(7)直线与直线、直线与平面的位置关系以及平面与平面的位置关系-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（湘教版）

高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（七） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 等角定理 易 0.80 线面垂直与充要性 选择题 的综合 易 0.75 3 平行的传递性的 选择题 5 应用 v 易 0.72 4 选择题 5 面面平行的性质 中 0.65 5 选择题 5 求线面距 中 0.55 6 选择题 几何体的截面问题 难 0.28 7 6 空间位置关系的 选择题 易 0.72 判定 几何体中的位置关 8 选择题 6 中 0.45 系（数学文化） 9 填空题 与平行、垂直有关的 5 易 0.75 开放题 求线面角（数学文 10 填空题 5 中 0.35 化) 线面平行、面面垂直 11 解答题 13 中 0.60 的证明 12 解答题 15 线面垂直的证明 中 0.55 线线垂直的证明，求 13 解答题 20 两平面夹角的余 L L 中 0.35 弦值 ·27· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 1.D【解析】由等角定理得，α，3相等或互补，所以B= 求距离为停。故运心 30°或150°.故选D. D 2.B【解析】由题意知，a⊥B,a∩B=l,若m⊥l,当mC B时，有m⊥a:当m寸β时，m与a不一定垂直.若m⊥ A a,由lCa,得m⊥l.故“m⊥”是“m⊥a”的必要而不充 分条件，故选B. 3.C【解析】 C A 6.D【解析】要想平面AMN截正方体ABCD-AB,CD D 所得的截面为四边形，则要平面AMN与正方形 BCC1B:,ADD1A1分别交于MN,AR,显然与正方形 --- G ABBA,无交线，只需保证与正方形AB,CD无交 B 线即可， 因为点E,F,G,H分别为空间四边形ABCD中AB, Di C BC,CD,AD的中点，所以FG∥BD,EH∥BD,HG∥ AC,EF∥AC,所以EH∥FG,HG∥EF,所以四边形 B EFGH是平行四边形，又AC与BD所成角的大小为 R 90°，所以HG与FG所成角的大小为90°，即FG⊥ HG,所以四边形EFGH是矩形，又AC=BD,FG 之BD,HG=AC,所以FG=HG,所以四边形EF D GH是正方形.故选C. 4.D【解析】由已知可得，平面a∥平面ABC,平面 因为平面BCCB,∥平面ADDA,平面AMNR与 PAB∩a=A'B',平面PAB∩平面ABC=AB,根据面 两个平面分别交于MN,AR,由面面平行的性质可得 面平行的性质定理可得，AB/AB',且4臣-PA' MN/AR,因为点N在线段CC上，且CN=寸由 号.同理可得，BC/BC,AC/AC,根据等角定理 几何关系知，随着BM的增大，DR增大，故当R与D 可得，∠BA'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC, 重合时，BM最大，因为正方体ABCD-A1BCD的 体积为1，所以正方体棱长为1，如图所示，由于MN ∠A'C'B'=∠ACB,所以△ABC∽△A'B'C,所以 S△ABC:S△ABc=(A'B′)2：(AB)2=4:25.故选D. /AD,故△ADD,∽△MCN,故CM=CN=子，故 5.C【解析】如图，连接A1C1,BD,它们交于点O,连 接AC,正方形中AC⊥BD,又AA:⊥平面 BM最长为号，放BME(,号]故选D ABC1D,BD1C平面A B C D,所以AA⊥ BD,AA∩AC=A,AA,ACC平面AACC, 所以B1D1⊥平面AA1CC,所以B1O的长即为棱 BB,到平面AACC的距离，而B,O= a,所以所 2 ·28· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· D 余下的一个论断作为结论，得到如下三个命题：①② →③，即如果b∥a,a⊥a,则a⊥b.此命题正确，证明 A1 B 如下：过b作一个平面B,使得β∩a=c,如图， D 二、选择题 .b∥a,bCB,β∩a=c,∴.b∥c,又a⊥a,cCa,可得a⊥ 7.BD【解析】对于A,因为a∥B,m⊥B,则m⊥a,所以 c,则a⊥b. A错误；对于B,因为m⊥a,n⊥a,由线面垂直的性质 ②③→①，即如果a⊥a,a⊥b,则b∥a.此命题正确. 知，∥n,所以B正确；对于C,因为m∥a,n∥a,则m 证明如下：过b作一个平面Y,使得y∩a=m,如图， 与n可能是异面直线，也可能是相交直线，所以C错 误；对于D,因为n⊥a,n⊥B,垂直于同一直线的两个 平面互相平行，所以D正确.故选BD. 8.ABD【解析】对于A,因为CC⊥平面ABC,AC,BC C平面ABC,所以CC⊥BC,CC⊥AC,所以四边形 A1ACC为矩形，又因为AC⊥BC,CC∩AC=C, .a⊥a,mCa,∴a⊥m,又a⊥b,b,mCy,∴.b∥m,b CC1,ACC平面A1ACC,所以BC⊥平面AACC,所 ta,mCa,∴.b∥a. 以四棱锥B一AACC为“阳马”，故A正确：对于B, ①③→②，即如果b∥a,a⊥b,则a⊥a.