(8)几种简单几何体的表面积和体积-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（湘教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (八)几种简单几何体的表面积和体积 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知一个圆锥的轴截面是周长为6的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 A.2π B.3π C.4π 0 3 2.已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为2、下底为4、腰为3的等腰梯 形，则该圆台的表面积为 B.14π 7 C.3x D.7π 3.已知圆锥的底面周长为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为 A.5 3π B 3π C 0 4.如图，揽月阁位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安唐文化轴的南 部重要节点和标志性建筑，可近似视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型塔底宽 20cm,塔顶宽约10cm,侧面面积为780cm,据此计算该揽月阁模型的体积为 A.1400cm B.2800cm3 C.9100 3 cm3 D.8400cm3 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 5.如图，三棱锥P一ABC的体积为V,E,F分别是棱PB,PC上靠近点P的三等分点， G是棱AB上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体 BCFEGH的体积为 C. D. 6.在三棱锥P-ABC中，AB=AC=4,∠BAC=120°，PA=6,点P在平面ABC上的投 影为A,则三棱锥P一ABC的外接球的表面积为 A.100元 B.75π C.80π D.120π 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成 的几何体的表面积可以为 A.√2π B.（1+√2)π C.2√2π D.（2十√2)π 8.“阿基米德多面体”又称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多 面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截 去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一 种半正多面休，已知A=3y,则下列谈法正确的是 A.设该半正多面体的顶点数为V,棱数为E,面数为F,那么V +F-E=4 且该半正多面体的体积为号 C.∠ABC=120° D.该半正多面体外接球的表面积为18π 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 5 6 7 96 答案 高一同步周测卷八 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页）】 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知长方体的长、宽、高分别为4,2,4，现将该长方体沿相邻三个面的对角线截掉一 个棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的体积为 10.在正四棱锥P-ABCD中，AB=6,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点，平 面EFGH恰好与正四棱锥P一ABCD的内切球O相切，则球O的体积 为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1是一块铁料，上、下底面的边长分别为40cm和 80cm,O1,O分别是上、下底面的中心，棱台高为60cm. (1)求正四棱台ABCD一A,B1C1D1的表面积； (2)若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积 018 A1 D 0 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC的中点，AB=AA1=4. (1)求证：AB∥平面ADC1; (2)求证：平面ADC1⊥平面BCC,B1; (3)求直线A1B到平面ADC1的距离. 13.(本小题满分20分) 材料1：《数学必修二》第八章8.3节习题8.3设置了如下第4题： 如图1，圆锥PO的底面直径和高均为α，过PO的中点O'作平行于底面的截面，以 该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积.我们称圆柱为圆锥的 内接圆柱. 根据材料1完成下列问题， 如图2，底面直径和高均为6cm的圆锥有一个底面半径为R,高为H的内接圆柱. 图1 图2 (1)求R与H的关系式； (2)求圆柱侧面积的最大值； (3)求圆柱体积的最大值， 附：若a,6>0,则叶+≥a,当且仅当a==(时等号成立. 高一同步周测卷八 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（八） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢN ③④ ⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 圆锥的侧面积 易 0.80 2 选择题 5 圆台的表面积 易 0.72 3 选择题 5 圆锥的体积 中 0.65 棱台的体积（数学文 4 选择题 5 中 0.55 化) 组合体（多面体）的 5 选择题 5 中 0.45 体积 6 选择题 5 外接球的表面积 中 0.30 组合体（旋转体）的 选择题 6 易 0.75 表面积 立体儿何中新定 选择题 6 / 难 0.28 义题 割补法求几何体的 填空题 5 易 0.75 体积 10 填空题 5 内切球的体积 中 0.45 棱台表面积、圆台 11 解答题 13 中 0.55 体积 线面平行、面面垂直 12 解答题 15 的证明，等积法求线 中 0.45 面距 圆柱体积、侧面积 13 解答题 20 中 0.32 问题 香考答案及解析 一、选择题 =π(12+2+1×3十2×3)=14元.故选B. 1.A【解析】由圆锥的轴截面是周长为6的等边三角 3.A【解析】设圆锥的底面半径为r,母线为1，则 形，得圆锥的母线长和底面圆的直径均为2，所以圆 2πr=2π 「r=1 解得{ ,则该圆锥的高h=√一= 锥的侧面积为π×1×2=2π.