(10)用频率估计概率、随机事件的独立性-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（湘教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (十)用频率估计概率、随机事件的独立性 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.从一批准备出厂的零件中随机抽取20个进行质量检查，其中有1个有质量问题，若 用M表示“抽到次品”这一事件，则对事件M的说法正确的是 A.事件M发生的概率为0 B事件M发生的频率为品 C.事件M发生的概率接近20 D.事件M发生的频率接近 0 2.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表： 投篮次数 8 10 15 20 30 40 50 进球次数 6 8 12 16 25 32 38 据此估计这位运动员投篮一次，进球的概率为 A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.8 3.盒子中有四张卡片，分别写有“笔”“墨”“纸”“砚”四个字，有放回地从中任取一张卡 片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡 片后停止的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4 代表“笔”“墨”“纸”“砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机 模拟产生了以下20组随机数： 343432314134234132243331112324 342241244342124431233214344434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为 c D 数学（湘教版）必修第二册第1页（共8页) 衡水金卷·先享题 4.通常发射卫星的运载火箭可靠性要求约为0.9，发射载人飞船的运载火箭可靠性要 求为0.97.为进一步提高宇航员的安全，使火箭安全性评估值达到0.99996这一国 际先进水平，某载人飞船改进了逃逸系统（假设火箭安全性评估值由运载火箭的可靠 性和逃逸系统的可靠性共同决定，它们的可靠性相互独立，并且当运载火箭和逃逸系 统至少有一个正常工作时即认为火箭安全)，则逃逸系统的可靠性至少应该是（精确 到0.0001) A.0.9996 B.0.9997 C.0.9987 D.0.9986 5.下面有三个游戏，其中不公平的游戏是 取球方式 结果 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个 游戏1 地依次取2个球 球不同色→乙胜 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白 游戏2 个球 球→乙胜 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个 游戏3 地依次取2个球 球不同色→乙胜 A.游戏1和游戏3 B.游戏1 C.游戏2 D.游戏3 6.为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答 对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为q(p>q),且在考试中每人各题答 题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为号，恰有一人答对的概率为 则甲、乙两人共答对至少3道题的概 A是 R吉 D 高一同步周测卷十 数学（湘教版）必修第二册第2页（共8页） 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骰子的 点数，用y表示绿色骰子的点数，用(x,y)表示一次试验的结果，定义事件：A=“x十y 为奇数”，B=“x=y”,C=“x>4”,则 A.P(A)=3P(B)》 B.A与B互斥 C.A与B相互独立 D.B与C相互独立 8.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α< 1),收到0的概率为1一α；发送1时，收到0的概率为3(0<3<1)，收到1的概率为1 一B.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次， 三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传 输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例 如，若依次收到1,0,1，则译码为1)，则以下说法正确的是 A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1一α)(1一) B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1一3) C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1一3)2十(1一3)3 D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传 输方案译码为0的概率 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 数学（湘教版）必修第二册第3页（共8页） 衡水金卷·先享题· 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9,.甲，乙两人练习射击，分别记甲、乙命中为事件A,B,且PA)=言，P(B)=,A与B 相互独立，则P(AUB)= 10.如图所示，由X到Y的电路中有4个元件，分别为A,B,C,D.