(3)解三角形、平面向量的应用举例-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（湘教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (三)解三角形、平面向量的应用举例 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,6c,已知a=8,A=3开，则△ABC外接 圆的周长为 A.4√2π B.8√2π C.8π D. 2.在△ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA:sinB:sinC=4:7:9, 则△ABC中最小角的余弦值为 A品 B.63 c品 D16 1 3.冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动. 同学小张在冰球训练的过程中，以力F=(4,3)作用于冰球，使冰球从点A(一1，一2) 移动到点B(1,1),则F对冰球所做的功为 A.-17 B.-10 C.17 D.10 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c<bcos A,则△ABC的形状是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题 5.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾 股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形 与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设DF=3FA,若AB= 3√21，则DF的长为 A.9 B.23 C.3 D B D.√3 6.已知在△ABC中，AD为中线，AD=4,BC=6,作BH⊥AC,垂足为H,则AH· AC- A.7 B.6√2 C.43 D.9 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则根据下列条件有两解的是 A.A=平b=1,c=2 BA=晋b=3,a=月 C.B-经b=1c=2 D.B=平，b=5,a=2 8.据统计，从1932年至1990年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学 建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具：测角 仪、米尺、量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方 案有 A.把两只佛脚底部看作M,N两点，分别测量佛顶的仰角α，B和 MN的距离 B.在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为α，再面对大佛前行S米，测得 佛顶的仰角为3 C.高为h的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶 的仰角α，3 D.在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角α，B,再测量A,B两点间距离和 两点相对于大佛底部的张角日 高一同步周测卷三 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页） 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.一艘船以6km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为 3km/h,则经过3h,船的实际航程为 km. 10.已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a+b一c2=ab,则C= ,若△ABC的面积为√3，则当a十4b取最小值时，△ABC的周长为 .(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=2sin(2x-),将f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象.在△ABC中，内 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(B)=0. (1)求g(x)的解析式及B: (2)若b=√/13，且△ABC的面积为3√3，求a一c. 12.(本小题满分15分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 asin Bcos A=bsin A. 1)求A的大小； (2)若bc=4,求a的最小值； (3)若∠BAC的平分线与边BC交于点D.且AD=1,求证：方+= D 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 如图，某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20km/h,送快件到C 处，已知∠CBD=120°，∠ADB=30°，sin∠ABD=√3sinA,BD=10km,CD= 5√/19km. (1)求△BCD的面积； (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派 汽车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速50km/h. (ⅰ)求汽车到达C处所花时间； (ⅱ)汽车能否先到达C处？ 高一同步周测卷三 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（三） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ③④ ⑥ 档次 系数 利用正弦定理求三 1 选择题 易 0.80 角形外接圆的周长 正、余弦定理的应用 选择题 5 易 0.75 (已知三边求角) 利用向量解决物体 3 选择题 5 易 0.72 做功问题 利用余弦定理判断 4 选择题 5 中 0.65 三角形形状 利用余弦定理求线 选择题 段的长（古代数学文 中 0.55 化) 利用向量解决儿何 6 选择题 中 0.35 问题 正弦定理中的两解 选择题 中 0.50 问题 与三角形有关的方 8 选择题 6 中 0.30 案设计问题 利用向量解决速度 9 填空题 5 0.72 问题 易 利用余弦定理求角 10 填空题 5 中 0.40 及三角形的周长 三角函数与解三角 11 解答题 13 中 0.60 形的综合 解三角形与基本不 12 解答题 15 等式的综合，三角形 V 中 0.45 的角平分线问题 13 解答题 20 距离问题 中 0.35 ·11· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】设R为△ABC外接圆的半径，由正弦定 理可知2R=sinA a 8=8=8反，故△ABC外 3π√2 sin4 2 接圆的周长为2πR=8√2元.