(4)三角恒等变换-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（湘教版）

高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（四） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 三角函数定义与差 1 选择题 易 0.80 角正弦公式的应用 2 选择题 5 利用半角公式求值 易 0.75 利用和角的正切公 3 选择题 5 易 0.72 式求角 选择题 三角变换与比较大 4 5 中 0.55 小的综合 三角形中的三角恒 5 选择题 5 中 0.45 等变换 差角公式的实际 6 选择题 5 中 0.30 应用 7 选择题 6 知角求值 中 0.50 三角变换与三角函 8 选择题 6 数性质的综合（数学 L L 中 0.40 文化题) 由和差角余弦公式 9 填空题 5 易 0.71 求值 和差化积公式与三 10 填空题 5 中 0.35 角函数性质的综合 给值求值、给值求角 11 解答题 13 中 0.60 问题 由三角变换化简三 角函数式，研究正弦 12 解答题 15 中 0.45 型函数的单调性与 值域 利用三角变换解决 13 解答题 20 平面儿何中的最值 难 0.25 问题 ·15· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 香考答案及解析 一、选择题 5.C【解析】设BC边上的高为AD,则BC=3AD,设 1.B【解折】由题意，得s如产后-50sg 1 AD=h,则BD=AD=h.:BC=3h,∴.DC=2h, 5 √5 AC=5h,∴cosC=25 5 sin C=5 =号，c0s(2026r 9则n(g牙)=m0s牙-cosn子-25 A)=cosA=-cos(B+C)=-coscs C+sin开· ×号×9=巴故选品 25 2 sin C-- ×+竖×写-故选℃ 10 2.A【解析】a为第三象限角，且sina= 号则casa 6.D【解析】连接AB,BC,CD,DE,EF,FG,GH,HA, 设线段AE与CG的交点为O,线段BH与线段AE =-，则an号= 4 sin受 sm受 a sincos号 的交点为M,因为∠COB=∠AOB=于，所以∠AOC 1-cos a_ 1-(-号 =受，又0C=0A,所以∠ACG=∠AC0=平，设0A 一3.故选A sin a 3 5 -a,则0B=OE=a,所以OM=MB-号。，所以 3.C【解析】依题意tan atan Bi=-5,tana十tanB=6, tan a+tan B 6 所以tan(a十B)=i-tan ctan1-(-5) =1,因 tan∠EBH=tan∠EBM= +242+厘=+1 √2 a 为a,B∈(0，π)，又tan atan B=-5<0,所以a十B∈ 所以tana=l,tan3=√E+l,所以tan(a-B)= (受，要)，所以a十-买故选C an&-am3=1-E-1=1-2.故选D. 1+tan atan31+(√/2+1） 4.D【解析】因为a=了os5”- 2sin5°=sin30°. cos5°-cos30°sin5°=sin(30°-5°)=sin25°，b= 2sin 14 2tan14° cos 14 2sin14°cos14° G 1+tan214 1+sin149 cos214°+sin14 c0s214° sin28°，c= /1-cos58 1-(1-2sin229°) 2 二、选择题 sin29°，函数y=sinx在(0°，90°)上单调递增，且0 7.AB【解析】对于A,sin102°cos42°-cos102°· <25°<28°<29°<90°，所以sin29°>sin28°> sin25°，即c>b>a.故选D. c0s48=sn(102”-42)=sin60-号，枚A正确： ·16· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 对于兽温部 =tan(23°+37°)=tan60 三、填空题 3 =5,故B正确：对于C,sin22.5°sin67.5°= 1 9.5 【解】析：cos(a+》=言osa-》=号， m46=×号-9故C 1 cos(+)=cos acos B-sin asin 6 2sin22.5cos22.5°= 错误；对于D,cos275°一sin75°=cos(2×75°)= cos(a-B)=cos acos B+sin asin=号， 0s150=-号，故D错误.故选AB 1 sin asin B=年， 心tana·tang=g 5 8.AD【解析】由已知有ver sin9=1-cosa,cover sin日 cos acos B=12 =l-sing,对于A,y=cover sin x+ver sin= 0. 【解析】根据和差化积公式得f(x)=cos3x一 (1-sinx)+(1-cosx)=2-2cos(x-平），当x cos2x=-2sin3z2zsin3u22=-2sn号· 2 2 ∈[平，]时，x-牙∈[0，]，此时函数y= sin兰，则令-2sin受in号-0，当sin号=0时，因 x V巨cos(红-开)单调递减，函数y=2-√Ecos(x 为x∈(0，x),则号∈(0，受)，此时无解，当sin受 牙）单调递增，A正确：对于B,c0crs二 ver sin x-l =0时，因为x∈(0，x),则受∈(0，受)，则受=元 1-sin x-1 1-cos-=tan =3,cover sin 2x-ver sin 2x 或2x,解得x-或x=誓则1一=- 5 =cos 2x-sin 2x=cos'x-sin'x-2sin xcos x= cos'r-sin'r-2sin xcos r1-tan'x-2tan =2n 5 sin2x++cos2a tanx+1 四、解答题 子，B结误：对于C,)=ver sin(2026x-吾）) 11.解：(1)因为a,8e(0,受)： +cover sin(2026)=1-cos(2 026+ 所以Ba∈(-受，受) 1-sin(2026x+吾）=2-cos[(2026x+若） 则cosa>0,cos(B-a)>0, Ξ]-sim(2026x+晋)=2-2sinm(2026x+若)）， 又因为s血e=方n(ga)是， 1 则f(x)的最小值为0，C错误；对于D, 所以cosa=V-sima=4y5 7 ver sin(5-）=1-cos(5-a）=1-sin0- cover sin 0,D正确.