此命题不正 连接BC,由选项A的解析可知，BC⊥平面 确，a与a相交、平行、垂直均有可能. AACC,又A1CC平面AACC1,所以BC⊥AC,即 △A1BC是直角三角形，由选项A的解析可知，AC⊥ 10.3还 【解析】设PA=1,则AD=√2PA=√2，PA BC,CC⊥AC,又CC∩BC=C,CC1,BCC平面 ⊥平面ABCD,∴.∠PCA即为PC与底面ABCD所 B1BCC1,所以AC⊥平面BBCC,因为AC∥AC, 成角，即∠PCA= 所以AC⊥平面B,BCC,又BCC平面B,BCC, 6 所以AC⊥BC,即△ABC是直角三角形，又 △ACC、△BCC都是直角三角形，所以四面体 ACCB为“鳖臑”，故B正确；对于C,由选项A的解 析可知，BC⊥平面AACC,因为M为线段A1C上 的动点，所以AMC平面AACC,所以BC⊥AM,即 AM与BC所成角的大小恒为90°，故C错误；对于D, B C 由A的解析可知，BC⊥平面AA,C,C,又AFC平面 :PC=PA =2,AC=PA =,AB= AACC,所以BC⊥AF,因为AC∩BC=C,AC,BC C平面ABC,所以AF⊥平面ABC,又ABC平面 tan A1BC,所以AF⊥A1B,因为AE∩AF=A,AE,AFC √/AC-BC=√/AC-AD=1,∴.tan∠PBA= 平面AEF,所以A1B⊥平面AEF,因为EFC平面 器-1.∠PBA=年PAL平面ABCD,BCC AEF,所以EF⊥AB,故D正确.故选ABD. 平面ABCD,.PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB= 三、填空题 A,PA,ABC平面PAB,∴BC⊥平面PAB,PBC 9.①②→③（或②③→①）【解析】已知a,b是平面a 外的两条不同直线，将所给论断选出两个作为条件， 平面PAB,.PB⊥BC,即∠PBC=受，又∠ABC= ·29· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 受“点B的曲率为2红一开-吾一受=开 又因为PQC平面PBC, 所以平面PBC⊥平面ABCD. (13分) 四、解答题 12.解：(1) 11.解：(1) M Ac------. B 取PC的中点E,连接ME,BE, M 由M为DP的中点，E为PC的中点， 如图连接AB,与A1B交于点O,O为AB1的中点， 所以ME/DC,ME=DC, (2分) 连接OM, 又BN/CD,BN=2CD, 因为平面ABM∥平面B1CV,平面ABC∩平面 ABM=OM,平面BVC∩平面ABC=BC, 则ME∥BN,ME=BN, 所以OM∥BC, (3分) 因此四边形BEMN为平行四边形， 又在△ABC中，O为AB1的中点， 于是MN∥BE, (4分) 所以M是AC的中点. (5分) 而MN丈平面PBC,BEC平面PBC, (2)因为AA⊥底面ABC,BMC平面ABC, 所以MN∥平面PBC. (6分) 所以AA1⊥BM, (2) 又M为棱AC的中点，AB=BC, 所以BM⊥AC. (7分) 因为AA∩AC=A,AA1、ACC平面ACCA, 所以BM⊥平面ACCA1, 又ACC平面ACC1A, D 所以BM⊥AC, (9分) 因为AC=2,所以AM=1, N B 过P作PQ⊥BC于点Q,连接DQ, 又AA=√2， 在Rt△ACC和Rt△A1AM中，tan∠ACC= 由∠DCB=∠PCB=平，CD=PC.QC=QC tan∠A,MA=√E, 得△QCD≌△QCP, 所以∠AC1C=∠A1MA, (11分) 则∠DQC=∠PQC=苓，即DQ⊥BC, 即∠ACC+∠CAC=∠AMA+∠CAC=90°， (8分) 所以AM⊥AC, 因为底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边 又BM∩AM=M,BM、A1MC平面A,BM, 三角形， 所以AC⊥平面ABM. (15分) 所以CD=PD=2, 13.解：I)在△EBC中，∠EBC=红，BC=BE=2, 从而PQ=DQ=√2，PQ+DQ=4=22=CD =PD2, 由余弦定理可得EC=EB+BC一2EB·BCcos∠EBC 所以PQ⊥DQ, (10分) =2+2-2×2×2×(-7）=12, (3分) 又因为DQ∩BC=Q,DQC平面ABCD,BCC平面 又DC=4,DE=2, ABCD, 则PQ⊥平面ABCD, (12分) .CE+DE=DC,即∠DEC= (5分) ·30· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· .PC=4=DC, .PE=DE, 又△ADE为正三角形， .EF⊥PD ..PE=DE=2, 又CP=CD, ∴△DEC与△PEC全等， ∴CF⊥PD, ·∠PBC=∠DEC=受： ∴.∠CFE为二面角C-PD-E的平面角.(13分) 在正△PDE中，EF=√22-1=√3， ∴.CE⊥DE,CE⊥PE, (8分) 在等腰△PDC中，PC=DC=4,PD=2, 又DE∩PE=E,DE,PEC平面DPE, .CE⊥平面DPE, (9分) ∴.CF=√4-1下=√15. (15分) 又PDC平面DPE, 由(1)可知CE⊥平面DPE, .CE⊥PD. (10分) 又EFC平面DPE, (2)取PD的中点F,连接EF、CF, CE⊥EF,即∠FEC=, 在R△CFE中，cos∠CFE=EF=E=5 CF√5 5 故平面PDE与平面PDC的夹角的余弦值为5 (20分) ·31·高一同步周测卷/数学必修第二册 (七)直线与直线、直线与平面的位置关系 以及平面与平面的位置关系 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知空间中两个角a,3的两边对应平行，且a=30°，则= A.30° B.60° C.120° D.30°或150 2.