故选B. 2.C【解析】因为sinA:sinB:sinC=4:7:9,所以最小 角为A,由正弦定理可设a=4k,b=7k,c=9k.由余弦 二、选择题 定理得cosA=+c二a=492+81k-16k 7.BD【解析】对于A,因为两边及其夹角唯一确定一 2bc 2×7k×9k 个三角形，所以A错误：对于B,由正弦定理得sinB 故选C bsin A 3×2 3.C【解析】因为A(-1,-2),B(1,1),所以AB= =5<1,又b>a,即B∈（否，元） 2 (2,3),又F=(4,3),故力F对冰球所做的功为W= 所以B=受或B=—,故B正确，对于C,由正弦定理 3 3 FAB cos(F,AB)=F.AB=2X4+3X3=17. 故选C. 得sinC-sinB_ 4.A【解析】由<bcos A,可得c<+二一d.b,即 b 1 =√3>1，无解，故C错误； 2bc a+c<6,则cosB=+-止<0，又B∈0，x), 对于D,由正弦定理得sinA=asin B_ 2② 2 √2 2ac 6 则受<B<元，则△ABC的形状为钝角三角形.故 6 3 1,又a>b,即A∈（牙），又易知sinA=> V3 选A. √6 5.A【解析】由题可知在△DEF中，∠EDA=号，则 号，则snA=有两个解，故D正确，故 π= sin 选BD ∠ADB=F,不妨设DF=3k(k>0),由DF=3AF 8.BCD【解析】对于A,如果M,N两点与佛像底部不 知AF=k,则AD=4k,又因为△AFC与△BDA全 在一条直线上时，就不能测量出佛像的高度，故A不 等，所以DB=AF=k,则在△ABD中，由余弦定理可 正确；对于B,如图1，设佛像高度为CD,在佛脚平台 知cOS∠ADB=AD+BD-AB 上一点测得佛顶的仰角为∠CAD=a,再面对大佛前 2AD·BD 行AB=S米，测得佛顶的仰角为∠CBD=B,在 (4k)2十k-(32I)2 =-2,解得k=3,所以DF 1 2×4k×k △CBD巾，CB-品在△CD巾，CA-品所 =9.故选A. 6.A【解析】因为BH⊥AC,所以B立，AC=0,则AH 以(ACB=巴品甲s=品佛像 ·AC=(AB+Bi)·AC=AB·AC+Bi.AC= 高度CD= 1 1,故B正确；对于C,如图2，设 AB.AC,设AB=a,AC=b,则a+b=2AD,且a-b tan a tan B =Ci,则(a十b)2-(a-b)2=4a·b=4AD-C 佛像高度为CD,在△ABD中由正弦定理求AD,则 =41AD12-|C3[=4×42-62=28,故a·b=7, 佛像的高CD=h十ADsin a,故C正确；对于D,如图 即AB.AC=7,所以AH·AC=7.故选A. 3,在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角 ·12· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· Q,3,再测量A,B两点间距离和两点相对于大佛底部 吾，S=号inC=尽，则ab=4,故a+4b>≥2/a6 的张角O,在Rt△ADC,Rt△BDC中用CD来表示 =8,当且仅当a=4b=4,即a=4,b=1时取等号，此 AC,BC,在△ABC中由余弦定理就可以计算出佛像 时c2=a2+6-ab=16+1-4=13,故c=√13，则 高度CD,故D正确.故选BCD. △ABC的周长为a+b十c=5+√13】 四、解答题 1.解：(1)由已知可得g(x)=2sin(x-否）-1， (2分) 所以由f(B)=2sin(B-否)-1=0， 得sm(B-君)=合 (4分) 图1 又因为0<B<π， 所以吾<B-晋<， 61 (6分) a 所以B吾=吾，B=号 (2)因为6=V,B=号且△ABC的面积为35， 1 所以a+c2-2 accos B=且Sax=desin B 图2 =35, 即/a+c2-ac=13 (10分) ac=12 1a=4 /a=3 解得-3或= (12分) 所以a-c=士1. (13分) 12.解：(1)由已知及正弦定理得2 sin Asin Bcos A= B sin Bsin A, (2分) 图3 又因为A,B∈(0，π)， 三、填空题 所以sinA≠0，sinB≠0， 9.9v3【解析】设船的速度为a,水流速度为b,则船的 (4分) 实际航行速度为a十b,于是有(a十b)=a+2a·b十 所以2c0sA=1,即c0sA=2, b2=|a|2+2|a|·1b|cos120°+|b|2=36+2×6 又因为A∈(0，x),所以A=牙 (5分) ×3×(-）+9=27,所以1a+61=33,则经过 (2)由余弦定理得a2=?+c2-2 bccos A=十c2 bc≥2bc-bc=bc=4,当且仅当b=c=2时取等号， 3h,船的实际航程为3×3√=9√5(km). (8分) 10,号5十√3【解析】由余弦定理得c0sC- 所以a≥4，a≥2，a的最小值为2. (10分) 兰-鼎-因为Ce0),所以C (3)由∠BAC的平分线与边BC交于点D, 2ab 可得S△ABC=S△ABD十S△ADC, ·13· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 因为A=号，AD为∠BAC的平分线，且AD=1, 故AD=√3BD=103, (10分) 所以号esin∠BAC=c·AD·sin否+合b: 1 1 枚汽车所需时间为5正-（停+）h 50 5 (13分) AD·sin晋， (13分) (i)因为∠ADB=30°， 可得V3bc=b+c, 由余弦定理得AB=AD十BD-2AD· 所以名+上=厅，得证。 BDcos∠ADB (15分) 13.解：(1)因为BD=10km,∠CBD=120°，CD =300+100-2×105×10×5=100, 2 =5√/19km, 故AB=10, (15分) 由余弦定理得cos∠CBD= BC2+BD2-CD2 故AB+BC=10+15=25, 2BC·BD 即C0045-as120=分， 快递小哥出发25分钟，骑行路程为20×票-亨如 (3分) 20BC 故BC+10BC-375=0, 剩余路程为25 25=50km, 33 解得BC=15km(负值舍去)， (5分) 则到达C处所需时间为智÷20=号b, (18分) 放Sam=2BC·BD.in∠CBD=号 ×15×10× 其中（停+）是+品+器 120=75,5km. 2 (7分) 5173=18/-173<0, (2)(1)在△ABD中，由正弦定理得sin ZABD AD 25450 450 =BD 故+四<点 10<6 sin A' 所以汽车能先到达C处. (20分) 又sin∠ABD=√3sinA, 14·