(9)随机事件与样本空间、概率及运算-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（湘教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (九)随机事件与样本空间、概率及运算 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.下列事件中是随机事件的是 A.所有五边形的内角和为360 B.通常加热到100℃，水沸腾 C.袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球 D.抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上 2.下列实验中，是古典概型的有 A.某人射击中靶或不中靶 B.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C.10名同学用抽签法选一人去参加会议 D.从区间[1,10]上任取一个实数，求取到1的概率 3.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚 炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机 事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”， 则下列关系不正确的是 A.A二D B.B∩D=⑦ C.AUC=D D.AUB=BUD 4.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉 器上，盛行于商代至西周早期.将青铜器中饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示， 每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个 单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好沿着饕餮纹的 路线到达点B的概率为 A.16 .8 C.4 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题 5.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次， 将得到的点数分别记为m,n,记向量a=(2m一3，n一1)，b=(1,一1)的夹角为0，则0 为钝角的概率是 A是 B.3 c器 n品 6.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6、9.7、9.5、9.9、9.4、9.8、9.3、10.0，已知这组数 据的第x百分位数为m,若从这组数据中任取一个数，这个数比m大的概率为0.25， 则x的取值不可能是 A.65 B.70 C.75 D.80 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是 A.事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 B.事件“最少一次击中”与事件“最多一次击中”为互斥事件 C.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件 D.事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 8.一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1,2,3，现分别用三种方 案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后有放回的摸出两 个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次 摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到2号球 的概率分别为P1,P2,P3,则 A.P>P2 B.P>P C.P2=Ps D.P=P: 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.3，甲获胜的概率是0.2，则乙获胜的概率 为 ;乙不输的概率为 .(本题第一空2分，第二空3分) 10.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，取到红球的概率为 ,取到黑球或黄球的概率为品，取到黄球或绿球的概率为，则任取一球，取到黄 1 球的概率为 高一同步周测卷九 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 为了备战第33届夏季奥林匹克运动会(2024法国巴黎奥运会)，中国奥运健儿刻苦 训练，成绩稳步提升.射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表： 命中环数 10环 9环 8环 7环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该选手射击一次： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率. 12.(本小题满分15分) 已知关于x的二次函数f(x)=mx2一n.x一1，集合M={1,2,3,4},N={-1,2,4, 6,8},若分别从集合M,N中随机抽取一个数m和n,构成数对(m,n). (1)列举数对(，n)的样本空间，样本点共有多少个？ (2)记事件A为“二次函数f(x)的单调递增区间为[1，十∞)”，求事件A的概率； (3)记事件B为“二次函数f(x)=x2一nx一1的最小值小于一2”，求事件B的 概率 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·言 13.