(5)复数-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（湘教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (五)复数 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.复数（一i)225一2的虚部为 A.i B.-i C.1 D.-1 2.若a,b∈R,纯虚数之满足之一a=(2之-b)i,则b= A.2 B.-2 c号 3.已知x=1-i,则 A.√2 B.√/5 C.3 D.5 4.已知复数=士，其中a∈R则≥r是a>1的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.在复平面内，把复数3一3i对应的向量a按顺时针方向旋转5，所得向量在a上的投 影向量对应的复数是 A.23-3i B.3-2√i C.3-3 2 D.3-/3i 2 6.如果复数之满足|之+2i十|之一2=4，那么之+i+2的最小值是 A.1 B.√2 C.2 D.√5 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知复数之1，之2，则下列命题正确的有 A.若好十2=0，则1=2=0 B.若1=ix2,则之|=x2 C.若1=22，则名1之2=|之1|2 D.若之|=|2，则=z 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题 8.欧拉公式：e9=cos0+isin0(i是虚数单位，e=2.718·,0∈R)是由瑞士著名数学家 欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令0=π可得e十1 =0.它又将自然界中的两个重要的无理数π和e、实数单位1、虚数单位i以及复数中 的0巧妙地结合在一起.被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式” 等等.下列关于欧拉公式的叙述正确的有 A.e2025xi-1=0 B.复数ei对应的点位于第二象限 C.exi=1 D.(ei)=ei 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.由数学王子高斯证明出的代数基本定理的内容可知一元n次多项式方程有n个复数 根，且对于一元二次方程，其两个复数根互为共轭复数.若复数之=2一1是一元二次 方程2x2+x十q=0的一个根，则p十q= 10.已知复数之1=1十2i,之2=一2十i,之3=一1一2i在复平面上对应的点是一个正方形的 3个顶点，记这个正方形的第4个顶点对应的复数为之，则之2的实部为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知复数之=(m2-m一2)十(m2十m一6)i,求适合下列条件的实数m的值. (1)x为实数； (2)x为纯虚数； (3)x=z; (4)若之在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围. 高一同步周测卷五 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页） 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 已知复数1,2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,O是坐标原点，点M是复平面 设：是虚数：w=+∈R且-1<0<2u=斤 内一点，且OM=λOZ+μZ1Z2(a∈R). (1)求z的值及之的实部的取值范围： (1)若名=2i,2=4十6i,OMLZ1Z2,求入与4的关系； (2)求证：u是纯虚数； (2)若OZ,OZ2不共线，M,Z,Z2三点共线，求1的值. (3)求一2的最小值. 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高一同步周测卷五 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ② ③④ ⑥ 档次 系数 i的周期性，求复数 1 选择题 5 易 0.80 的虚部 2 选择题 5 由复数相等求参 易 0.75 3 选择题 5 求复数的模 易 0.72 复数与充要性的 4 选择题 5 中 0.60 综合 选择题 复数与向量的综合 中 0.55 利用复数的几何意 6 选择题 5 中 0.40 义求最值 7 选择题 6 复数的性质 易 0.80 复数的新定义问题 8 选择题 6 中 0.65 (数学文化) 9 填空题 5 复数方程 易 0.72 10 填空题 5 求复数的实部 中 0.35 11 解答题 13 由复数的分类求参 易 0.75 复数与向量的综合 12 解答题 15 中 0.50 应用 复数与不等式的 13 解答题 20 中 0.40 综合 香考答案及解析 一、选择题 3.B 【解折】因为=1-i,所以+中1_2-2D 2 1.D【解析】因为（-i)225-2=-i2s-2 -06×4+1-2=一2-i,所以其虚部为-1.