若A,B,C,D能正常 工作的概率都是号，记事件N=“X到Y的电路是通路”，则P(N)= B D 高一同步周测卷十 数学（湘教版）必修第二册第4页（共8页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 对一批衬衣进行质量抽检，检验结果如下表所示： 抽取件数 50 100 200 500 600 700 800 次品件数 0 20 12 27 27 35 40 次品频率 0 0.20 0.06 0.054 (1)将上面统计表补充完整； (2)记事件A为任取一件衬衣为次品，求P(A);(计算结果保留两位小数) (3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，若销售1000件衬衣，则至少需要进多 少件衬衣？（计算结果保留整数） 数学（湘教版）必修第二册第5页（共8页) 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 为弘扬“女排精神”，甲、乙两班组织了一次排球比赛，采用“五局三胜”制，无论哪一 方先胜三局则比赛结束.假设每局比赛均分出胜负且每局比赛相互独立，每局比赛 乙班获胜的概率为分 (1)求至少需要进行四局比赛才能结束的概率； (2)若前两局已战成平局，求还需进行三局比赛才结束且乙班获胜的概率. 高一同步周测卷十 数学（湘教版）必修第二册第6页（共8页） 13.(本小题满分20分) 某重点高中举办了“唱青春之序曲，展时代之芳华”红色经典歌曲合唱比赛，由专业 教师和学生会共50人组成评委团，评委所打分数的平均分最高的节目参加区合唱 比赛.评委对各节目的给分相互独立，互不影响.现有两个特等奖节目：《在太行山 上》得分的频率分布直方图和《四渡赤水出奇兵》得分的频率分布表，如下所示： 频率 组距 0.040里里 0.026 0.022 8 35455巧6$7内8595得分 分数区间 [35,45) [45,55) [55,65)[65,75)[75,85) [85,95] 频数 1 4 10 22 11 2 频率 0.02 0.08 0.20 0.44 0.22 0.04 分数区间 [35,55)[55,75) [75,95] 印象值 10 (1)从两个节目各自的平均分来看，应该推选哪个节目参加区合唱比赛？（同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表) (2)根据印象值表对两个节目的所有评分进行赋值，从两个节目的“印象值”分数中 各随机抽取一个分数，试估计《在太行山上》“印象值”比《四渡赤水出奇兵》“印象值” 高的概率. 数学（湘教版）必修第二册第7页（共8页） 衡水金卷·先享题·高一同步周测卷十 数学（湘教版） 必修第二册第8页（共8页）高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（十） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) ⅢV ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 频率与概率的概念 1 选择题 5 易 0.80 的理解 2 选择题 5 利用频率估计概率 易 0.72 利用随机数模拟 3 选择题 5 中 0.65 概率 相互独立事件的概 4 选择题 5 中 0.55 率与不等式的综合 5 选择题 游戏的公平性 中 0.45 利用方程思想求解 6 选择题 5 概率，相互独立事件 中 0.30 概率的计算 互斥事件、相互独立 选择题 6 事件、对立事件的 中 0.50 辨析 利用相互独立事件 8 选择题 6 的概率公式进行方 / / 中 0.30 案的比较 相互独立事件的概 9 填空题 5 易 0.71 率与事件和的关系 电路图中的概率 10 填空题 5 中 0.35 计算 11 解答题 13 利用频率估计概率 中 0.60 相互独立事件与互 12 解答题 15 中 0.45 斥事件概率的综合 统计与相互独立事 13 解答题 20 中 0.35 件概率的综合 ·43· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 (3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2), 1.B【解析】由题意可知，事件M发生的频率为0，由 (5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5),共18种情 于只做了一次试验，故不能得出概率接近0的结论. 况，所以P(A)=及。=子，事件B的所有情况为： (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6 故选B. 6 1 2.D【解析】由表中数据可知，随着投篮次数的增加， 种情况，所以P(B)=6X=百，所以P(A) 进球的频率稳定在0,8附近，所以估计这位运动员投 3P(B),且A与B互斥，故A,B项正确：则P(AB) 篮一次，进球的概率是0.8.故选D. 3.C【解析】随机模拟产生的20组随机数中，恰好第 =0,P(A)·P(B)=宁×行=立可知P(AB)子 三次结束时就停止的随机数有：314,134,234,243， P(A)·P(B),所以A与B不相互独立，故C项不 324,共5个，由此可以估计，恰好第三次结束时就停 正确：事件C的所有情况为：(5,1)，(5,2)，(5,3)， 51 (5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3), 止的概率为P==本.故选C. (6,4),(6,5),(6,6),共12种情况，所以P(C)= 4.C【解析】假设逃逸系统的可靠性为x,则由题有 最-子P(C)=最=P(B)·P(C)=吉 21 0.97(1一x)十x(1一0.97)十0.97x≥0.99996，整理 得到0.03x≥0.02996，解得x≥0.9987.故选C. X号=高可知P(BC)=P(B)·P(C),所以B与 5.D【解析】对于游戏1，样本点共有12个，取出的2 C相互独立，故D项正确.故选ABD. 