已知a,3是两个互相垂直的平面，l,m是两条直线，a∩3=1，则“m⊥”是“m⊥a”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.已知点E,F,G,H分别为空间四边形ABCD中AB,BC,CD,AD的中点，若AC BD,且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是 A.梯形 B.空间四边形 C.正方形 D.有一内角为60°的菱形 4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC,且α交线段PA,PB,PC于点 A',B,C,若PA':AA'=2:3,则S△AB'C:S△ABC= A.2:3 B.2:5 C.4:9 D.4:25 5.已知正方体ABCD一A1B,C1D1的棱长为a,则棱BB1到平面AAC1C的距离为 1. 3 a B.a C. 24 D.2a 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题 6.已知正方体ABCD一A1B,C1D1的体积为1，点M在线段BC上且异于点B,C,点N 在线段CC,上，且CN=了，若平面AMN截正方体ABCD-ABCD所得的截面 为四边形，则线段BM长的取值范围为 A[) Dy B [哈引 D co,】 n.o号1 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.设α，3是两个平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是 A.若a∥B,m⊥3，则m∥a B.若m⊥a,n⊥a,则m∥n C.若m∥a,n∥a,则m∥n D.若n⊥a,nLB,则a∥B 8.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，底面为 矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称 为“鳖臑”.如图在堑堵ABC一A1B1C1中，ACBC,且AA1=AB=2,则 A.四棱锥B一A1ACC为“阳马” AY B.四面体A1CCB为“鳖臑” C C.若M为线段AC上的动点，则AM与BC所成角的大小恒为60° D.过A点分别作AE⊥A,B于点E,AF⊥AC于点F,则EF ⊥A1B 班级 姓名」 分数 题号 2 3 4 5 6 7 P 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知a,b是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：①b∥a;②a⊥a;③a⊥b. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命 题： 高一同步周测卷七 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页）】 10.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶 点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫作多面体 的面角，角度用弧度制).例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为于，所 以正四面体在各顶点的曲率为2π一 ×3=元.在底面为矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD,AD=2PA,PC与底面ABCD所成的角为，则在四棱锥 P一ABCD中，点B的曲率为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角 形，∠DCB=∠PCB=于，点M,N分别为DP和AB的中点. (1)求证：MN∥平面PBC; (2)求证：平面PBC⊥平面ABCD N B 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC一A1BC1中，点M在棱AC上，点N为A,C1的中点，且平 面A1BM∥平面BCN,AB=BC,AC=2,AA1=√2. (1)求证：M是AC的中点； B1 (2)求证：AC1⊥平面A1BM. 、 13.(本小题满分20分) 已知在平行四边形ABCD中，AD=专AB=2,∠DAB=号，点E为AB的中点，将 △ADE沿DE折起到△PDE位置时，PC=4. (1)求证：CE⊥PD; (2)求平面PDE与平面PDC的夹角的余弦值. D 高一同步周测卷七 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页)