故选AD. cos (B-a)-T-sin (B-a) 14 ·17 ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 所以sinB=sin(3-a十a) 十kπ≤x≤ 3 π十kπ，k∈Z. =sin(β-a)cosa十cos(B-a)sina 故∫(x)的单调递增区间是 ×95+×号 (5分) (k∈Z). (12分) 因为B∈(0，)，所以B=号 (7分) (3)由函数y=f(x)单调性可知，f(x)在一吾， 《2)由(1D知，sima=7,cosa=43, 7 吾]上单调递增，函数值从0增大到3， 故sin2a=2 sincs=2×1×4y5_8V3 7 7 49 在（石，号上单调递减，函数值从3减小到2， os2a=1-2sia=1-2x(号）广-0 (11分) 函数fx)在x[-吾号]时的值域为0,3 所以cos(2a-B)=cos2 acos B+sin2 asin B (15分) -铝×名+×-品 49◆298 (13分) 13.解：(1)过点P作OA的垂线，垂足为D, 12.解：(1)f(x)=2 cos'wx十√3sin2wx 在Rt△PDO中，PD=sina,OD=cosa, =1+cos2wx+√3sin2wx 在Rt△PDC中，PD=CDtan 0, =1+2sin(2ar+若) (3分) 则CD=PD=sine tan√3 “相邻两个对称中心之间的距离为受一 T 2 :函数f(x)的周期T= 解得w=1, (5分) f(x)=1+2sin(2x+若） (6分) 0 C D (2)由(1)知f(x)=1+2sin(2x+吾)， 所以OC=OD-CD=cosa&-sing 令=2x+否， 所以S四边形cPQ=f(a)=OC·PD ,y=sint的单调递增区间为 -受+2kx,受+ 2 -(a。一)nc 2kπ，k∈Z, (9分) sin2a-2(o<a<吾). (6分) &-受+2km≤2x+吾<受+2hm,keZ (2由1)知：a)=号m2。-管(0<a<吾)， 3 ·18· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 故平行四边形0CPQ的面积f(a)=号sin2a (3)由题得g(a)=[fa)+]=sim(2a+吾)， 9n。 则g(x)=n(2x+晋）=号， 分sin2a-5x1-eos2a 3 2 由于晋<≤号， 2 sin 2a+13 1 所以受<2叶晋<晋 -5sn(2a+晋）-g, 故cos(2x+君）=寻， 由于0<a<号 g(x+若)=sin(2x+变)=cos2x 故号<2a+普<餐， =os(2x+吾-若) 故当2a十若=受，即。=吾时，f(a)取得最大值为 =cos(2x+5)cos若+sin(2x+若)sin (14分) 是×+告×合=485 10 ·19高一同步周测卷/数学必修第二册 (四)三角恒等变换 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.已知角B的终边上一点P的坐标为(1,2)，则sin(9-)- A.-0 10 B.0 10 c- D.v10 2.若。为第三象限角，且sn。=一子则1am号 A.-3 B.一3 C.2 D.-2 3.已知a,B∈(0，π)，且tana、tanB是方程x2一6x一5=0的两根，则a十B的值为 A B C. D. 4.设a=。 2tan14° 工s5。si口5b—1ta214o·C 1-cos58,则有 2 A.a>b>c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b< 5.在△ABC中，B=平，BC边上的高等于3BC,则cos(2026元-A)= A.310 10 B.v10 10 C.、o D.-30 10 10 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷· 6.如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端A,B,C,D,E,F,G,H恰好可以 围成一个正八边形，设∠ACG=a,∠EBH=3,则tan(a一3)= A.-3 B.-22 C.-2√2+1 D.1-√2 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列选项正确的是 A.sin102°c0s42°-c0s102cos48°= A"装= C.sin 22.5sin 67.5 D.cos75-sim275°=- 2 8.在数学史上，曾经定义过下列两种三角函数：1一cos0为角0的正矢，记作ver sin0;1 一sin0为角0的余矢，记作cover sin0.则下列说法正确的是 A.函数)=cover sin十ver si在[至，57]上单调递增 B.若cover sin1=3,则cover sin2x-ver sin2.x= 7 ver sin x-1 C.若函数f(x)=ver sin2026x- 31 coversin(2026x+晋)，则f(x)的最小值为-2 D.ver sin()-cover sin 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 先享题·高一同步周测卷四 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页） 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知cosa+》=行，cos(a一)=号，则an atan的值为 10.已知x1,x2是函数f(x)=Cos3x一cos2x,x∈(0，π)的两个零点，则 |x1-x2|= 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知sina=号sim(ga）=,且e,9e(0,受) (1)求3的值； (2)求cos(2a-B)的值. 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=2cos2wx十√3sin2wx(w>0),其相邻两个对称中心之间的距离 为2 (1)求函数f(x)的表达式； (2)求函数f(x)的单调递增区间： (3)求函数f(x)在x∈[一晋，号]时的值域。 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 如图，已知扇形AOB的半径为1，圆心角为0=，P是扇形弧上的动点（不与A,B 两点重合)，记∠AOP=a. (1)请用a来表示平行四边形OCPQ的面积f(α)； (2)求平行四边形OCPQ面积的最大值，以及面积最大时角α的值； (3)设ga)=[fa+],若gx)={晋≤≤引，求e+晋） Q D a 一同步周测卷四 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页）