故选A πrl=4r 1=4 2.B【解析】该圆台的表面积S=π(r片+十rl十r2l) ·35· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 压，故该圆锥的体积为子h=s,故选A 平面ABC,过点O作OD⊥PA,交PA于点D,连接 3 OP,OA,OA,则OO=√R2-16,易得矩形OD 4.B【解析】如图，正四棱台底面边长分别为20cm和 AO,则PD=AP-DA=6-OO=6-√R-16,在 10cm,侧面积为780cm, C 直角三角形POD中，R=（6-√R-16)+16,解 得R=5,所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为 A B 4πR2=4π×25=100元.故选A D D 0 E B 设为斜高，可得780=4×20十10h,解得=13， 2 即EE=13,∴.棱台的高OO= √/EE-(E0-E1O)=√13-5=12，.V= 二、选择题 号(S+S+SS)=号×12X(100+400+10× 7.AB【解析】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥 20)=2800cm3,即棱台的体积为2800cm3.故选B. 的底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边 5.B【解析】连接EC,EH, √2，所以所形成的几何体的表面积是S=πl+π2= π×1×2+π×12=（√2+1）π.如果绕斜边旋转，形 成的是上下两个圆锥，圆锥的底面半径是直角三角形 斜边的高号，调个圆维的母线都是直角三角形的直 角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S=2 Xπrl=2XπX 号×1=反元综上可知，形成儿何体 Samc=子X号 3SAPNC VE-FNC= 3 2VE-APC 的表面积是（√2+1）π或√2π.故选AB. 8.BCD【解析】对于A,该半正多面体的顶点数V= 12,棱数E=4×6=24,面数F=14,那么V十F一E= 5 2 Vp-HGBC 12十14-24=2，A错误； =×（号）V= 27 Vp-A,.多面体 BCFEGH的体积为VEe十VEc=号V.故 选B. 6.A【解析】如图，在△ABC中，由余弦定理，BC2= AB+AC-2AB·AC·cos∠BAC,∴.BC2=16+16 -2X4X4X(-号）=48，∴BC=45,设△ABC的 外接圆半径为，由正弦定理，2 BC sin 120 =8,则 对于B.因为AB=32,所以AD=BD=号，该半正 2 =4,设外接球的球心为O,半径为R,△ABC的外接 多面体是由棱长为3的正方体沿各棱中点截去8个 圆的圆心为O1,由题可得PA⊥平面ABC,而OO⊥ 三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为V=33一8 ·36· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· ××合×（侵）广-号B正确：对于C由平行关 HN=20 cm, 故MN=√MH+HN 系和棱长可得六边形ABCDEF为正六边形，故 ∠ABC=120°，C正确；对于D,由几何性质可得，正 =√/602+20=20√10(cm), (5分) 四棱柱ABHG一PODE的外接球即为该几何体的外 所以正四棱台ABCD一ABC1D的表面积为40 接球，其中AB=BH=3,AP=3,故正四棱柱AB +80+4X2×(40+80)X20 2 HG-PODE的外接球半径为r= =(8000+4800√/10)(cm). (7分) D C 2 32 A M ,该半正多面体外 B 2 接球的表面积为4π(3yE) =18π，D正确.故 2 选BCD. 三、填空题 B 【解析】依题意该几何体的体积是由长方体的体 (2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台OO的上、下底面圆与正四棱台的上、下底 积减去一个三棱锥的体积，所以该几何体的体积V= 面正方形相切，高为正四棱台的高， 4X2X4一号×合×2X4X4= 3 则圆台的上底面半径为20cm,下底面半径为 10.9√2π【解析】设AC与BD相交于点Q,取AB的 40cm,高为60cm, 中点为M,连接PM,PQ,MQ,作OS⊥PM于S,设 1 则圆台00的体积为V=3π(20+40+20×40) 内切球的半径为r,则OS=OQ=r,设PQ=h,由题 ×60=56000π(cm). (13分) 意知A=r又△POSn△PMQ,故器-品，易得 12.解：(1)连接A1C,交AC1于点O,连接OD,则O是 MQ-BC=3,则=71 3r 故=，放 A1C的中点， 球0的体积为V=4r=92元 3 D 10 C 因为D是BC的中点， 所以OD∥A1B, M 又ODC平面ADC,AB寸平面ADC, 四、解答题 所以AB∥平面ADC. (5分) 11.解：(1)如图，正四棱台ABCD-A1BCD的每个 (2)因为△ABC为等边三角形，且D是BC的中点， 侧面皆为全等的等腰梯形， 所以AD⊥BC, 分别取B,C,BC的中点为M,N,连接OM, 由正三棱柱的性质知，BB,⊥平面ABC, ON,MN, 因为ADC平面ABC, 过点M作MH⊥ON于H, 所以BB:⊥AD, O=MH=60 cm,O M=20 cm,ON=40 cm, 又BC∩BBL=B,BC,BBC平面BCCB1, ·37· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 所以AD⊥平面BCCB, 整理可得2R十H=6. (6分) 因为ADC平面ADC, 所以平面ADC⊥平面BCCB. (10分) (3)连接BC1,由(1)知A1B∥平面ADC, 01 所以直线A,B到平面ADC的距离等价于点B到 平面ADC1的距离， 由(2)知AD⊥平面BCCB:, 所以点A到平面BDC1的距离为AD, 而Sm,=AD·DG=X25X+2= (2)由(1)知，6=2R+H≥2√2R五， 当且仅当R=号，H=3时等号成立， 2/15, Sa,=号BDCG=×2X4=4, 即RH≤号， 设点B到平面ADC1的距离为d, “圆柱的侧面积S=2xRH≤2xX号 =9, 因为VB-ADC1=VA-DC1, 所以号·d·Saa=号·AD·SaC, 因此，当R=号，H=3时，圆柱的侧面积取最大值 9πcm2 (12分) 即号×dX2万=子×2g×4, (3)由(1)知，2R+H=6, 圆柱的体积V=πRH=πR·R·H 解得d=4 5 ≤x×(+R+H)'=xX(号)》'=8x, 3 所以直线AB到平面ADC,的距离为5.15分) 当且仅当R=H=2时等号成立， 因此，当R=H=2时，圆柱的体积取得最大值 13.解：(1)记PA与圆柱的上底面交于点C,连接OC, 8πcm3. OA,则OC∥OA, (20分) 08瓷-号 ·38·