个球同色包含的样本点有6个，其概率是号，取出的 8.ABD【解析】对于A,依次发送1,0,1，则依次收到 1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1 2个球不同色的概率也是号，故游戏1公平：对于游 接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概 戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和 率为(1-3)(1-a)(1一3)=(1-a)(1一3)2，A正确； 取出的球是白球的概率都是号，故游戏2公平：对于 对于B,三次传输，发送1，相当于依次发送1,1,1，则 依次收到1,0,1的事件，是发送1接收1、发送1接收 游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率 0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所 是子，取出的2个球不同色的概率是号，故游戏3不 以所求概率为(1-B)·B·(1-B)=B(1-B)2,B正 确；对于C,三次传输，发送1，则译码为1的事件是依 公平，乙胜的概率大.故选D. 次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件和，它们 1 互斥，由选项B知，所求的概率为33(1一3)2+(1 6.C 【解析】依题意 3)3=(1一B)2(1十23)，C错误；对于D,由选项C知， ,而力 p(1-q)+g(1-p)=i 5 三次传输，发送0，则译码为0的概率P=(1一α)2(1 十2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P'=1一 3 2 >g,解得p=,g=子，设A,=“甲同学答对了i a,而0<a<0.5,因此P-P'=(1-a)2(1+2a)-（1 -a)=a(1-a)(1-2a)>0,即P>P',D正确.故 题”，B.=“乙同学答对了i题”(i=0,1,2),则P(A) 选ABD =×+×=，PA)=是×是- 三、填空题 PB)=号x+日×号=告，P()=号 2 【解析】因为A与B相互独立，所以P(A∩B) =号，甲，乙两人共答对至少3道题的事件C=A,B, =P(A)P(B)=号×=子，所以P(AUB) +A2B十A2B2,因此P(C)=P(A1B2)十P(A2B1)+ P(A)+P(B)-P(ANB)- 4461 PAB)=号×号+是×专+品×音-号，所以 10.9 【解析】设N=“D正常工作”，N2=“D没有 甲，乙两人共答对至少3道题的概率是号故选C 正常工作，A正常工作，且B,C中至少有一个正常 工作”，由于“X到Y的电路是通路”等价于“D正常 二、选择题 工作”或“D没有正常工作，A正常工作，且B,C中 7.ABD【解析】由题可知，A=“x十y为奇数”，B=“x 至少有一个正常工作”，即N=NUN2,P(N)= =y”,C=“x>4”,则事件A的所有情况为：(1,2)， (1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2), 号，P(N)=(1-号)×号×1-合×号)-9 ·44· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 由于事件N1,N2互斥，所以根据互斥事件的概率加 法公式，可得P(N)=P(NUN)=号+9 故P=号×号×号+号×号×号= (15分) 13.解：(1)由频率分布直方图可知《在太行山上》的平 均得分约为： 四、解答题 (0.002×40+0.006×50+0.022×60+0.040×70 1.解：1品=0.045器=0.5品-0.05， 十0.026×80+0.004×90)×10=69.4，(4分) 由频率分布表可知《四渡赤水出奇兵》的平均得分 ∴.题表后三格中应依次填入0.045,0.05,0.05. 约为： (3分) 40×0.02+50×0.08+60×0.2+70×0.44+80× (2),抽取的总数是50+100+200+500十600+ 0.22+90×0.04=68.8, (6分) 700十800=2950（件）， 69.4>68.8, 次品总数是20+12十27+27+35+40=161（件）， 故应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛.(8分) P(A)=80,0i (8分) (2)设“对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出 奇兵》“印象值”为事件M, (3)设需要进x件衬衣， A表示事件“对《在太行山上》印象值为9”， 则(1-0.05)x≥1000， A0表示事件“对《在太行山上》印象值为10”， 解得x≥20000≈1053， 19 B。表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为8”， ..至少需要进1053件衬衣。 (13分) B,表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为9”， 12.解：(1)记A为事件“第i局乙胜”，A为事件“第i 则M=A,B:UAI B&UA1oB, 局乙输”，i=1,2,3,4,5, P(A)=(0.022+0.04)×10=0.62, 记B为事件“至少需要进行四局比赛才结束”，则B P(A10)=(0.026+0.004)×10=0.3, 为事件“进行三局比赛就结束”， P(B8)=0.02+0.08=0.1, 则B=A1AA:十AA2A, P(B.)=0.2+0.44=0.64, (15分) 号×号×+号×号 则P(B)= 事件A与B,相互独立，其中i=9,10,j=8,9, 3,(5分) .P(M)=P(A Bs UAL Bs UALo B.) 故PB)=1-PB)=号 =P(A)P(B)+P(Ai)P(B)+P(A)P(B) (8分) =0.62×0.1+0.3×0.1+0.3×0.64=0.284. (2)记C为事件“还需进行3局比赛才结束且乙班获 ∴估计对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出 胜”， 奇兵》“印象值”的概率为0.284. (20分) 则C=AAA:UA A.A;, (12分) 45·