不可能同 ≤n≤5，故n=4或5，即n至少为4. 时发生，故二者是互斥事件，A正确；对于B,B∩C= 四、解答题 0,但BUC≠2，故二者为互斥事件，不是对立事件， 11.解：(1)分别用2,3,4,4'表示红桃2，红桃3，红桃4， B错误；对于C,至少有一次摸到红球包括有一次摸 方片4， 到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球，其对立事件 则甲、乙抽到牌的所有情况为(2,3)，(2,4)，(2,4')， 为没有一次摸到红球，即两次都摸到黄球，故事件C (3,2),(3,4),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4'),(4',2), 与事件D是对立事件，C正确；对于D,D∩E={一次 (4',3),(4',4), 摸到红球，另一次摸到黄球}，故二者不互斥，D错误。 共12种不同的情况 (4分) 故选AC. (2)事件A={(2,4),(2,4),(3,4),(3,4),(4,4), 8.BCD【解析】对于A,因为12×60%=7.2，所以甲 (4,4)1, (6分) 组数据的第60百分位数是第8个数，即253，故A错 故P氏4=昌= (8分) 误；对于B,乙组数据的中位数是第5个数与第6个 (3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)， 数的平均数，即24524？=246，故B正确：对于C,甲 2 (4,3),(4,2),(4',3),共5种情况， (10分) 5 7 组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，乙组中跳远 因此甲胜的概率为2，乙胜的概率为2： 成绩在250厘米以上的有2人，所以从甲、乙两组各 随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上 因为品<品： ·40· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 所以此游戏不公平。 (13分) (D,F),(E,F)〉， 12.解：》油已知可得-名 (3分) 设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则M={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E), 解得a=50, (5分) (A,F),(B,E),(C,E),(D,E),(E,F)〉， 故b=130-(50+35+25+4+2)=14, 则b=14. (7分) 所以P(M)=(M=9=3 n(2)=15=5, (2)将50岁以上的6人进行编号，四位本科生为1， 即甲，乙两人至少有一人被选为组长的概率为号 2,3,4,两位研究生为5,6， 从这6人中随机抽取两人，共有15个等可能发生的 (13分) 基本事件， (3)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分 分别为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36， 别为x4,x5,方差分别为s好，s后， 45,46,56, (10分) 则x4=36,x5=42,s号=1，s号=2， 其中恰好只有一位研究生的基本事件共有8个，分 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为 别为15,16,25,26,35,36,45,46， (13分) ,方差为s2, 故所求事件的概率为P=是 (15分) 则2=4+2五=4X36+2X42=38, 6 13.解：(1)参与知识竞赛者的平均年龄x=(22.5× =青[+（运-）门+号[+，-)门 0.02+27.5×0.07+32.5×0.05+37.5×0.04十 42.5×0.02)X5=31.75≈32（岁）. (4分) =4×[1+(36-8)]+号×[2+(42-38)门 6 (2)由题意得，第四组应抽取0.04×5×20=4人，记 为A(甲)，B,C,D, 第五组应抽取0.02×5×20=2人，记为E(乙)，F, 据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为 对应的样本空间为：2={(A,B),(A,C),(A,D), (20分) (A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E), 36,方若为器 (B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E), 41·高一同步周测卷/数学必修第二册 (九)随机事件与样本空间、概率及运算 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.下列各项中，属于随机事件的是 A.若圆的半径为r,则圆的面积为πr B.在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C.在一个标准大气压下，温度达到80℃时水会沸腾 D.抛掷一枚骰子，出现3点 2.设H,E,F为三个相互独立的事件，H,E,F分别表示它们的对立事件，表示“H,E,F 三个事件恰有一个不发生”的表达式为 A.H+E+F B.HEF+HEF+HEF C.HEF+HEF+HEF D.H+E+F 3.设A,B是一个随机试验中的两个互斥事件，且P(A)=2,P(B)=号，则PA十B)= A吉 c品 n号 4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m,,则“m≠2n”的概率为 A号 R c 12 5.已知a<h<0,从4个不等式①a2<b,②a2<ab,③2+>2，④2>中任选2个， b 事件“所选2个不等式都不成立”的概率是 A号 B合 c号 D.日 6.若随机事件A,B互斥，A,B发生的概率均不等于0，且P(A)=2一a,P(B)=4a一5， 则实数a的取值范围为 A.(0,) B(,制 c.[] D[) 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸 出2个球，记A=“恰有一次摸到红球”，B=“两次都摸到红球”，C=“两次都摸到黄 球”，D=“至少有一次摸到红球”，E=“至多一次摸到红球”.则下列说法正确的是 A.事件A与事件B是互斥事件 B.事件B与事件C是对立事件 C.事件C与事件D是对立事件 D.事件D与事件E是互斥事件 8.甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：244,245,245,246,248,251,251,253,254,255,257,263 乙组：239,241,243,245,245,247,248,249,251,252 则下列说法正确的是 A.甲组数据的第60百分位数是252 B.乙组数据的中位数是246 C.从甲，乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为乙 D.甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.袋中有黑、白围棋棋子各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出的 棋子的颜色，则此随机试验的样本点个数为 10.有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片 中随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一 半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中 奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资 金减少的概率，则至少为 ,高一同步周测卷九 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克 牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张， (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况； (2)设事件A=“乙抽到的牌的数字比3大”，求A的概率； (3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是 否公平？为什么？ 12.(本小题满分15分) 某机构有职工130人，对他们进行年龄状况和受教育情况（只有本科和研究生两类） 的调查，其结果如图： 本科 研究生 35岁以下 35 35~50岁 25 b 50岁以上 4 2 1)随机拍取一人，是35岁以下的概率为品求a,6的值： (2)从50岁以上的6人中随机抽取两人，求恰好只有一位研究生的概率. 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一 半.20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的 受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程 度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者 按年龄分成5组，其中第一组[20,25)，第二组[25,30)，第三组[30,35)，第四组 [35,40),第五组[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图. 频率 个组距 0.07 0.05 0.04 0.02 0202530354045年龄/岁 (1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄；（结果精确到个位） (2)现从以上各组中用比例分配的分层抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马 拉松”宣传使者.若有甲（年龄36）、乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划 从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有 一人被选为组长的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年 龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在[35,45]内的所有参与知识竞赛 者的年龄的平均数和方差 高一同步周测卷九 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页)