(本小题满分20分) 某调研机构为了了解人们对航天知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的 人举办了一次“我爱星辰大海”航天知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度 高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组[20,25)，第二组 [25,30),第三组[30,35)，第四组[35,40)，第五组[40,45]，得到如图所示的频率分 布直方图. ◆频率 组距 0.07 0.05 0.04 0.02 0202530354045年龄/岁 (1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使 者.若有甲（年龄38）、乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽 到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和号，第五组宣传使者的年 龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的 方差. 高一同步周测卷九 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（九） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) IⅢWV ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 随机事件的辨析 易 0.80 2 选择题 5 古典概型的辨析 / 易 0.75 3 选择题 5 事件间的关系 易 0.72 计算古典概型问题 4 选择题 5 中 0.55 的概率（数学文化） 古典概型与向量的 5 选择题 5 中 0.45 综合 古典概型与百分位 6 选择题 5 中 0.35 数的综合 互斥事件、对立事件 选择题 6 易 0.80 的辨析 利用古典概型进行 选择题 6 中 0.50 方案的比较 9 填空题 概率的基本性质 易 0.71 10 填空题 5 由古典概型求参 分 0.35 互斥事件的概率 11 解答题 13 中 0.60 计算 12 古典概型的概率 解答题 15 中 0.50 计算 古典概型与统计的 13 解答题 20 中 0.40 综合 香考答案及解析 一、选择题 可能发生，也可能不发生，是随机事件，D正确.故 1.D【解析】对于A,所有五边形的内角和为540°，所 选D. 以该事件是不可能事件，A错误；对于B,通常加热到 2.C【解析】由古典概型的性质：古典概型具有两大特 100℃，水沸腾，在一定条件下，是必然事件，B错误； 性，基本事件的有限性及它们发生的等可能性，对于 对于C,袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸 A,基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不满 出一个球是红球，是不可能事件，C错误；对于D,抛 足，A错误；对于B,坐标系中整数点是无限的，不满 掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上， 足，B错误：对于C,基本事件数有限，且每人被抽到 ·39· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 的概率相等，满足，C正确；对于D,从区间[1,10]上 次击中”与事件“两次均击中”不能同时发生，是互斥 取一个实数的方法数是无限的，故不满足，D错误.故 事件，故C正确：对于D,事件“两次均未击中”的对立 选C. 事件是“至少一次击中”，故D错误.故选AC 3.D【解析】对于A,“至少有一枚炮弹击中飞机”包含 8.CD【解析】方案一：易得“选到2号球”的概率P1= 两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机，另一种是 两枚炮弹都击中飞机，即A发生，D必发生，因此A二 3:方案二：先后有放回的摸出两个球的基本事件有 D,A正确：对于B,显然事件D是事件B的对立事 {1,1},{1,2},{1,3},{2,1},{2,2},{2,3}, 件，因此B∩D=,B正确；对于C,“恰有一枚炮弹 {3,1},{3,2},{3,3},共9个，其中“选到2号球”的 击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击 基本事件有1,2}，{2,1}，{2,2}，共3个，所以“选 中第二枚击中，因此AUC=D,C正确；对于D,BUD 包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件AU 到2号球“的概率为P=号=子；方案三：同时摸出 B表示“两枚炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”，因 两个球的基本事件有{1,2}，{1,3}，{2,3，共3个， 此AUB≠BUD,D错误.故选D. 其中“选到2号球”的基本事件有{1,2，共1个，所以 4.B【解析】点P从A点出发，每次向右或向下跳一 “选到2号球”的概率为P,=子，所以P=P,=P, 个单位长度，则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下， 故A,B错误，C,D正确.故选CD 右)，（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下， 右)，（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），符合题 三、填空题 意的只有（下，下，右）这1种，所以3次跳动后，恰好 9.0.50.8【解析】因为下一局棋要么甲获胜，要么 乙获胜，要么两人和棋，所以乙获胜的概率为1一0.3 是沿着餐饕纹的路线到达点B的概率为P=合，故 -0.2=0.5,所以乙不输的概率为0.5十0.3=0.8. 