故选D. =-1-2i,所以中=-1-2i=T=后， 2.D【解析】设之=mi(m∈R,且m≠0)，则一a十mi= 故选B. (2mi-b)i=-2m-bi,所以a=2m,b=-m,则b B【解标】由1=母=√罗>1，则兰 一号故选D >1,可得a>1或a<-1,所以“|z|>1”是“a>1”的 ·21· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 必要而不充分条件，故选B. e2025m-1=(ei)2025-1=-1-1=-2,故A错误； 5.D【解析】因为把复数3一√3i对应的向量a= 对于B,e=cos3+isin3,而受<3<，则cos3<0. (3,一3)按顺时针方向旋转牙，所以旋转后的向量 sin3>0,故ei位于第二象限，故B正确；对于C, 所对应的复数为(3-尽i)cos(-牙) |ei|=√cosx十sinx=1,故C正确；对于D,e= cos0+isin0,所以(e8)=cos0-isin 0,又因为e= ism-)]=3-(3-)=是-8 e=cos0-isin0,所以(e9)=e,故D正确.故 选BCD 停：+号#=-2厅，所以旋转后的向量b 三、填空题 9.14【解析】由题意可得=一2i一1是一元二次方程 (0,-2√3)，又因为a·b=6,|a|=√32+(-3) 2x2十px十q=0的另一个根，故由一元二次方程的韦 -26,所以向量0在a上的投影向量是·日 -1+2i+(-1-2i)=-2 2 p=4 达定理可得 ==(侵，-)，即对应复数是 （-1+2)(-1-2i)=号 9=10 选D. 故p十q=14. 6.C【解析】设复数-2i,2i,一(2十i)在复平面内对应 10.3【解析】设复数x1=1+2i,x2=-2+i,=-1 的点分别为Z,Z,Z,因为x十2十|x一2i|=4, -2i在复平面上分别对应点A(1,2),B(一2,1)， |ZZ|=4,所以复数：对应的点Z的集合为线段 C(一1，一2)，设正方形的第四个顶点对应的坐标是 Z1Z2,如图所示，所以求|之十+2的最小值的问题转 D(x,y),则其对应的复数为x十yi,则AD=BC,又 化为：动点Z在线段ZZ上移动，求ZZ|的最小 AD=(x-1,y-2),BC=(1,-3),.(x-1,y-2) 值.因此作ZZ⊥Z1Z2于Z。,则Z:与Z。的距离即 =(1,-3),.x-1=1,y-2=-3,.x=2,y= 为所求的最小值，|ZZ|=2,故|x十i+2|的最小 一1.故这个正方形的第四个顶点对应的复数是之= 值是2.故选C 2-i,故z2=(2-i)2=4-1-4i=3-4i,其实部 为3. 四、解答题 11.解：(1)若之是实数，则m2十m-6=0, 解得1=一3或m=2. (3分) 1m2-m-2=0 (2)若之是纯虚数，则 m2+m-6≠0 解得=一1. (6分) 二、选择题 (3)若x=x,可知x是实数 7.BC【解析】对于A,取1=1，x2=i,显然满足十 由(1)可知m=-3或m=2. (9分) x号=0，但≠0,22≠0，故A错误；对于B,因为1= (4)若之在复平面内对应的点在第四象限， ,所以||=|i2=i|21=||,故B正确； 1m2-m-2>0, 则 对于C,因为=2，所以1=刘=|之|2，故C m2+m-6<0, 正确；对于D,取=1,2=i,满足||=||，但 解得-3<<-1， =1,z号=一1，所以1≠号，故D错误.故选BC 即m的取值范围为（一3，一1）. 13分) 8.BCD【解析】对于A,因为e十1=0，所以e=-1,12.解：(1)由题意，得Z(0,2),Z2(4,6), ·22· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 则0Z=(0,2),Z乙=(4,4). .a2+b2=1, 所以oM=xOZ+uZ1Z .|z|=1,此时w=2a, =入(0,2)十(4,4)=(4,2λ+4) :-1<w<2, 又OM⊥ZZ2,所以OM·ZZ方=0， -<a<1 即(4,2λ十4μ)·(4,4)=0， (5分) 即入十4μ=0. 即之的实部的取值范围为（一 (6分) 因为OM⊥Z1Z2,所以OM≠0， 则入与4的关系为入=一4（≠0）. (7分) (@u岸异a+阁 (2)若M,乙，Z三点共线，则有MZ=tZZ乙，teR =[(1-a)-bi][1+a)-bi (1十a)2+6 且t≠0或1. =1-a2-B-26i 所以有Mò+OZ=t(Zδ+oZ), 1+2a+a2+6 即oM=(t+1)oZ-t0Z.① (10分) a2+6=1, 又由oM=xoZ+uZi, . 1+2a+a2+b 得Oi=x0Z+u(Z0+oZ), b≠0，- 1 即oi=(a-u)0Z+u0Z.② (12分) <a<1, 由①②知 十1=入-“解得入=1， u是纯虚数 (12分) 62 一t=, (3)m-u2=2a+ (1十a) 所以入的值为1. (15分) 13.解：(1)x是虚数，设x=a十bi(a,b∈R,b≠0)， =2a+_1a2 =2a+ =[a+1)+h]-8 =a+贫+会=a+。开云+(6-a年后) :-<a<1,可得(a+1)十a≥2， w∈R, ∴.-W≥2X2-3=1, 6a6=0 当且仅当a十1=a市，即a=0时，w一取得最小 b≠0， 值为1. ·23·