选B. 10.1 【解析】设红球、黑球、黄球、绿球的个数分别为 5.D【解析】由a∥b可得，(2m一3)×(-1)- (n一1)×1=0，所以n=4一2m.因为0为钝角，所以 a,b,c,d,由题得a=12X子=3，所以b十c十d=9, a·b<0,且a,b不共线，所以 5 1(2m-3)X1+(n-1)×(-1)<0,即n>2m-2, 由题得b什c=122=5,所以d=4,由题得c+d n≠4-2m 且n≠4一2n.当n=1时，有n>0且n≠2，所以n可 =12X弓=6，所以c=2.由古典概型的概率公式得 取1,3,4,5,6；当m=2时，有n>2,n可取3,4,5,6； 1 当m=3时，有n>4,n可取5,6；当m=4,m=5,m= 任取一球，取到黄球的概率为号=行 6时，n>2m一2≥6，此时无解.综上所述，满足条件的 四、解答题 ,n有11种可能.又先后抛掷两次得到的样本点数 11.解：(1)记“射击一次，命中9环或10环”为事件A, 共36，所以9为钝角的概率P=品故选D. 由互斥事件的加法公式得P(A)=0.32+0.28= 0.60. (4分) 6,D【解析】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到 (2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B, 大排列：9.3、9.4、9.5、9.6、9.7、9.8、9.9、10.0，因为 由互斥事件概率的加法公式得P(B)=0.18十0.28 从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为 十0.32=0.78. (8分) 0.25,一共有8个数，所以比m大的数有两个，则9.8 (3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B: ≤m<9.9,对于A,因为8×0.65=5.2，所以第65百 “射击一次，至少命中8环”的对立事件， 分位数为第6个数，即9.8，满足题意；对于B,因为8 即B表示事件“射击一次，命中不足8环”， ×0.7=5.6,所以第70百分位数为第6个数，即9.8， 根据对立事件的概率公式得P(B)=1一P(B)= 满足题意；对于C,因为8×0.75=6，所以第75百分 1-0.78=0.22. (13分) 位数为第6,7个数的平均数，即98十9.9=9.85，满 12.解：(1)由题意可得，m∈{1,2,3,4}，n∈{-1,2,4， 2 6,8}, 足题意；对于D,因为8×0.8=6.4，所以第80百分位 则数对(m,n)的样本空间为2={(1，一1)，(1,2)， 数为第7个数，即99，不满足题意.故选D. (1,4),(1,6),(1,8),(2,-1),(2,2),(2,4),(2,6), 二、选择题 (2,8),(3,-1),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8), 7.AC【解析】对于A,事件“至多一次击中”包含“一 (4,-1),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)},样本点共20 次击中”和“两次均未击中“，与事件“两次均击中”是 个 (5分) 对立事件，故A正确；对于B,事件“最少一次击中”包 (2)若二次函数f(x)的单调递增区间为[1，十oo), 含“一次击中”与“二次击中”，事件“最多一次击中”包 含“一次击中”与“0次击中”，故两事件可以同时发 则二次函数∫(x)的对称轴x=烈=1，即=2 生，不是互斥事件，故B不正确；对于C,事件“恰有一 由(1)可得，总的样本点个数为20个， ·40· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 符合n=2m的样本点有：(1,2)，(2,4)，(3,6)， (A,乙)，(A,D),(B,C),(B,甲)，(B,乙)，(B,D), (4,8),共4个， (C,甲)，(C,乙)，(C,D),(甲，乙)，（甲，D),(乙， 所以P(A)=务=子 (10分) D),共15个样本点. (8分) 设事件M=“甲、乙两人至少一人被选中”， (3)因为>0，二次函数的图象开口向上， 则M={(A,甲)，(A,乙)，(B,甲)，(B,乙)，(C,甲)， 又二次函数f(x)=mx2一nx一1的最小值小于 (C,乙)，（甲，乙），（甲，D),(乙，D),共9个样本点， -2, 所以P0-=是是 (12分) 所以二4mr<一2， 47m (3)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分 即n2>4m, 别为x4,x,方差分别为s号，s, 样本空间中符合n>4m的基本事件有(1,4)， (1,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4), 则=36=42=号成=1， (3,6),(3,8),(4,6),(4,8),共11个 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为 所以P(B)=品 ,方差为2， (15分) (17分) 13.解：(1)设这m人的平均年龄为x, 则：=4+2五=4X36+2X42-38, 63 6 则x=22.5×0.1+27.5×0.35+32.5×0.25+ 37.5×0.2+42.5×0.1=31.75(岁). (4分) 2=石{4x[成+(-)门+2X[+ (2)由频率分布直方图可知各组的频率之比为2：7： )]=×{4×[号 +(36-38)2 +2×[1+ 5:4:2, 4 第四组应抽取20X2十7+5十4十2=4人，记为A, (42-38)2]}=10, B,C,甲， 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差 为10， 第五组应抽取20×2+7+5+4十2=2人，记为 据此可估计这m人中35~45岁的所有人的年龄方 D,乙， 差约为10. (20分) 对应的样本空间为2={(A,B),(A,C),(A,甲)， 41·